第1讲截长补短模型原卷版0228045419.docx
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第1讲截长补短模型原卷版0228045419
中考数学几何模型工:
截长补短模型
名师点睛拨开云寺开门见山
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和''或"差''及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段与已知线段相等,然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”,就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解.
典题探究启迪思维探究重点
例题L如图,AB//CD,8E平分NA8C,CE平分N5CO,若E在A。
上.
求证:
(1)BE工CE;
(2)BC=AB+CD.
变式练习》»
1.已知^ABC的内角平分线AD交BC于D,ZB=2ZC.求证:
AB+BD=AC.
例题2.已知aABC中,NA=60°,BD,CE分别平分NA8C和NAC&BD、CE交于点。
,试判断BE,CD,BC的数量关系,并说明理由.
变式练习》>
2
试判断线段
.已知:
ZvlBC中,AB=AC.D为AABC外一点,且NABD=6(T,ZADB=90°-L/BOC.
2
CD、8。
与A8之间有怎样的数量关系?
并证明你的结论.
DA平分
例题3.如图所示,在五边形ABCOE中,AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=\SO0,求证:
ZCDE.
变式练习》>
3.如图,△ABC是等边三角形,△5QC是顶角NBDC=120°的等腰三角形,M是A3延长线上一点,N是CA延长线上一点,且NMDN=6(T.试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并给出证明.
例题4.在四边形ABDE中,C是8。
边的中点.
(1)如图
(1),若AC平分N3AE,ZACE=90°,则线段AE、AB.OE的长度满足的数量关系为
:
(直接写出答案)
(2)如图
(2),AC平分NB4E,EC平分NAED,若NACE=120°,则线段A3、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系?
写出结论并证明:
(3)如图(3),BD=8,AB=2,DE=8,若ACE=135°,则线段AE长度的最大值是(直接写出答案).
例题5.在△ABC中,ZBAC=90°.
(1)如图1,直线/是8C的垂直平分线,请在图1中画出点A关于直线/的对称点A',连接A'C,A'B,A'C与AB交于点E:
(2)将图1中的直线A'8沿着EC方向平移,与直线EC交于点O,与直线8C交于点凡过点下作直线A8的垂线,垂足为点H.
①如图2,若点。
在线段EC上,请猜想线段F从DF,AC之间的数量关系,并证明;
②若点。
在线段EC的延长线上,直接写出线段/从DF,AC之间的数量关系.
例题6.如图1,在A48C中,ZACB=2ZB,N3AC的平分线A。
交8c于点。
,点〃为A0上一动点,过点〃作直线/L4。
于从分别交直线从8、AC、BC、于点ME、M.
(1)当直线/经过点C时(如图2),求证:
BN=CD;
(2)当M是8C中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明:
(3)请直接写出8MCE.。
之间的等量关系.
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1.如图,在△ABC中,ZBAC=60°,A。
是N84C的平分线,且AC=A8+8。
,求NA8C的度数.
2.如图,在四边形ABCD中,AB/ZDC,E为BC边的中点,NBAE=NEAF,AF与DC的延长线相交于点F,试探究线段AB与AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
3.如图,△ABC是等边三角形,△8OC是顶角N8OC=120°的等腰三角形,以。
为顶点作一个60口角/NDM,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MM试探究BM、MMCN之间的数量关系,并加以证明.
4.如图,中,E是3C边的中点,连接AE,F为CD边上一点、,且满足NOM=2N8A£
(1)若NO=105°,NOAF=35°・求NEE的度数;
(2)证:
AF=CD+CF.
5.如图所示,在正方形ABCO的边C8的延长线上取点F,连结AR在A尸上取点G,使得AG=A。
,连结
DG,过点A作A£LLA凡交OG于点£
(1)若正方形A8CO的边长为4,且AB=2F8,求FG的长:
(2)求证:
AE+BF=AF.
6.如图,在四边形A8CO中,AB=AD,NA4O=6(T,ZBCD=120°,连接AC,BD交于点、E.
(1)若BC=CQ=2,M为线段AC上一点,且AM:
CM=1:
2,连接求点C到的距离.
(2)证明:
BC+CD=AC.
7.如图,在正方形A8CQ中,点尸是A8的中点,连接OP,过点5作8E_LO尸交。
P的延长线于点E,连接AE,过点A作AF_LAE交OP于点凡连接8只
(1)若AE=2,求石厂的长:
(2)求证:
PF=EP+EB.
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