北师大版必修一高一上学期数学第四章实际问题的函数建模答案.docx

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北师大版必修一高一上学期数学第四章实际问题的函数建模答案

北师大版必修一高一上学期数学

第四章实际问题的函数建模

姓名：

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1、选择题

1.1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c（x）＝20＋2x＋

x2（万元），若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为（　　）

A．18件B．36件

C．22件　　D．9件

[答案]　A

[解析]　y＝20x－c（x）＝20x－20－2x－

x2＝－

x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．

2．下图A表示某年12个月中每月的平均气温，一般地，家庭用电量（kW·h）与气温（℃）有一定关系．图B表示某家庭在此年12个月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（　　）

A．气温最高时，用电量最多

B．气温最低时，用电量最少

C．当气温大于某一值时，用电量随气温增加而增加

D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

[答案]　C

[解析]　逐月分析图像的升降趋势和变化率，排除干扰选项便能确定答案．

比较两图可以发现，2月份用电量最多，而2月份气温不是最高，因此排除A.同理可排除B.

8月至12月份气温一直下降，但用电量有增有减，排除D.

由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C正确．故选C.

3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长为原来的y倍，则函数y＝f（x）的图像大致为（　　）

[答案]　D

[解析]　设原来的荒漠化土地面积为a，则ay＝a（1＋10.4%）x，即y＝1.104x（x≥0）．

4．2002年3月5日，第九届全国人民代表大会第五次会议《政府工作报告》指出：

2001年，国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.如果“十五”期间（2001年～2005年）每年我国生产总值按此年增长，那么到“十五”末我国国内生产总值约为（　　）

A．115000亿元B．120000亿元

C．127000亿元D．135000亿元

[答案]　C

[解析]　由于2001年生产总值已达95933亿元，则从2001年底到2005年底中时间只有4年，故x＝4.

则y＝95933×（1＋7.3%）4≈127000亿元．

5．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成x的函数，其表达式为（　　）

A．y＝（3x＋5）1.1x＋2.4

B．y＝8×1.1x＋2.4x

C．y＝（3x＋8）1.1x＋2.4

D．y＝（3x＋5）1.1x－1＋2.4

[答案]　A

[解析]　第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8（万元），

第二年应付给工人的工资总额为（8＋3）×1.12＋3×0.8（万元），

依次类推：

第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3（x－1）]×1.1x＋2.4＝（3x＋5）×1.1x＋2.4.

6．（2012·西宁高一检测）据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2012年有湖水量为m，从2012年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为（　　）

A．y＝0.9

B．y＝（1－0.1

）m

C．y＝0.9

·mD．y＝（1－0.150x）m

[答案]　C

[解析]　湖水剩余量y与年数x构成指数函数关系，y＝0.9

m.

1.

如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：

y＝at，有以下叙述：

①这个指数函数的底数为2；

②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；

③浮萍从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；

④浮萍每月增加的面积都相等；

⑤若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.

其中正确的是（　　）

A．①②B．①②③④

C．②③④⑤D．①②⑤

[答案]　D

[解析]　设此指数函数为y＝ax（a>0且a≠1），

由图像可知：

（1,2），（2,4）代入可得：

a＝2，∴y＝2x，故①正确．

当x＝5时，y＝25＝32>30，②正确．

当y＝4时，x＝2，当y＝12时，x＝log212>log22

，从而可知浮萍从4m2蔓延到12m2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．

把y＝2,4,8代入y＝2t分别得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正确．因此选D.

2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的

，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（　　）

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

[答案]　B

[解析]　设至少要洗x次，则（1－

）x≤

，

∴x≥

≈3.321，因此需4次．

二、填空题

9.7．为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下表及图提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒________万个．

年份

快餐公司数

2005

30

2006

45

2007

90

[答案]　85

[解析]　结合题中两个图表可得：

2005年消耗纸质饭盒总数＝1×30＝30（万个）；

2006年消耗纸质饭盒总数＝2×45＝90（万个）；

2007年消耗纸质饭盒总数＝1.5×90＝135（万个）；

故每年平均消耗纸质饭盒总数＝（30＋90＋135）÷3＝85（万个）．

8．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：

项目

A

B

C

D

E

F

投资额（亿元）

5

2

6

4

6

1

利润（亿元）

0.55

0.4

0.6

0.5

0.9

0.1

设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是______．（只需写出项目的代号）

[答案]　A、B、E或B、D、E、F

[解析]　当投资为13亿元时，有以下两种投资选择方案：

f（A，B，E）＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85（投资13亿元）；

f（B，D，E，F）＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9（投资13亿元）．

伦敦市为成功举办2012年奥运会，决定从2008年底到2011年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2009年底已更新现有总车辆数的百分比约为________（保留3位有效数字）．

[答案]　30.2%

[解析]　设现有车辆总数为a,2009年底更新了现有总车辆数的百分比为x，则a·x＋a·x（1＋10%）＋ax（1＋10%）2＝a.

∴x（1＋1.1＋1.12）＝1.

∴x≈30.2%.

4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝

t－a（a为常数），如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为________________；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

[答案]　

（1）y＝

；

（2）0.6.

[解析]　由图像可知，当0≤t<0.1时，y＝10t；

当t＜0.1时，由1＝

0.1－a，得a＝0.1，

∴当t＞0.1时，y＝

t－

.

∴y＝

，

由题意可知（

）t－

＜0.25，得t＞0.6（小时）．

三、解答题

13.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少

，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？

（已知：

lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）

[解析]　解法一：

∵每次过滤杂质含量降为原来的

，过滤n次后杂质含量为

·

n.

依题意，得

·

n≤

，即

n≤

，

∵

7＝

>

，

8＝

<

，

∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．

解法二：

接解法一：

（

）n≤

，

则n（lg2－lg3）≤－（1＋lg2），

即n≥

≈7.4，又n∈N＋，

∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.

16.某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费（即每销售100元提出p元），并将商品A的年产销量减少了10p万件．

（1）若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；

（2）若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．

[解析]　由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p%时，销售量为（80－10p）万件，此时销售金额为80×（80－10p）万元，

新产品开发金额f（p）＝80×（80－10p）×p%（万元）．

（1）由题设知

解得2≤p≤6.

即新产品开发费不少于96万元时，p的取值范围为2≤p≤6.

（2）当0

＝－8（p－4）2＋128.

∴当p＝4时，f（p）max＝128.

即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．

6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？

[解析]　设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝

＋x＋2y，

y＝

，由y>0，得x∈（0，

）．

S＝

x2＋xy＝

x2＋

·x

＝－

（x－

）2＋

，x∈（0，

）．

当x＝

时，Smax＝

，此时，y＝

＝

.

答：

窗户中的矩形高为

，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．

7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y＝a·bx＋c（其中a，b，c为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？

并说明理由．

[解析]　设两个函数

y1＝f（x）＝px2＋qx＋r（p≠0）；

y2＝g（x）＝a·bx＋c.

依题意，有

解得

∴y1＝f（x）＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，

∴f（4）＝1.3（万件），

依题意，也有

解得

∴y2＝g（x）＝－0.8×（0.5）x＋1.4，

g（4）＝－0.8×（0.5）4＋1.4＝1.35（万件）．

经比较可知，g（4）＝1.35（万件），比f（4）＝1.3（万件）更接近于4月份的产量1.37万件．

∴选用y2＝g（x）＝－0.8×（0.5）x＋1.4作为模拟函数较好．