08二次函数动点探究题赏析.docx
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08二次函数动点探究题赏析
二次函数动点探究题赏析
二次函数是初中数学的重要内容之一,而数学探究又是数学教学改革的新亮点,因此二次函数探究题便成了各地中考命题的热点,命题者将二次函数问题巧妙设计成数学探究题用以考查同学们的分析能力、想象能力、探究能力和创新能力。
现仅就2008年中考题有关二次函数动点探究题精选两例解析如下,供同学们鉴赏:
例1(2008福建龙岩)如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AD的长;
(2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值;
(3)探究:
在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?
若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.
分析
(1)过点A作AE∥BC交CD于点E,证△AED为
等边三角形,则AD可求;
(2)将△PDQ的边PD及PD边上的高用含的代数式
表示,则△PDQ的面积可表示为的二次函数,根据二次函数的
极值可求得△PDQ面积的最大值;
(3)先假设四边形PDQM为菱形,则PD=DQ从而求得点Q,过点Q作QM∥DC交BC于点M,则点M为所求,然后再证四边形PDQM为菱形.
解
(1)如图1,过点A作AE∥BC交CD于点E,则CE=AB=4.
∠AED=∠C=60°.又∵∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形.∴AD=DE=9-4=5.
(2)如图2,DQ=CP=,h为PD边上的高,∠D=60°,
则PD=,
△PDQ的面积S可表示为:
S=PD·h=(9-x)·=(9x-x2)=-(x-)2+.
由题意,知0≤x≤5.∴当x=时(满足0≤x≤5),S最大值=.
(3)如图3,假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ.
于是9-x=x,x=.则点P为CD的中点.
此时,点P、Q的位置如图3所示,
连QP.∠D=600,则△PDQ为等边三角形.
图3
过点Q作QM∥DC,交BC于M,点M即为所求.
连结MP,则CP=PD=DQ=CM,∠C=600,则△CPM也是等边三角形.
∴∠D=∠3=600.∴MP∥QD,∴四边形PDQM是平行四边形.
又,PD=DQ.∴四边形PDQM是菱形.
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=.
例2(2008海南)如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴
交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
(2)求证:
①CB=CE;②D是BE的中点;
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由
分析
(1)由点B(-2,m)在直线上,可求得的值及
点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,
过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,过点E
作EH∥x轴,交y轴于H,由△DFB≌△DHE,证得D是BE的中点;
(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,
动点P又在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.
解
(1)∵点B(-2,m)在直线上,∴m=-2×(-2)-1=3.∴B(-2,3)
∵抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,
∴点A的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴.
∴所求的抛物线对应的函数关系式为,即.
(2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).
过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,则点G坐标为(2,3)
BG⊥直线x=2,BG=4.在Rt△BGC中,BC=.
∵CE=5,∴CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴,交y轴于H,则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),
∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE(SAS),∴BD=DE.即D是BE的中点.
(3)由于PB=PE,∴点P必在线段BE的中垂线CD上,
又点P在抛物线上,
∴符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将点D(0,-1)C(2,0)代入,
得.解得.
∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
解方程组得
∴符合条件的点P的坐标为(,)或(,).
评注动点探究题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对学生获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
解题时可先假设被探究的对象(点)存在,并将其构造出来,再利用题设条件及相关知识将其肯定或否定.有解(合理)即为存在,无解(不合理)即为不存在.
要:
本文通过对近两年课改实验区中考试题的分析,探讨了二次函数这一部分内容在中考命题中呈现出的三个方面的新动向。
关键词:
二次函数、变换、数学模型
新课标对于函数内容的教学主要关注:
将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;及早渗透函数的思想;借助多种现实背景理解函数;通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;关注函数与相关知识的联系;推迟函数的形式化表达方式等。
这些新变化在近几年课改实验区的中考试题得到了充分的体现。
通过分析2005、2006年课改实验区的中考试题,发现对二次函数知识的考查呈现出如下几方面的新动向:
一、将二次函数与几何变换相结合。
例一、(浙江湖州2006年中考题)已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1),当b从-1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线的移动方向的描述中,正确的是( )
A、先往左上方移动,再往左下方移动;
B、先往左下方移动,再往左上方移动;
C、先往右上方移动,再往右下方移动;
D、先往右下方移动,再往右上方移动。
分析:
二次函数y=x2-bx+1可化为,可知抛物线的顶点坐标为(),当b从-1逐渐变化到1的过程中,顶点横坐标的值逐渐增大,表示抛物线往右方移动;而当b从-1逐渐变化到1的过程中,顶点纵坐标的值先逐渐增大后逐渐减小,表示抛物线先往上方移动再往下方移动,故选答案D。
例二、(旅顺口区2006年中考题)已知抛物线y=x?
-4x+1。
将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度,得到一条新的抛物线。
(1)求平移后的抛物线解析式;
(2)若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;
(3)若将已知的抛物线解析式改为y=ax?
+bx+c(a>0,b<0),并将此抛物线沿x轴方向向左平移-个单位长度,试探索问题
(2).
解:
(1)y=x2-4x+1配方,得y=(x-2)2-3,向左平移4个单位,得平移后得抛物线的解析式为y=x2+4x+1
(2)由
(1)知,两抛物线的顶点坐标为(2,3),(-2,-3)
解,得
∴两抛物线的交点为(0,1)
由图象知,若直线y=m与两条抛物线有且只有四个交点时,m>-3且m≠1
(3)由y=ax2+bx+c配方得,
向左平移-个单位长度得到抛物线的解析式为
∴两抛物线的顶点坐标分别为,
解 得 ∴两抛物线的交点为(0,c)
由图象知满足
(2)中条件的m的取值范围是:
m>且m≠c
评析:
图形与变换是《初中数学新课程标准》中新增加的内容,把它与二次函数相结合,既考查了学生几何建模以及探究活动的能力,又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力,是今后命题的重点。
二、在初高中知识衔接处命题
1、 求分段函数解析式。
例三、(连云港2005年中考题)据某气象中心观察和预测:
发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图2所示.过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城.如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?
如果不会,请说明理由.
略解:
(1)S=24(km);
(2)当0≤t≤10时,;
当10<t≤20时,s=30t-150;
当20<t≤35时,s=-(t-35)2+675.
(3)沙尘暴发生后30h将侵袭到N城。
评析:
分段函数是高中数学的一块重要内容,本题以动直线l运动的不同位置来确定面积S关于时间t的函数关系式,学生在充分理解了S的涵义后,求出函数关系式并不困难。
像这类运动变化问题是中考命题的热点。
2、 求闭区间上二次函数的最值。
例四、(扬州2006年中考题)我市某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完,该企业对这一批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查.表一、表二分别是国内、国外市场的日销售量y1、y2(万件)与时间t(t为整数,单位:
天)的部分对应值.
表一:
国内市场的日销售情况
时间t(天)
0
1
2
10
20
30
38
39
40
日销售量y1(万件)
0
5.85
11.4
45
60
45
11.4
5.85
0
表二:
国外市场的日销售情况
时间t(天)
0
1
2
3
25
29
30
31
32
33
39
40
日销售量y2(万件)
0
2
4
6
50
58
60
54
48
42
6
0
(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律,写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围;
(2)分别探求该产品在国外市场上市30天前与30天后(含30天)的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;
(3)设国内、外市场的日销售总量为y万件,写出y与时间t的函数关系式.试用所得函数关系式判断上市后第几天国内、外市场的日销售总量y最大,并求出此时的最大值.
解:
(1)通过描点,画图或分析表一中数据可知y1是t的二次函数。
设y1=a(t-20)2+60,把t1=0,y1=0.代入得a=,故y1=t2+6t(0≤t≤40且t为整数)。
经验证,表一中的所有数据都符合此解析式。
(2)通过描点,画图或分析表二中数据可知当0≤t≤30时y2是t的正比例函数;当30≤t≤40时y2是t的一次函数。
可求得 ,经验证,表二中的所有数据都符合此解析式。
(3)由y=y1+y2得,经比较可知第7天时y有最大
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