中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案.docx
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中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案
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初中数学中考特殊四边形证明及计算
一•解答题
1.
(1)如图①,?
ABCD的对角线AC,BD交于点0,直线EF过点0,分别交AD,BC于点E,F.求证:
AE=CF.
(2)如图②,将?
ABCD(纸片)沿过对角线交点0的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)
分析:
(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得AD//BC,0A=0C,又由平行线的性质,可得/1=/2,继而利用ASA,即可证得△A0E◎△C0F,则可证得AE=CF.
(2)根据平行四边形的性质与折叠性质,易得A1E=CF,/A仁/A=/C,ZB仁/B=/D,继而可证
得厶A1IECGF,即可证得EI=FG.
解答:
证明:
(1)•••四边形ABCD是平行四边形,
•••AD//BC,0A=0C,
•••/1=/2,
在厶A0E和厶C0F中,
^Z1=Z2
«0ARC,•△A0E◎△C0F(ASA),•AE=CF;
tZ3=Z4
(2)•••四边形ABCD是平行四边形,•/A=/C,ZB=/D,由
(1)得AE=CF,
由折叠的性质可得:
AE=A1E,ZA仁/A,/B仁/B,
•-A1E=CF,/A仁/A=/C,ZB仁/B=/D,又1=/2,二/3=/4,vZ5=/3,/4=/6,
•/5=/6,在厶A1IE与厶CGF中,
「厶1二ZC
*1Z5=Z6,•••△A1IECGF(AAS),•EI=FG.
A芒二CF
点评:
此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质•此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用.
2.在△ABC中,AB=AC,点P为厶ABC所在平面内一点,过点P分别作PE//AC交AB于点E,PF//AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论:
PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P分别在△ABC内(如图2),△ABC外(如图3)时,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,
PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证
考点:
平行四边形的性质.
专题:
探究型.
分析:
在图2中,因为四边形PEAF为平行四边形,所以PE=AF,又三角形FDC为等腰三角形,所以
FD=PF+PD=FC,即PE+PD+PF=AC=AB,在图3中,PE=AF可证,FD=PF-PD=CF,即PF-PD+PE=AC=AB.
解答:
解:
图2结论:
PD+PE+PF=AB.
证明:
过点P作MN//BC分别交AB,AC于M,N两点,
•/PE//AC,PF//AB,
•••四边形AEPF是平行四边形,
•/MN//BC,PF//AB
•四边形BDPM是平行四边形,
•AE=PF,/EPM=/ANM=/C,
•/AB=AC,
•/EMP=/B,
•/EMP=/EPM,
•PE=EM,
•PE+PF=AE+EM=AM.
•••四边形BDPM是平行四边形,
•MB=PD.
•PD+PE+PF=MB+AM=AB,
即PD+PE+PF=AB.
图3结论:
PE+PF-PD=AB.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质,难易程度适中,读懂信息,把握规律是解题的关键.
3.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF//DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和厶ABC的面积比;
(3)
若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
考点:
平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)根据△ABC和厶AED是等边三角形,D是BC的中点,ED/CF,求证△ABD◎△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可;
(2)在
(1)的条件下可直接写出△AEF和厶ABC的面积比;
(3)根据ED//FC,结合/ACB=60,得出/ACF=/BAD,求证△ABD◎△CAF,得出ED=CF,
进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC.
•••AD丄BC,且/BAD=2/BAC=30,
2
•••△AED是等边三角形,
•AD=AE,/ADE=60,
•••/EDB=90-ZADE=90-60°=30°,
•/ED//CF,
•ZFCB=ZEDB=30,vZACB=60,•/ACF=ZACB-ZFCB=30,
•ZACF=ZBAD=30,在△ABD和厶CAF中,
irZBAD=ZACF
匚AB=CA,
t,ZFAC=ZB
•△ABD◎△CAF(ASA),•AD=CF,vAD=ED,
•ED=CF,又vED//CF,•四边形EDCF是平行四边形,•EF=CD.
(2)解:
△AEF和厶ABC的面积比为:
1:
4;
在厶ABD和厶CAF中,
ZBDA=ZAFCZB=ZFACAb=CA
•△ABD◎△CAF(AAS),
•AD=FC,
•/AD=ED,
•ED=CF,
又•••ED//CF,
•四边形EDCF是平行四边形,
•EF=DC.
点评:
此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握.此题涉及到的知识点较多,综合性较强,难度较大.
4.如图,在菱形ABCD中,AB=10,ZBAD=60度.点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动;设点M移动的时间为t秒(OWt<10
(1)点N为BC边上任意一点,在点M移动过程中,线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由;
(2)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动,在什么时刻,梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值;
(3)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒a(a>2个单位长的速度沿着射线BC方向(可以超越C点)移动,过点M作MP//AB,交BC于点P.当△MPN◎△ABC时,设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S,求出用t表示S的关系式,井求当S=0时的值.
考点:
菱形的性质;二次函数的最值;全等三角形的性质.
专题:
压轴题.
分析:
(1)菱形被分割成面积相等的两部分,那么分成的两个梯形的面积相等,而两个梯形的高相等,只需上下底的和相等即可.
(2)易得菱形的高,那么用t表示出梯形的面积,用t的最值即可求得梯形的最大面积.
(3)易得△MNP的面积为菱形面积的一半,求得不重合部分的面积,让菱形面积的一半减去即可.
解答:
解:
(1)设:
BN=a,CN=10-a(OWaw1)
因为,点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动,点M移动的时间为t秒(OWtw)
所以,AM=Kt=t(OWt<10MD=10-t(OWt<)
所以,梯形AMNB的面积=(AM+BN)>菱形高吃=(t+a)X菱形高吃;
梯形MNCD的面积=(MD+NC)X菱形高吃=[(10-t)+(10-a)]X菱形高吃
当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时,
即t+a=10,(0 所以,当t+a=10,(0 (2)点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动,设点N移动的时间为t,可知0 因为AB=10,ZBAD=60,所以菱形高=奶, AM=1Xt=t,BN=2Xt=2t. 所以梯形ABNM的面积=(AM+BN)X菱形高吃=3tX5-;Xj;t(0 |2|2 所以当t=5时,梯形ABNM的面积最大,其数值为 |2| (3)当厶MPN◎△ABC时, 则厶ABC的面积=△MPN的面积,则△MPN的面积为菱形面积的一半为25_、;因为要全等必有MN//AC, •••N在C点外,所以不重合处面积为X(at-10)2X 4 •••重合处为S=2祐-031°)[ 4 当S=0时,即PM在CD上, •-a=2. 点评: 本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质,注意使用两条平行线间的距离相等等条件. 5.如图,在下列矩形ABCD中,已知: AB=a,BC=b(avb),假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形,现给出(I)、(H)、(川)三个命题: 命题(I): 图①中,若AH=BG=AB,则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形; 命题(H): 图②中,若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点,则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形; 命题(川): 图③中,若EF垂直平分对角线AC,变BC于点E,交AD于点F,交AC于点O,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形. 请解决下列问题: (1)命题(I)、(H)、(川)都是真命题吗? 请你在其中选择一个,并证明它是真命题或假命题; (2)画出一个新的矩形内接菱形(即与你在 (1)中所确认的,但不全等的内接菱形) (3)试探究比较图①,②,③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系. ……亠: J且DAFDA 考点: 菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;三角形中位线定理;矩形的性质;命题与定理. 分析: (1)①先证明是平行四边形,再根据一组邻边相等证明; 2根据三角形中位线定理得到四条边都相等; 3先根据三角形全等证明是平行四边形,再根据对角线互相垂直证明是菱形; (2)先作一条对角线,在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交,连接四个交点即可. (3)分别表示出三个菱形的面积,根据边的关系即可得出图 (1)图 (2)的面积都小于图(3)的面积;根据a与b的大小关系,分a>2b,a=2b和av2b三种情况讨论. 解答: 解: (1)都是真命题; 若选(I)证明如下: •••矩形ABCD, •••AD//BC, •/AH=BG, •四边形ABGH是平行四边形, •AB=HG, •AB=HG=AH=BG, •四边形ABGH是菱形; 若选(H),证明如下: •••矩形ABCD, •AB=CD,AD=BC, /A=/B=/C=/D=90, •••E、F、G、H是中点, •AE=BE=CG=DG,AH=HD=BF=FC, •△AEH◎△BEF◎△DGH◎△GCF, •EF=FG=GH=HE, •四边形EFGH是菱形; 若选(川),证明如下 •/EF垂直平分AC, •FA=FC,EA=EC, 又•••矩形ABCD, •AD//BC, •/FAC=/ECA, 在厶AOF和厶COE中, rZA0F-ZC0E=9Q< “M)=C0, ;Zfao=Zeco •△ADF◎△COE(SAS) •AF=CE, •AF=FC=CE=EA, •四边形AECF是菱形; (2)如图4所示: AH=CF,EG垂直平分对角线FH,四边形HEFG是菱形; AHGD 2 (3)Sabgh=a, 小需)一a2R2-m过>0(b>a) 2b2b2b 二S菱形AECF>SABGH. 二S菱形AECF>SEFGH. ■/a2-丄ab=a(a-二b) )22 •••当a>—b,即卩Ovbv2a时,S菱形abgh>S菱形efgh;2 当a=—b,即b=2a时,S菱形ABGH=S菱形EFGH; 当av—b,即卩b>a时,S菱形ABGHvS菱形EFGH. 2 综上所述: 当Ovbv2a时,SefghvSabghvS菱形aecf. 当b=2a时,Sefgh=sabghvS菱形aecf. 6.在平行四边形ABCD中,/BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG. (1)如图1,证明平行四边形ECFG为菱形; (2)如图2,若/ABC=90,M是EF的中点,求/BDM的度数; (3)如图3,若/ABC=120,请直接写出/BDG的度数. 考点: 菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质;正方形的判定与性质. 分析: (1)平行四边形的性质可得AD//BC,AB//CD,再根据平行线的性质证明/CEF=/CFE,根据等角对等边可得CE=CF,再有条件四边形ECFG是平行四边形,可得四边形ECFG为菱形; (2)首先证明四边形ECFG为正方形,再证明△BME◎△DMC可得DM=BM,/DMC=/BME,再根据/BMD=/BME+/EMD=/DMC+/EMD=90可得到/BDM的度数; (3)分别连接GB、GC,求证四边形CEGF是平行四边形,再求证△ECG是等边三角形.由AD//BC及AF平分/BAD可得/BAE=/AEB,求证△BEG◎△DCG,然后即可求得答案. 解答: 解: (1)证明: •••AF平分/BAD, •••/BAF=/DAF, •••四边形ABCD是平行四边形, •AD//BC,AB//CD, •••/DAF=/CEF,ZBAF=/CFE, •••/CEF=/CFE, •CE=CF, 又•••四边形ECFG是平行四边形, •四边形ECFG为菱形. (2)如图,连接BM,MC, •••/ABC=90,四边形ABCD是平行四边形, •四边形ABCD是矩形, 又由 (1)可知四边形ECFG为菱形, /ECF=90, •四边形ECFG为正方形. •••/BAF=/DAF, •BE=AB=DC, •••M为EF中点, •/CEM=/ECM=4°, •/BEM=/DCM=13°, 在厶BME和厶DMC中, ( BE=CD .-P'l-.-: ", a-cvi •△BME◎△DMC(SAS), •MB=MD, /DMC=/BME. •/BMD=/BME+/EMD=/DMC+/EMD=90, •△BMD是等腰直角三角形, •/BDM=45; (3)ZBDG=60, 延长AB、FG交于H,连接HD. •/AD//GF,AB//DF, •四边形AHFD为平行四边形, •••/ABC=120,AF平分/BAD, •/DAF=30,/ADC=120,/DFA=30, •△DAF为等腰三角形, •AD=DF, •平行四边形AHFD为菱形, •△ADH,△DHF为全等的等边三角形, •DH=DF,/BHD=/GFD=60, •/FG=CE,CE=CF,CF=BH, •BH=GF, 在厶BHD与厶GFD中, rDH=DF 「ZB皿必;FD, LBH=&F •••△BHDS'GFD(SAS), •••/BDH=/GDF •••/BDG=/BDH+/HDG=/GDF+/HDG=60 点评: 此题主要考查平行四边形的判定方法,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,菱形的判定与性质等知识点,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法. 7. 在△ABC中,/BAC=90°,AB=AC,若点D在线段BC上,以AD为边长作正方形ADEF,如图1,易证: /AFC=/ACB+/DAC; 考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质. 专题: 几何综合题. 分析: (1)/AFC、/ACB、/DAC的关系为: /AFC=/ACB-/DAC,理由为: 由四边形ADEF为正方形,得到AD=AF,且/FAD为直角,得到/BAC=/FAD,等式左右两边都加上/CAD得到 /BAD=/CAF,再由AB=AC,AD=AF,利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等,根据全等三角形的对应角相等可得出/AFC=/ADB,又/ACB为三角形ACD的外角,利用外角的性质得到 /ACB=/ADB+/DAC,变形后等量代换即可得证; (2)/AFC、/ACB、/DAC的关系式是/AFC+/ACB+/DAC=180,可以根据/DAF=/BAC=90,等号两边都减去/BAF,可得出/DAB=/FAC,再由AD=AF,AB=AC,利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等,由全等三角形的对应角相等可得出/AFC=/ADB,根据三角形ADC的内角和为 180°等量代换可得证. 解答: 解: (1)关系: /AFC=/ACB-ZDAC,…(2分) 证明: •••四边形ADEF为正方形, •••AD=AF,/FAD=90, vZBAC=90,ZFAD=90, •ZBAC+ZCAD=ZFAD+ZCAD,即ZBAD=ZCAF,…(3分)在厶ABD和厶ACF中, 'AB二AC “ZBAD=ZADB, 二AF •△ABD◎△ACF(SAS),…(4分) •ZAFC=ZADB, vZACB是厶ACD的一个外角, •ZACB=ZADB+ZDAC,…(5分) •ZADB=ZACB-ZDAC, vZADB=ZAFC, •ZAFC=ZACB-ZDAC;…(6分) (2)ZAFC、ZACB、ZDAC满足的关系式为: ZAFC+ZDAC+ZACB=180,…(8分)证明: v四边形ADEF为正方形, •ZDAF=90,AD=AF, 又ZBAC=90, •ZDAF=ZBAC, •ZDAF-ZBAF=ZBAC-ZBAF,即ZDAB=ZFAC,在厶ABD和厶ACF中, 广AD二AF {ZDAB=ZFAC, tAB二AC •△ABD◎△ACF(SAS), •ZADB=ZAFC, 在厶ADC中,ZADB+ZACB+ZDAC=180, 则ZAFC+ZACB+ZDAC=180. 点评: 此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的内角和定理,以及三角形的外角性质,熟练掌握判定及性质是解本题的关键. &已知四边形ABCD是正方形,0为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连接DP,作 CN丄DP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON.(当P在线段BC上时,如图1: 当P在BC的延长线上时,如图2) (1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论: ①BN=CP: ②OP=ON,且0P丄ON; (2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系. 考点: 正方形的性质;分段函数;三角形的面积;全等三角形的判定与性质. 专题: 代数几何综合题. 分析: (1)根据正方形的性质得出DC=BC,/DCB=/CBN=90,求出/CPD=/DCN=/CNB,证 △DCPBACBN,求出CP=BN,证△OBN◎△OCP,推出ON=OP,/BON=/COP,求出/PON=/COB即可; (2)同法可证图2时,OP=ON,OP丄ON,图1中,S四边形opbn=Saobn+Sabop,代入求出即可;图 2中,S四边形obnp=S△pob+Sapbn,代入求出即可. 解答: (1)证明: 如图1, •••正方形ABCD, •••OC=OB,DC=BC,/DCB=/CBA=90,/OCB=/OBA=45,/DOC=90,DC//AB, •/DP丄CN, •••/CMD=/DOC=9°, •••/BCN+/CPD=90,/PCN+/DCN=90, •••/CPD=/CNB, •/DC//AB, •••/DCN=/CNB=/CPD, •••在△DCP和厶CBN中 PZDCB-ZCBN •ZCPD=ZBNC, ldc=bc •••△DCP◎△CBN, •CP=BN, •••在△OBN和厶OCP中 rOB=OC •Z0CP=Z0BN, lcf=bn •••△OBN◎△OCP, •ON=OP,/BON=/COP, •••/BON+/BOP=/COP+/BOP, 即/NOP=/BOC=90, •ON丄OP, 即ON=OP,ON丄OP. (2)解: TAB=4,四边形ABCD是正方形, •O到BC边的距离是2, 图1中,S四边形opbn=Saobn+Sabop, =丄X(4-x)疋+二$>2, 22 =4(0VxV4), 图2中,S四边形OBNP=Sapob+Sapbn XxX2+=X(x-4) 即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是: 点评: 本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定,分段函数等知识点的应用,解 (1)小题的关键 是能运用性质进行推理,解 (2)的关键是求出符合条件的所有情况,本题具有一定的代表性,是一道比较好的题目,注意: 证明过程类似. 9.如图,四边
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