初中数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解教案导学案 人教版.docx
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初中数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解教案导学案人教版
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
1.掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质,并能运用其熟练地进行运算;
2.能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题.
重点:
同底数幂乘法的运算性质.
难点:
同底数幂乘法的运算性质的灵活运用.
一、自学指导
自学1:
自学课本P95-96页“问题1,探究及例1”,掌握同底数幂的乘法法则,完成下列填空.(7分钟)
1.根据乘方的意义填空:
(-a)2=a2,(-a)3=-a3;(m-n)2=(n-m)2;(a-b)3=-(b-a)3.
2.根据幂的意义解答:
52×53=5×5×5×5×5=55;32×34=3×3×3×3×3×3=36;a3·a4=(a·a·a)·(a·a·a·a)=a7;am·an=am+n(m,n都是正整数);am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数).
总结归纳:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示、点评,教师巡视.(5分钟)
1.课本P96页练习题.
2.计算:
(1)10·102·104;
(2)x2+a·x2a+1;(3)(-x)2·(-x)3;(4)(a+1)(a+1)2.
解:
(1)10·102·104=101+2+4=107;
(2)x2+a·x2a+1=x(2+a)+(2a+1)=x3a+3;
(3)(-x)2·(-x)3=(-x)2+3=(-x)5=-x5;
(4)(a+1)(a+1)2=(a+1)1+2=(a+1)3.
点拨精讲:
第
(1)题中第一个因式的指数为1,第(4)题(a+2)可以看作一个整体.
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)
探究1 计算:
(1)(-x)4·x10;
(2)-x4·(-x)8;(3)1000×10a×10a+1;(4)(x-y)·(y-x)3.
解:
(1)(-x)4·x10=x4·x10=x14;
(2)-x4·(-x)8=-x4·x8=-x12;
(3)1000×10a×10a+1=103·10a·10a+1=102a+4;
(4)(x-y)·(y-x)3=-(y-x)·(y-x)3=-(y-x)4.
点拨精讲:
应运用化归思想将之化为同底数的幂相乘,运算时要先确定符号.
探究2 已知am=3,an=5(m,n为整数),求am+n的值.
解:
am+n=am·an=3×5=15
点拨精讲:
一般逆用公式有时可使计算简便.
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)
1.计算:
(1)a·a2·a4;
(2)x·x2+x2·x;
(3)(-p)3·(-p)2+(-p)4·p;
(4)(a+b)2m(a+b)m+1;
(5)(x-y)3(x-y)2(y-x);
(6)(-x)4·x7·(-x)3.
解:
(1)a·a2·a4=a7;
(2)x·x2+x2·x=x3+x3=2x3;
(3)(-p)3·(-p)2+(-p)4·p=(-p)5+p4·p=-p5+p5=0;
(4)(a+b)2m(a+b)m+1=(a+b)3m+1;
(5)(x-y)3(x-y)2(y-x)=-(x-y)3(x-y)2(x-y)=-(x-y)6;
(6)(-x)4·x7·(-x)3=x4·x7·(-x3)=-x14.
点拨精讲:
注意符号和运算顺序,第1题中a的指数1千万别漏掉了.
2.已知3a+b·3a-b=9,求a的值.
解:
∵3a+b·3a-b=32a=9,∴32a=32,∴2a=2,即a=1.
点拨精讲:
左边进行同底数幂的运算后再对比指数.
3.已知am=3,am+n=6,求an的值.
解:
∵am+n=am·an=6,an=3,∴3×an=6,∴an=2.
(3分钟)1.化归思想方法(也叫做转化思想方法)是人们学习、生活、生产中的常用方法.遇到新问题时,可把新问题转化为熟知的问题,例如(-a)6·a10转化为a6·a10.
2.联想思维方法:
要注意公式之间的联系,例如看到am+n就要联想到am·an,它是公式的逆用.
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
1.理解同底数幂的乘法法则.
2.运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.
重点
正确理解同底数幂的乘法法则.
难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则.
一、提出问题,创设情境
复习an的意义:
an表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.
(出示投影片)
提出问题:
(出示投影片)
问题:
一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?
[生]运算次数=运算速度×工作时间,
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:
1015×103.
[师]1015×103如何计算呢?
[生]根据乘方的意义可知
1015×103=(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)=(10×10×…×10)18个10=1018.
[师]很好,通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015,103的运算叫做同底数幂的乘法.根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.
二、探究新知
1.做一做
(出示投影片)
计算下列各式:
(1)25×22;
(2)a3·a2;
(3)5m·5n.(m,n都是正整数)
你发现了什么?
注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.
[师]根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.
[生]
(1)25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)
=27=25+2.
因为25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义,同样道理可得
a3·a2=(a·a·a)(a·a)=a5=a3+2.
5m·5n=(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))=5m+n.
[生]我们可以发现下列规律:
am·an等于什么(m,n都是正整数)?
为什么?
(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;
(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
(出示投影片)
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法.根据幂的意义可得:
am·an=(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a=a·a·…·a(m+n)个a=am+n
于是有am·an=am+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:
“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的道理,深刻理解同底数幂的乘法法则.
[生]am表示m个a相乘,an表示n个a相乘,am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘,也就是说有(m+n)个a相乘,根据乘方的意义可得am·an=am+n.
[师]也就是说同底数幂相乘,底数不变,指数要降一级运算,变为相加.
3.例题讲解
出示投影片
[例1]计算:
(1)x2·x5;
(2)a·a6;
(3)2×24×23;(4)xm·x3m+1.
[例2]计算am·an·ap后,能找到什么规律?
[师]我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?
[生1]
(1),
(2),(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.
[生2](3)也可以,先算两个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.
[师]同学们分析得很好.请自己做一遍.每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.
生板演:
(1)解:
x2·x5=x2+5=x7;
(2)解:
a·a6=a1·a6=a1+6=a7;
(3)解:
2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28;
(4)解:
xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1.
[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发,能自己解决吗?
与同伴交流一下解题方法.
解法一:
am·an·ap=(am·an)·ap
=am+n·ap=am+n+p;
解法二:
:
am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p;
解法三:
am·an·ap=(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a=am+n+p
归纳:
解法一与解法二都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法三是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果.我们需要这种开拓思维的创新精神.
[生]那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加.
[师]是的,能不能用符号表示出来呢?
[生]am1·am2·am3·…amn=am1+m2+m3+…mn.
[师]鼓励学生.那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.
2×24×23=21+4+3=28.
三、随堂练习
1.m14可以写成( )
A.m7+m7B.m7·m7
C.m2·m7D.m·m14
2.若xm=2,xn=5,则xm+n的值为( )
A.7B.10C.25D.52
3.计算:
-22×(-2)2=________;
(-x)(-x2)(-x3)(-x4)=________.
4.计算:
(1)(-3)2×(-3)5;
(2)106·105·10;
(3)x2·(-x)5;
(4)(a+b)2·(a+b)6.
四、课堂小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质,请同学们谈一下有何新的收获和体会呢?
[生]在探索同底数幂乘法的性质时,进一步体会了幂的意义,了解了同底数幂乘法的运算性质.
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,我觉得应注意两点:
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n是正整数).
五、课后作业
教材第96页练习.
本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.在课堂教学时,通过幂的意义引导学生得出这一性质,接着再引导学生深入探讨同底数幂运算,幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”,训练学生的整体思想.
14.1.2 幂的乘方
1.理解幂的乘方法则;
2.运用幂的乘方法则计算.
重点:
理解幂的乘方法则.
难点:
幂的乘方法则的灵活运用.
一、自学指导
自学1:
自学课本P96-97页“探究及例2”,理解幂的乘方的法则完成填空.(5分钟)
(1)52中,底数是5,指数是2,表示2个5相乘;(52)3表示3个52相乘;
(2)(52)3=52×52×52(根据幂的意义)
=5×5×5×5×5×5(根据同底数幂的乘法法则)
=52×3;
(am)2=am·am=a2m(根据am·an=am+n);
(am)n=am·am…am,\s\up6(n个am))(根据幂的意义)
=am+m+…+m,\s\up6(n个m))(根据同底数幂的乘法法则)
=amn(根据乘法的意义).
总结归纳:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m,n都是正整数).
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示、点评,教师巡视.(7分钟)
1.课本P97页练习题.
2.计算:
(1)(103)2;
(2)(x3)5;(3)(-xm)5;(4)(a2
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