二次函数与直角三角形存在问题.docx
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二次函数与直角三角形存在问题.docx
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二次函数与直角三角形存在问题
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月日__:
00--__:
00
课题
名称
直角三角形的存在问题
教学
重点
教
学
过
程
【经典练习讲解】
1.(2011•济南)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣
x2+bx+c经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线y=﹣
x2+bx+c的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4)。
点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动。
其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动。
过点N作NP垂直x轴于点P,连结AC交NP于Q,连结MQ。
求:
(1)点 (填M或N)能到达终点;
(2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t和取值范围,当t为何值时,S的值最大;
(1)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?
若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由。
3.(2010•铜仁地区)如图所示,矩形OABC位于平面直角坐标系中,AB=2,OA=3,点P是OA上的任意一点,PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合.
(1)设OP=x,OE=y,求y关于x的函数解析式,并求x为何值时,y的最大值;
(2)当PD⊥OA时,求经过E、P、B三点的抛物线的解析式;
(3)请探究:
在
(2)的条件下,抛物线上是否存在一点M,使得△EPM为直角三角形?
若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2011•潼南县)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在
(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
5.(2011•徐州)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点P,顶点为C(1,﹣2).
(1)求此函数的关系式;
(2)作点C关于x轴的对称点D,顺次连接A,C,B,D.若在抛物线上存在点E,使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形,求点E的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出点F的坐标及△PEF的面积;若不存在,请说明理由.
6.(2009•防城港)如图,在平面直角坐标系中,直线
与x轴、y轴分别相交于A、D两点,点B在y轴上,现将△AOB沿AB翻折,使点O刚好落在直线AD上的点C处.
(1)求BD的长.
(2)设点N是线段AD上的一个动点(与点A、D不重合),
当点N运动到什么位置时,S1与S2的积的值最大,求出此时点N的坐标.
(3)在y轴上是否存在点M,使△MAC为直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,说明理由.
7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线
与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转,角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q,设旋转角为
(
).
1当α等于多少度时,△CPQ是等腰三角形;
2设BP=t,AQ=s求s与t之间的函数关系式.
8.(2009•湛江)已知矩形纸片OABC的长OA=4,宽OC=3,以OA所在的直线为x轴,以OC所在的直线为y轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系。
点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),现将△OPC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE、PF重合.
(1)若点E落在BC边上,如图①,求过P、C、D三点的抛物线的解析式;
(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y当x为何值时,y取得最大值?
(3)在
(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。
9.(2009•营口)如图,正方形ABCO的边长为
,以O为原点建立平面直角坐标系,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的正半轴上,把正方形ABCO绕点O顺时针旋转
后得到正方形A1B1C1O(
<45º),B1C1交y轴于点D,且D为B1C1的中点,抛物线y=ax2+bx+c过点A1、B1、C1.
(1)求tan
的值;
(2)求点A1的坐标,并直接写出点B1、点C1的坐标;
(3)求抛物线的解析式及其对称轴;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PB1C1为直角三角形?
若存在,直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
10.(2011•西宁)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为(﹣1,0).如图所示,B点在抛物线y=
x2+
x﹣2图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为﹣3.
(1)求证:
△BDC≌△COA;
(2)求BC所在直线的函数关系式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
11.(2011•沈阳)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,﹣3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段PQ=
AB时,求tan∠CED的值;
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
温馨提示:
考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.
12.(2011•朝阳)平面直角坐标中,对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O,其顶点坐标为(3,﹣
);Rt△ABC的直角边BC在x轴上,直角顶点C的坐标为(
,0),且BC=5,AC=3(如图
(1)).
(1)求出该抛物线的解析式;
(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移,当点A落在
(1)中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动.D(0,4)为y轴上一点,设点B的横坐标为m,△DAB的面积为s.
①分别求出点B位于原点左侧、右侧(含原点O)时,s与m之间的函数关系式,并写出相应自变量m的取值范围(可在图
(1)、图
(2)中画出探求);
3当点B位于原点左侧时,是否存在实数m,使得△DAB为直角三角形?
若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
13.(2010•铁岭)如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C的坐标分别为(﹣1,0),(5,0),(0,2).
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动,连接PC并延长到点E,使CE=PC,将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB.若点P运动的时间为t秒,(0≤t≤6)设△PBF的面积为S;
①求S与t的函数关系式;
②当t是多少时,△PBF的面积最大,最大面积是多少?
(3)点P在移动的过程中,△PBF能否成为直角三角形?
若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.
14.(2010•达州)如图所示,对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B,O.
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标;
(2)连接AB,把AB所在的直线平移,使它经过原点O,得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当0<S≤18时,求t的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,当t取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
课后小结
上课情况:
课后需再巩固的内容:
配合需求:
家长_________________________________
学管师_________________________________
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 二次 函数 直角三角形 存在 问题