数同步精致讲义选修11北师大第一章 常用逻辑用语1 Word含答案.docx
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数同步精致讲义选修11北师大第一章常用逻辑用语1Word含答案
§1 命题
学习目标 1.了解命题的概念及命题的构成,会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系,掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.
知识点一 命题的概念及命题的形式
思考 给出下列语句:
①若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;
②3+6=7;
③偶函数的图像关于y轴对称;
④5能被4整除.
请你找出上述语句的共同特点.
★答案★ 上述语句有两个特点:
①都是陈述句;②能够判断真假.
梳理
(1)定义
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.
(2)分类
①真命题:
判断为真的语句叫作真命题;
②假命题:
判断为假的语句叫作假命题.
(3)命题的形式:
“若p,则q”,其中命题的条件是p,结论是q.
由p能推出q,则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.
知识点二 四种命题
思考 给出以下四个命题:
(1)若x=2,则x2-3x+2=0;
(2)若x2-3x+2=0,则x=2;
(3)若x≠2,则x2-3x+2≠0;
(4)若x2-3x+2≠0,则x≠2.
你能说出命题
(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗?
★答案★ 命题
(1)的条件和结论与命题
(2)的条件和结论恰好互换了.命题
(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题
(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.
梳理 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这两个命题叫作互逆命题.
如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把这两个命题叫作互否命题.
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这两个命题叫作互为逆否命题.
把第一个叫作原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
知识点三 四种命题的关系及其真假判断
思考 如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?
它的否命题呢?
它的逆否命题呢?
★答案★ 原命题为真,其逆命题不一定为真,其否命题不一定为真,其逆否命题一定是真命题.
梳理
(1)四种命题的相互关系
(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是逆否命题.
(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性没有关系.
(4)四种命题中,真命题都是成对出现,即真命题的个数为0或2或4.
1.有些命题的真假性不能确定.( × )
2.有的命题没有逆命题.( × )
3.原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题.( √ )
类型一 命题的概念
例1 下列语句:
(1)
是无限循环小数;
(2)x2-3x+2=0;
(3)当x=4时,2x>0;
(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
(5)一个正整数不是合数就是素数;
(6)作△ABC≌△A′B′C′;
(7)二次函数的图像太美了!
(8)4是集合{1,2,3}中的元素.
其中是命题的是________.(填序号)
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
★答案★
(1)(3)(5)(8)
解析 本题主要考查命题的判断,判断依据:
看能否判断真假.
(1)是命题,能判断真假;
(2)不是命题,因为语句中含有变量x,在没给变量x赋值前,我们无法判断语句的真假;(3)是命题;(4)不是命题,因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断;(5)是命题;(6)不是命题;(7)不是命题;(8)是命题.故★答案★为
(1)(3)(5)(8).
反思与感悟 一般地,判断一个语句是不是命题,要看这个语句能不能判断真假.
跟踪训练1 判断下列语句是否为命题,若是,请判断真假并改写成“若p,则q”的形式.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
(2)三角形中,大角所对的边大于小角所对的边;
(3)当x+y是有理数时,x,y都是有理数;
(4)1+2+3+…+2014;
(5)这盆花长得太好了!
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
解
(1)(4)(5)未涉及真假,都不是命题.
(2)是真命题.此命题可写成“在三角形中,若一条边所对的角大于另一边所对的角,则这条边大于另一边.”
(3)是假命题.此命题可写成“若x+y是有理数,则x,y都是有理数”.
类型二 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
(1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,且平分弦所对的弧;
(3)若m≤0或n≤0,则m+n≤0;
(4)在△ABC中,若a>b,则∠A>∠B.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解
(1)逆命题:
若方程mx2-x+n=0有实数根,则m·n<0,假命题.
否命题:
若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根,假命题.
逆否命题:
若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0,真命题.
(2)逆命题:
若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命题.
否命题:
若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题.
逆否命题:
若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,真命题.
(3)逆命题:
若m+n≤0,则m≤0或n≤0,真命题.
否命题:
若m>0且n>0,则m+n>0,真命题.
逆否命题:
若m+n>0,则m>0且n>0,假命题.
(4)逆命题:
在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b,真命题.
否命题:
在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B,真命题.
逆否命题:
在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b,真命题.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.
跟踪训练2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
(1)若ab=0,则a=0;
(2)已知a,b,c为实数,若a=b,则ac=bc.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解
(1)逆命题:
若a=0,则ab=0,真命题.
否命题:
若ab≠0,则a≠0,真命题.
逆否命题:
若a≠0,则ab≠0,假命题.
(2)逆命题:
已知a,b,c为实数,若ac=bc,则a=b,假命题.
否命题:
已知a,b,c为实数,若a≠b,则ac≠bc,假命题.
逆否命题:
已知a,b,c为实数,若ac≠bc,则a≠b,真命题.
命题角度2 四种命题的相互关系
例3 若命题p:
“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r与p的逆命题的关系是( )
A.互为逆命题
B.互为否命题
C.互为逆否命题
D.同一命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
★答案★ B
解析 已知命题p:
若x+y=0,则x,y互为相反数.
命题p的否命题q:
若x+y≠0,则x,y不互为相反数,
命题q的逆命题r:
若x,y不互为相反数,则x+y≠0,
∴r是p的逆否命题,
∴r是p的逆命题的否命题,故选B.
反思与感悟 1.判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断.
(2)巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
2.要判断四种命题的真假:
首先,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.
跟踪训练3 有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②一个实数不是正数就是负数;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“同位角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是________.
考点 四种命题的真假判断
题点 四种命题的概念及真假判断的综合应用
★答案★ 1
解析 ①“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”,是真命题.
②实数0既不是正数,也不是负数,所以原命题是假命题.
③“若x>-3,则x2-x-6≤0”,
解不等式x2-x-6≤0可得-2≤x≤3,
而x=4>-3不是不等式的解,
故是假命题.
④“相等的角是同位角”,是假命题.
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 原命题的逆否命题:
已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅,判断如下:
二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
令x2+(2a+1)x+a2+2=0,
则Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,所以4a-7<0,
即关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.
因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
所以(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,解得a≥
>1,
所以原命题为真,故其逆否命题为真.
引申探究
判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,则a<
”的逆否命题的真假.
解 先判断原命题的真假如下:
因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,且二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,
所以a<
.
所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假,
所以原命题的逆否命题为真命题.
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的两个命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
跟踪训练4 证明:
若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 “若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
∵a=2b+1,
∴a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1
=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1
=0.
∴命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
1.命题“若x>1,则x>-1”的否命题是( )
A.若x>1,则x≤-1
B.若x≤1,则x>-1
C.若x≤1,则x≤-1
D.若x<1,则x<-1
考点 四种命题概念的理解
题点 四种命题概念的理解
★答案★ C
解析 原命题的否命题是对条件“x>1”和结论“x>-1”同时否定,
即“若x≤1,则x≤-1”,故选C.
2.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
★答案★ D
解析 只要分清命题中的条件和结论即可.
3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
★答案★ B
解析 否命题是既否定条件又否定结论.
因此否命题应为“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.
4.命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.2
C.3D.4
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
★答案★ B
解析 命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”是假命题,
则其逆否命题是假命题.
该命题的逆命题为“若ac2>bc2,则a>b(a,b,c∈R)”是真命题,则其否命题是真命题.故选B.
5.给出以下命题:
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.
其中为真命题的是________.(填序号)
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
★答案★ ①③
解析 ①否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,真命题.
②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”,假命题.
③∵Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,∴x2+x-m=0有实根,即原命题为真.∴逆否命题为真.
1.可以判断真假、用文字或符号表述的语句是命题,命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变.
3.写四种命题时,可以按下列步骤进行
(1)找出命题的条件p和结论q.
(2)写出条件p的否定和结论q的否定.
(3)按照四种命题的结构写出所有命题.
4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性的判断
★答案★ D
解析 对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若有两个角是直角,则这两个角相等”;B所给语句不是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.
2.给出下列三个命题:
( )
①“全等三角形的面积相等”的否命题;
②“若lgx2=0,则x=-1”的逆命题;
③“若x≠y或x≠-y,则|x|≠|y|”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
★答案★ B
解析 ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”,它是假命题;②的逆命题是“若x=-1,则lgx2=0”,它是真命题;③的逆否命题是“若|x|=|y|,则x=y且x=-y”,它是假命题,故选B.
3.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是( )
A.真命题,否命题:
“若ab>0,则a>0或b>0”
B.真命题,否命题:
“若ab>0,则a>0且b>0”
C.假命题,否命题:
“若ab>0,则a>0或b>0”
D.假命题,否命题:
“若ab>0,则a>0且b>0”
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
★答案★ B
解析 “若a>0且b>0,则ab>0”是真命题,又“若a>0且b>0,则ab>0”是“若ab≤0,则a≤0或b≤0”的逆否命题,故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若ab>0,则a>0且b>0”.
4.下列命题中为真命题的是( )
A.“若x>2016,则x>0”的逆命题
B.“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题
C.若x2+x-2=0,则x=1
D.“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
★答案★ B
解析 A选项,“若x>2016,则x>0”的逆命题为“若x>0,则x>2016”是假命题;B选项,“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0,则xy≠0”是真命题;C选项,由x2+x-2=0,得x=1或x=-2,故C是假命题;D选项,“若x2≥1,则x≥1”是假命题,故其逆否命题是假命题.
5.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥
”的否命题是( )
A.若a2+b2<
,则a+b≠1
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a+b≠1,则a2+b2<
D.若a2+b2≥
,则a+b=1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
★答案★ C
解析 “a+b=1”,“a2+b2≥
”的否定分别是“a+b≠1”,“a2+b2<
”,故否命题为“若a+b≠1,则a2+b2<
”.
6.有下列三个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“若a2 ③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为( ) A.①②B.②③ C.①③D.③④ 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 ★答案★ C 解析 命题①: “若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;命题②: “若a2≥b2,则a≥b”是假命题;命题③: “若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”是真命题,则其逆否命题也为真命题;命题④是假命题. 7.已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 ★答案★ B 解析 命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”是真命题,故其逆否命题是真命题. 该命题的逆命题为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,故其否命题也是假命题,故选B. 8.原命题为“△ABC中,若cosA<0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,真,真B.假,假,真 C.真,真,假D.真,假,假 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 ★答案★ B 解析 若cosA<0,A为钝角,则△ABC为钝角三角形,所以原命题为真,则逆否命题也为真;△ABC为钝角三角形,可能是B或者C为钝角,A可能为锐角,cosA>0.所以逆命题为假,则否命题也为假.故选B. 9.已知命题p: 若a<1,则a2<1,则下列说法正确的是( ) A.命题p是真命题 B.命题p的逆命题是真命题 C.命题p的否命题是“若a<1,则a2≥1” D.命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a<1” 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 ★答案★ B 解析 若a=-2,则(-2)2>1,∴命题p为假命题, ∴A不正确; 命题p的逆命题是“若a2<1,则a<1”,为真命题, ∴B正确; 命题p的否命题是“若a≥1,则a2≥1”,∴C不正确; 命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a≥1”,∴D不正确. 故选B. 二、填空题 10.已知命题p的逆命题是“若实数a,b满足a=1且b=2,则a+b<4”,则命题p的否命题是__________________________________. 考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的应用 ★答案★ 若实数a,b满足a+b≥4,则a≠1或b≠2 解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得. 11.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________. 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 ★答案★ 1 解析 原命题是真命题,则其逆否命题是真命题,该命题的逆命题是假命题,则其否命题也是假命题,故★答案★为1. 12.给定下列命题: ①若k>0,则方程x2-2x-k=0有实数根; ②若x+y≠8,则x≠2或y≠6; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题. 其中真命题的序号是________. 考点 四种命题的真假判断 题点 四种命题的概念及真假判断的综合应用 ★答案★ ①②④ 解析 ①∵Δ=4-4(-k)=4+4k>0, ∴①是真命题. ②其逆否命题为真,故②是真命题. ③逆命题: “对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题: “若xy≠0,则x,y都不为零”是真命题. 三、解答题 13.判断命题: “若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假. 考点 四种命题的相互关系 题点 逆否证法 解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致, 所以只需判断原命题的真假即可. 方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b, 因为b≤-1,所以Δ≥4>0, 故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真. 方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1”. 方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b, 因为方程无实根,所以Δ<0,即-4b<0,所以b>0, 所以b>-1成立,即原命题的逆否命题为真. 四、探究与拓展 14.命题“若a2+2ab+b2+a+b-2≠0,则a+b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________. 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 ★答案★ 1 解析 a2+2ab+b2+a+b-2≠0化简得(a+b-1)(a+b+2)≠0,即a+b≠1且a+b≠-2. 命题“若a2+2ab+b2+a+b-2≠0,则a+b≠1”的逆命题为“若a+b≠1,则a2+2ab+b2+a+b-2≠0”,为假命题,a+b=-2也可以使a2+2ab+b2+a+b-2=0;否命题与逆命题同真同假,故其否命题为假命题;逆否命题为“若a+b=1,则a2+2ab+b2+a+b-2=0”,为真命题. 15.设m,n∈R,证明: 若m2+n2=2,则m+n≤2. 考点 四种命题的相互关系 题点 逆否证法 证明 将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题, 则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”. 因为m+n>2,所以m2+n2≥ (m+n)2> ×22=2. 所以m2+n2≠2,所以原命题得证.
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