湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析.docx
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湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析
范文范例参考
2017年湖南省学业水平考试(真题)
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分100分。
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分,
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体可
以是()
A、正方体B、圆柱
C、三棱柱D、球
2.已知集合A{0,1},B{1,2},则AB中元素的个数为()
A、1B、2C、3D、4
3.已知向量,若,则a(x,1),b(4,2),c(6,3),若cab,则x()
A、-10B、10C、-2D、2
4.执行如图2所示的程序框图,若输入x的值为-2,则输
出的y()
A、-2B、0C、2D、4
5.在等差数列{}
a中,已知a1a211,a316,则
n
公差d()
A、4B、5C、6D、7
1
6.既在函数
2
f(x)x的图象上,又在函数
1
g(x)x的
图象上的点是
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A、(0,0)B、(1,1)C、(2,
1
2
)D、(
1
2
2
)
7.如图3所示,四面体ABCD中,E,F分别为AC,AD的中点,则直线CD与平
面BEF的位置关系是()
A、平行B、在平面内
C、相交但不垂直D、相交且垂直
8.已知sin2sin,(0,),则cos()
A、31
B、C、
22
1
4
9.已知alog,b1,clog,则
2
22
1
2
D、3
2
A、abcB、bacC、cabD、cba
10.如图4所示,正方形的面积为1,在正方形内随机撒1000
粒豆子,恰好有600粒豆子落在阴影部分内,则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为()
A、
4
5
B、
3
5
C、
1
2
D、
2
5
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.
11.已知函数f(x)cosx,xR(其中0)的最小正周期为,则
.
12.某班有男生30人,女生20人,用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
服务,则抽出的学生中男生比女生多人。
13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a4,b3,sinC1,
则ABC的面积为。
x0,
14.已知点A(1,m)在不等式组y0,表示的平面区域内,则实数m的取值
xy4
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范围为。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示,则该圆柱的体积为。
三、解答题:
本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
16.(本小题满分6分)
已知定义在区间[,]上的函数f(x)sinx的部分图象如图6所示.
(1)将函数f(x)的图象补充完整;
(2)写出函数f(x)的单调递增区间.
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17.(本小题满分8分)
已知数列{a}满足an13an(nN*),且a26.
n
(1)求a1及an;
(2)设2
ba,求数列{bn}的前n项和Sn.
nn
18.(本小题满分8分)
为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取20名
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学生的成绩进行分析,得到如图7所示的频率分布直方图。
(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;
(2)从成绩不低于80分的两组学生中任选2人,求选出的2人来自同一组
的概率.
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19(本小题满分8分)
已知函数
f(x)
2,0,xx
xx
2
2(x1)m,0
(1)若m1,求f(0)和f
(1)的值,并判断函数f(x)在区间(0,1)内是
否有零点;
(2)若函数f(x)的值域为[2,),求实数m的值.
19.(本小题满分10分)
已知O为坐标原点,点p(1,2)在圆
22
M:
xy4xay10上,
(1)求实数a的值;
(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;
(3)过点O作互相垂直的直线
l1,l2,l1与圆M交于A,B两点,l2与圆M交于
C,D两点,求|AB||CD|的最大值.
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2017年湖南省学业水平考试(参考答案)
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分100分。
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的。
20.已知一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体可以
是(A)
A、正方体B、圆柱
C、三棱柱D、球
21.已知集合A{0,1},B{1,2},则AB中元素的个数为(C)
A、1B、2C、3D、4
22.已知向量,若,则a(x,1),b(4,2),c(6,3),若cab,则x(D)
A、-10B、10C、-2D、2
23.执行如图2所示的程序框图,若输入x的值为-2,则输
出的y(B)
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A、-2B、0C、2D、4
24.在等差数列{}
a中,已知a1a211,a316,则
n
公差d(D)
A、4B、5C、6D、7
1
25.既在函数
fxx的图象上,又在函数
()2
1
g(x)x的
图象上的点是(B)
A、(0,0)B、(1,1)C、(
2,
1
2
)D、(
1
2
2
)
26.如图3所示,四面体ABCD中,E,F分别为AC,AD的中点,
则直线CD与平面BEF的位置关系是(A)
A、平行B、在平面内
C、相交但不垂直D、相交且垂直
27.已知sin2sin,(0,),则cos(C)
A、
3
2
B、
1
2
C、
1
2
D、
3
2
28.已知
1
4
alog,b1,clog,则(A)
2
22
A、abcB、bacC、cabD、cba
29.如图4所示,正方形的面积为1,在正方形内随机撒1000
粒豆子,恰好有600粒豆子落在阴影部分内,则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为(B)
A、
4
5
B、
3
5
C、
1
2
D、
2
5
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.
30.已知函数f(x)cosx,xR(其中0)的最小正周期为,则
2.
31.某班有男生30人,女生20人,用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
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服务,则抽出的学生中男生比女生多1人。
32.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a4,b3,sinC1,
则ABC的面积为6。
x0,
33.已知点A(1,m)在不等式组表示的平面区域内,则实数m的取值
y0,
xy4
范围为0m3。
34.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示,则该圆柱
的体积为4。
三、解答题:
本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
35.(本小题满分6分)
已知定义在区间[,]上的函数f(x)sinx的部分图象如图6所示.
(1)将函数f(x)的图象补充完整;
(2)写出函数f(x)的单调递增区间.
解:
(1)图象如图:
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(2)由图象可知,函数f(x)sinx在区间[,]上的单调增区间为[,]。
22
36.(本小题满分8分)
已知数列{a}满足an13an(nN*),且a26.
n
(1)求
a及an;
1
(2)设bnan2,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:
an3an
1
a
1
2
a
2
3a
1
6
a
n1a
3{
n
a
n
}
为等比数列,公比q3;
a
n
2
n
3
1
n1
(2)由已知可知,b232
n
S
n
b
1
b
2
b
3
b
n
2
0
(3
1
3
2
3
n
3
1
)
(
2
2
2
2)
2
1
1
n
3
3
2n
n
3
12n
37.(本小题满分8分)
为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取20名
学生的成绩进行分析,得到如图7所示的频率分布直方图。
(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;
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(2)从成绩不低于80分的两组学生中任选2
人,求选出的2人来自同一组的概率.
解:
(1)由题可知,本次测试成绩的众数为
7080
75
2
(2)成绩在[80,90]的频率为0.015100.15,学生人数为200.153人,
设为a,b,c,成绩在[90,100]的频率为0.010100.1,学生人数为200.12
人,设为A,B,则从5人中任选2人的基本事件如下:
(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)共10个,其中2
人来自同一组的基本事有(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),其4个基本件。
P(2人来自同一组)
4
10
2
5
19(本小题满分8分)
已知函数
f(x)
2,0,xx
xx
2
2(x1)m,x0
(1)若m1,求f(0)和f
(1)的值,
并判断函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点;
(2)若函数f(x)的值域为
[2,),求实数m的值.
2x,x0
解:
(1)2f(0)2111,f
(1)1,
m1f(x)
2(x1)1,x0
f(0)f
(1)0f(x)在区间(0,1)内有零点.
(2)当x0时,f(x)的取值范围是(0,1),当x0时,f(x)是二次函数,要
2
使函数f(x)的值域为[2,),则f(x)2(x1)m的最小值为2,由二次函
2
数可知,当x1时,f(x)2(x1)m取最小值2,即f
(1)m2.
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38.(本小题满分10分)已知O为坐标原点,点P(1,2)在圆
22
M:
xy4xay10上,
(1)求实数a的值;
(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;
(3)过点O作互相垂直的直线
l1,l2,l1与圆M交于A,B两点,l2与圆M交于
C,D两点,求|AB||CD|的最大值.
解:
(1)把P(1,2)点代入圆
22
M:
xy4xay10得a0;
(2)圆心坐标为M(2,0),k2,过圆心且与OP平行的直线方程为
OP
y02(x2),即y2x22
(3)设直线AB的方程为kxy0,直线CD的方程为xky0,圆心到直线AB
的距离为
2
d,
1
2
1k
|
4
AB|23,同理可
2
1k
|
CD
|
2
3
2
4k
1k
2
4
k
2
)(3
4k
1
2
2
k
)
4
6
(
1
2
44k
22
kk
1
2
)
4
2
2
|AB||CD|4(34
1
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