高一数学平面与平面的位置关系教案第一课时 苏教版.docx
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高一数学平面与平面的位置关系教案第一课时苏教版
2019-2020年高一数学平面与平面的位置关系教案第一课时苏教版
教学目标:
一.知识与技能
1.理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义。
2.会画平行或相交平面的空间图形,并用字母或符号表示,进一步培养学生的空间想象能力。
3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,并能运用其解决一些具体问题。
二.过程与方法
1.通过师生之间、学生与学生之间的相互交流,使学生学会与别人共同学习。
2.通过直观感知、探究空间两个平面的位置关系以及平面与平面平行的定义,明确数学概念的严谨性和科学性,培养学生数学地分析问题的意识。
3.通过探究、思考、反思完善,进一步培养学生空间想象能力、理性思维能力。
三.情感态度与价值观
1.通过对平面与平面的位置关系的概念的学习,使学生认清基本概念的来龙去脉,加深对人类认识事物的一般规律和认识,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣,培养学生严谨的科学精神。
2.在教学过程中,通过学生的相互交流,来加深对平面与平面的性质定理和判定定理的理解,增强学生数学交流能力,培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
3.通过组织学生认识研究两个平面的位置关系以及应用两个平面平行的判定是实际生产的需要,体现了理论联系实际的原则,更好地培养学生分析问题与解决业问题的能力。
教学重点:
两个平面的位置关系,两个平面平行的判定和性质。
教学难点:
判定定理、例题的证明,性质定理的正确运用。
教学过程:
1.复习回顾:
师生共同复习回顾,线面垂直定义,判定定理.
性质定理归纳小结线面距离问题求解方法,以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题.
立体几何的问题解决:
一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题,二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透,这些都需在实践中进一步体会.
下面继续研究面面位置关系.
2.讲授新课:
1.两个平面的位置关系
除教材上例子外,我们以所在教室为例,观察面与面之间关系.
[师]观察教室前后两个面,左、右两个面及上下两个面都是平行的,而其相邻两个面是相交的.
[师]打开教材一个是竖直放在桌上,其间有许多个面,它们共同点是都经过一条直线.
观察教室的门与其所在墙面关系,随着门的开启,门所在面与墙面始终有一条公共线.
结合生观察教室的结论、引导其寻找平面公共点,然后给出定义.
定义:
如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行.
如果两个平面有公共点,它们相交于一条公共直线.
两个平面的位置关系只有两种:
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
[师]两个平面平行,如平面α和平面β平行,记作α∥β
2.两个平面平行的判定
判定两个平面平行可依定义,看它们的公共点如何.
[师]由两个平面平行的定义可知:
其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中,如果有一条直线和另一平面有公共点,这点也必是这两个平面的公共点,那么这两个平面就不可能平行了.
另一方面,若一个平面内所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行,否则,这两个平面有公共点,那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.
由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题,但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面,到底要多少条直线(且直线与直线应具备什么位置关系)与另一面平行,才能判定两个平面平行呢?
下面我们共同学习定理.
两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
[师]以上是两个平面平行的文字语言,另外定理的符号语言为:
若aα,bα,a∩b=A,且a∥α,b∥β,则α∥β.
利用判定定理证明两个平面平行,必须具备:
①有两条直线平行于另一个平面,
②这两条直线必须相交.
[师]再从转化的角度认识该定理就是:
线线相交、线面平行面面平行.
[生]在判断一个平面是否水平时,把水准器在这个平面内交叉地放两次,如果水准器的气泡都是居中的,就可以判定这个平面和水平面平行,实质上正是利用了面面平行的判定定理.
例1:
求证:
垂直于同一直线的两个平面平行
已知:
α⊥AA′,β⊥AA′
求证:
α∥β.
分析:
要证两个平面平行,需设法证明一面内有两相交线
与另一面平行,那么由题如何找出这两条线成为关键.
如果这样的线能找到问题也就解决啦.
诱导学生思考怎样找线.
[生]通过作图完成找线,利用转化解决问题、证明如下:
证明:
设经过AA′的两个平面γ、θ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′
∵AA′⊥α,AA′⊥β
∴AA′⊥a,AA′⊥a′
又aγ,a′γ∴a∥a′,于是a′∥a
同理可证b′∥a又a′∩b′=A′∴α∥β.
[师]这是一个重要的结论,主要用来判断空间的直线与平面具备条件:
两个平面垂直于同一直线,则应有:
这两个平面平行.用符号语言就可以表示为:
l⊥α,l⊥βα∥β.
此题也告诉我们,空间的两个平面平行,其判定方法:
1°定义.2°判定定理.3°例1结论.
[师]请同学思考:
两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系?
[生]通过作图可以发现,若平面α和平面β平行,则两面无公共点,那么也就意味着平面α内任一直线a和平面β也无公共点,即直线a和平面β平行.
用式子可表示为:
α∥β,aαa∥β
用语言表述就是:
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
[师]归纳总结.
此结论在以后的解决问题过程中可直接运用,既是面面平行的性质定理,又是线面平行的判定定理.
[师]如图,设α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,我们研究两条交线a、b的位置关系.
[生]观察、分析可发现
因为α∥β,所以a、b没有公共点,
而a、b又同在平面γ内,于是有a∥b
[师]下面给出两个平面平行的性质定理.
两个平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
已知:
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b
求证:
a∥b.
分析:
师生共同活动
通过前面的学习,我们知道判定两线平行的途径有:
(1)利用定义:
在同一平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)运用公理:
证明这两直线平行于同一直线.
(3)依据性质定理:
线面平行的性质定理,如果一条直线平行于一个平面、经过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线和交线平行,线面垂直的性质定理,垂直于同一平面的两条直线平行.
而题目中证明a∥b,a、b又同在平面γ内,且分别在两个平行平面内,因此本题的证明可利用方法
(1).
证明:
∵平面α∥平面β
∴平面α和平面β没有公共点
又aα,bβ
∴直线a、b没有公共点
又∵α∩γ=a,β∩γ=b
∴aγ,bγ
∴a∥b.
[师]同学们接下来研究两个平行平面内的所有直线是否都平行.
已知两个平面平行,依据性质定理:
一个平面内的任何直线都平行另一平面.
依据性质定理:
若有第三个平面和两个平行平面相交,那么它们的交线平行,但是,能不能说两个平行平面内的所有直线都是互相平行的呢?
如上图,α∥β,aα,bβ,可以看出:
只有当a、b确定平面时,依据性质定理,a与b才平行,否则就不平行,直线a与b能相交吗?
[生]不能.这是因为,若a∩b=A∵aα,∴A∈α
又bβ,∴A∈β∴α与β必相交
因此a、b不可能相交.
由此在两个平行平面内的直线,它们可能是平行直线,也可能是异面直线.
师引导学生得出结论:
两个平行平面的判定定理与性质定理的作用,要害都集中在“平行”二字上,判定定理解决的问题是;在什么样的条件下两个平面平行,性质定理说明的问题是;在什么样的条件下两条直线平行,前者给出了判定两个平面平行的一种方法;后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
[师]下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.
例2:
求证:
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
已知:
α∥β,l⊥α,l∩α=A
求证:
l⊥β.
[设法创造条件,找到平面γ,使之与平面α和平面β相交,使之可利用性质定理解决问题.]
证明:
在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面,设γ∩α=a
因为b是平面α内任意一条直线,所以根据直线与平面垂直的定义,可知l⊥β.
[师]上述例2所证明的命题用符号表示就是α∥β,l⊥αl⊥β.
用转化的思想可解释为
面面平行、线面垂直线面垂直
这是一个关于两个平面平行的性质的一个命题,可以用来判断直线与平面垂直.
4.两个平行平面的距离
[师]由线面距离,进一步研究面面距离,请同学归纳表述.
[生]
(1)两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义:
和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,它夹在这两平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.α∥β
如果AA′,BB′都是它们的公垂线段
那么AA′∥ΒΒ′
依两个平面平行的性质定理
有A′B′∥AB
那么四边形ABB′A′是平行四边形,AA′=BB′
由此我们得到,两个平面平行,这两个平面的公垂线段都相等.
(2)两个平行平面的距离:
两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
3.课堂练习:
课本P41练习1,2,3,4
4.课时小结:
本节课主要研究如何证明两个平面平行?
其途径可以选择从公共点的角度考虑.但要说明两面没有公共点,是比较困难的,而要用定理判定的话,关键是线应具备“相交”“平行”要求.例1也可作为结论直接运用;两个平面平行,即面面平行,可得,其中一面内的线平行于另一个平面,即线面平行;两个平面平行,即面面平行,可得,两个平面与第三平面相交,交线平行,即线线平行;求面与面距离可转化为线面距离,进而转化为点面距离。
5.课后作业:
课本P47习题1、2、3、4、5.
2019-2020年高一数学平面与平面的位置关系第二课时苏教版
教学目标:
使学生正确理解二面角及二面角的平面角;通过概念教学,提高逻辑思维能力,渗透等价转化思想;通过图形结构分析,掌握作图方法,提高空间想象能力;通过本节教学由水坝、卫星运行轨道平面到二面角,体现由具体到抽象思想。
教学重点:
二面角的平面角。
教学难点:
求作二面角的平面角。
教学过程:
1.复习回顾:
两个平面平行的判定有哪几种方法?
各种方法应具备条件是什么?
两个平面平行的性质有哪些?
如何利用性质解决问题?
这一部分中等价转化思想体现在哪里?
2.讲授新课:
1.二面角
[师]两个平面的位置关系包括相交、平行两种,两个平行平面的相对位置是用“距离”来刻画.
而两个相交平面的相对位置由这两个平面所成的“角”来确定.
修筑水坝,为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度(如图)。
还有教材中人造地球卫星的发射,需卫星轨道平面和地球赤道平
面成一定的角度.
请同学们再举出生活中例子说明结论.
那就是:
为了解决实际问题,需研究两个平面所成的角.
[师]请同学归纳总结二面角的概念.(可与平面角概念对比)
二面角的概念
(1)半平面的定义:
平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.
(2)二面角的定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫二面角的棱,
这两个半平面叫二面角的面.
[师](3)常用直立式和平卧式两种(教师和学生共同动手)
直立式:
平卧式:
[生](4)二面角的表示
在上图
(1)中,棱为AB,面为α、β的二面角,记作二面角α—AB—β.
有时为了方便也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q,将这个二面角记作二面角P—AB—Q.
如果棱为l,则这个二面角记作α—l—β或P—l—Q.
[师]进一步研究图
(2)中∠AOB与∠A′O′B′的大小.
在二面角α—l—β的棱上任取点O,以O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB组成∠AOB.
再取棱上另一点O′,在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′,则它们组成角
∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′,∠AOB和∠A′O′B′关系如何?
[生]由OA∥O′A′,OB∥O′B′可知
∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同.
即∠AOB=∠A′O′B′
[师]结论说明了什么问题?
[生]按照上述方法作出的角的大小,与角的顶点在棱上的位置无关.
[师]由此结果引出二面角的平面角概念.
(5)二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
上图
(2)中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角α—l—β的平面角.
前边举过门和门所在墙的关系,随着门的开启,其所在平面与墙所在平面的相交程度在变,而二面角就恰如其分地将这种关系区别开来,度量二面角的大小,利用的是二面角的平面角.
二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.
本书中规定二面角的大小范围为0°~180°.
当二面角的两个面合成一个平面时,规定二面角的大小为180°.
[师]若一个二面角的平面角是直角,就说这个二面角为直二面角.
除教材例外,举出一个二面角为直二面角的例子.
[生]教室相邻墙构成的二面角就是直二面角.
如图DD1⊥A1D1,DD1⊥D1C1
∴∠A1D1C1为二面角A1—D1D—C1的平面角
∵∠A1D1C1=90°
∴该二面角为一直二面角.
[师]在作图时注意两种情形.
(1)它是一个“平面角”,它的两边必须在同一
平面内,AB、CD虽各在两个平面内,且都垂直于棱,
但不在同一平面内,所以AB和CD不成平面角.
(2)二面角的平面角的两边必须都与棱垂直,∠ABC的顶点虽在棱上,两边也分别在两个半平面内,但BC不与棱垂直,所以∠ABC不是二面角的平面角.
下面阅读例1,并简要分析
例1:
河堤斜面与水平面所成二面角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为30°,沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了多少?
(精确到0.1m)
分析:
人升高了多少?
实质上就是求人所在位置到水
平面距离,问题就转化为解
Rt△EFG,而直角三角形的求解靠二面角平面
角来完成,找二面角的平面角就成为关键.
解:
取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线
AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内,作EF⊥AB,垂足为F,并连结FG.
则FG⊥AB
即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角.
∠EFG=60°,
由此得EG=EFsin60°
=CEsin30°sin60°=10×
=2.5≈4.3(m).
答:
沿直道行走到10m时人升高约4.3m.
[师]学生思考问题.
两条相交直线对顶角相等.
两个平面相交时,形成一些二面角,其中有些二面角有类似对顶角的位置关系,
二面角α—ΑΒ—β和二面角α′—AB—β′相等.
这样的两个二面角有公共的棱
它们的面合在一起恰是两个相交平面.
具有这样特殊位置的两个二面角大小相等.
但二面角α—AB—β和二面角β—AB—α′是互补的.
例2:
设P是二面角α-l-β内一点,P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5,且AB=7,求这个二面角的大小。
解:
作AC⊥l于c,连结BC
∵PA⊥α,lα∴PA⊥l
又AC⊥l,AC∩PA=A
∴l⊥平面PAC∴l⊥PC
∵PB⊥β,lβ∴PB⊥l
又PB∩PC=P∴l⊥平面PBC
∴平面PAC与平面PBC重合,且l⊥BC
∴∠ACB就是所求的二面角
△PAB中,PA=8,PB=5,AB=7∴∠P=600
∴∠ACB=1200
3.课堂练习:
课本P47练习1.
4.课时小结:
1.应理解掌握二面角、二面角的平面角概念;
2.通过学习应掌握利用二面角平面角的定义.
5.课后作业:
(一)课本P47习题1~7.
(二)预习:
如何判定两个平面垂直?
两个平面垂直后具有什么性质?
备课资料
一、求作二面角的平面角
求作二面的平面角是解决二面角问题的关键,也是难点,通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种:
1.定义法:
利用二面角的平面角定义,在二面角棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.
2.三垂线法:
利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直,找到二面角的平面角,关键在找面的垂线.
3.垂面法:
作一与棱垂直的平面,该垂面与二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.
[例1](xx年高考试题江苏卷)四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形PB垂直面ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
分析:
注意到题目中所给的二面角,面PAD与面PCD其棱为PD,围绕PD而考虑问题解决途径.
证法一:
利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E,连CE
因底是正方形,故CD=DA
△CED≌△AED,AE=EC,∠CED=∠AED=90°
则CE⊥PD
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角
设AC与BD交于O,连EO,则EO⊥AC
因
OA=
×
a=a,AE<AD<a
cos∠AEC==
<0
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
证法二:
运用三垂线法
∵PB⊥面ABCD,则PB⊥AD,又AD⊥AB
∴AD⊥面PAB,即面PAB⊥面PAD
过B作BE⊥PA则BE⊥面PAD
在面PBC内作PGBC,连GD
经C作CF⊥面PAD于F
那么连结EF,有EFAD
经F作FG⊥PD于H,连CH
则∠FGH是所求二面角平面角的补角
因CF⊥FH,故∠FHC是锐角
则面PAD与面PCD所成二面角大于90°
此结论证明过程中与棱锥高无关.
证法三:
利用垂面法找平面角.
在证法一所给图形中
连AC、BD,因AC⊥BD,PB⊥面ABCD
∴AC⊥PD
经A作AE⊥PD于E,那么有PD⊥面AEC,连CE
即PD⊥CE
故PD与平面AEC垂直后,面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角
以下同证法一.
评述:
证法一用的是定义法,平面角的一边是作出,而另一边是证得,证法二用的是三垂线法,关键在找面PAD的垂线CF,并且证明过程渗透立体几何的割补法求解问题,证法三是利用作垂直于棱的垂面,找交线是主要的.
二、用面积法求解二面角问题[面积射影]
在运用上述方法找二面角的平面角时,不一定所有问题都能解决,这时就应想到转化思想,即不直接找或作二面角的平面角,而是把问题加以转化,下面介绍一种求二面角的方法,就是射影面积公式cosθ=,θ是二面角的大小,S′是一面积为S的平面图形在另一面内的射影面积.
[例2]正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小.
解:
△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC
因E点射影为A,B1点射影为B
设正方体棱长为a
则S△ABC=
a2
又在△EB1C中,
B1E=
a,B1C=
a,EC=
a
故cos∠B1EC=
∴sin∠B1EC=
∴
设面MB1C和面ABCD所成的二面角为θ
则cosθ=
那么所求二面角的大小为arccos.
评述:
此题属无棱二面角问题,图中没有二面角的棱,我们也可以去找到棱去解决,但这里通过射影而直接求角更方便.S′=S△ABC,S=S.
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