《初等数论》习题解答.docx
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《初等数论》习题解答
《初等数论》习题集
第1章
第1节
1.证明定理1。
2.证明:
若m—pmn十pq,贝Um—pmq+np。
3.证明:
任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,
使得这个自然数的数字和能被11整除。
4.设p是n的最小素约数,n=pni,n〔>1,证明:
若p>3n,贝Uni是素数。
5.证明:
存在无穷多个自然数n,使得n不能表示为
a?
+p(a>0是整数,p为素数)的形式。
第2节
1.证明:
12n4+2n3+11n2+10n,n§Z。
2.设3a2+b2,证明:
3a且3b。
3.设n,k是正整数,证明:
nk与nk+4的个位数字相同。
4.证明:
对于任何整数n,m,等式n2+(n+1)2=m2+2不可能成立。
5.设a是自然数,问a4-3a2+9是素数还是合数?
6.证明:
对于任意给定的n个整数,必可以从中找出若干个作和,使得
这个和能被n整除。
第3节
1.证明定理1中的结论(i)—(iv)。
2.证明定理2的推论1,推论2和推论3。
3.证明定理4的推论1和推论3。
4.设x,yWZ,17|2x+3y,证明:
179x十5y。
5.设a,b,c在N,c无平方因子,a2b2c,证明:
ab。
6.设n是正整数,求ckC…,CM;"1的最大公约数。
第4节
1.证明定理1。
2.证明定理3的推论。
3.设a,b是正整数,证明:
(a+b)[a,b]=a[b,a+b]。
4.求正整数a,b,使得a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144。
5.设a,b,c是正整数,证明:
22
[a,b,c](a,b,c)
=。
[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)
6.设k是正奇数,证明:
1+2+…+9|lk+2k+…+9k。
第5节
1.说明例1证明中所用到的四个事实的依据。
2.用辗转相除法求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162)。
3.计算:
(27090,21672,11352)。
4.使用引理1中的记号,证明:
(Fn+1,Fn)=1。
5.若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所
得的余数相同,且不等于零,求除数和余数各是多少?
6.记Mn=2n-1,证明:
对于正整数a,b,有(Ma,Mb)=M(a,b)。
第6节
1.证明定理1的推论1。
2.证明定理1的推论2。
3.写出22345680的标准分解式。
4.证明:
在1,2,…,2n中任取n+1数,其中至少有一个能被另一个整除。
、一11一…,
5.证明:
1+—平•,+—(n>2)不是整数。
2n
6.设a,b是正整数,证明:
存在a〔,a2,加,b2,使得
a=a〔a2,b=b〔b2,(a2,b2)=1,
并且[a,b]=a2b2°
第7节
1.证明定理1。
2.求使12347!
被35k整除的最大的k值。
3.设n是正整数,x是实数,证明:
£[―y—]=n。
rm2'j
4.设n是正整数,求方程
X2-[x2]=(x-[x])2
在[1,n]中的解的个数。
5.证明:
方程
f(x)=[x][2x][22x][23x][24x][25x]=12345
没有实数解。
6.证明:
在n!
的标准分解式中,2的指数h=n—k,其中k是n的二进制表示的位数码之和。
第8节
1.证明:
若2n+1是素数,贝Un是2的乘藉。
2.证明:
若2n-1是素数,则n是素数。
3.证明:
形如6n+5的素数有无限多个。
4.设d是正整数,6|d,证明:
在以d为公差的等差数列中,连续三项都是素数的情况最多发生一次。
5.证明:
对于任意给定的正整数n,必存在连续的n个自然数,使得它们都是合数。
6.证明:
级数发散,此处使用了定理1注2中的记号。
n注Pn
第2章
第1节
1.证明定理1和定理2。
2.证明定理4。
3.证明定理5中的结论(i)—(iv)。
4.求81234被13除的余数。
5.设f(x)是整系数多项式,并且f
(1),f
(2),…,f(m)都不能被m整除,则f(x)=0没有整数解。
6.已知9962邠427,求c(与艮
第2节
1.证明定理1。
2.证明:
若2p+1是奇素数,贝U
(p!
)2+(―1)P三0(mod2p+1)。
3.证明:
若p是奇素数,N=1+2+…+(p-1),贝U
(p-1)!
三p-1(modN)。
4.证明Wilson定理的逆定理:
若n>1,并且
(n—1)!
三T(modn),
则n是素数。
5.设m是整数,4m,{a〔,a2,…,am}与(b1,b2,…,bm}是模m的两个完全剩余系,证明:
{aibi,a2b2,…,ambm}不是模m的完全剩余系。
6.设mi,m2,…,mn是两两互素的正整数,&(1
&三1(modmi),1
5三0(modmj),i孝j,1
证明:
当也通过模mi(1
b1、1,b2、'2,…,bn-'n
通过模m=m〔m2…mn的完全剩余系。
第3节
1.证明定理1。
2.设m1,m2,…,mn是两两互素的正整数,Xi分别通过模mi的简化剩
余系(1
m
M1X1M2X2,一MnXn通过模m的简化剩余系。
3.设m>1,(a,m)=1,X1,X2,…,x^rn)是模m的简化剩余系,证明:
•(m)aX1
三箫}=2响。
其中{X}表示X的小数部分。
4.设m与n是正整数,证明:
(mn)((m,n))=(m,n)(m)(n)。
5.设a,b是任意给定的正整数,证明:
存在无穷多对正整数m与n,
使得
a(m)=b(n)。
6.设n是正整数,证明:
1
(i)町n)>^Jn;
(ii)若n是合数,则阳)4n-Vn。
第4节
1.证明:
1978103—19783能被103整除。
2.求313159被7除的余数。
3.证明:
对于任意的整数a,(a,561)=1,都有a560三1(mod561),但561是合数。
4.设p,q是两个不同的素数,证明:
pq-1+qp里三1(modpq)。
5.将612-1分解成素因数之积。
6.设n6,NN,对于bn+1的素因数,你有甚麽与例6相似的结论?
第5节
1.证明例2中的结论。
2.证明定理2。
3.求:
Z1。
d|nd
4.设f(n)是积性函数,证明:
(i)Z灿f(d)=+(1-f(p))
(ii)ZP2(d)f(d)=n(1+f(p))。
5.求^n)的Mobius变换。
第3章
第1节
1.证明定理3。
2.写出789的二进制表示和五进制表示。
3.求—的小数的循环节。
21
4.证明:
七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。
5.证明:
既约正分数m的b进制小数(0a_jaua_T")b为有限小数的
n
充要条件是n的每个素因数都是b的素因数。
第2节
1.设连分数《口1,死,…,%,…:
的第k个渐近分数为卫,证明:
qk
a1
-1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
a2
-4
0
%・q
0
0
a2
二
0
%・q
%
0
0
1
a3
■1
0
*•・-
0
0
1
a3
-4
0
*q■■
0
pk=
0
0
1
qk=
0
0
1
akJ_
-4
ak^_
-4
0
0
0
1
ak
0
0
0
1
ak
2.设连分数(ai,此,…,an,"L:
的第k个渐近分数为也,证明:
qk
1海1*'ak1*,zpk
IIT"i=
。
人1i1叮®
3.求连分数<1,2,3,4,5,■-的前三个渐近分数。
4.求连分数《2,3,2,3,■-•:
的值。
5.解不定方程:
7x-9y=4。
第3节
1.证明定理4。
2.求晅的连分数。
3.求2+73的误差<10的有理逼近。
4.求sin18物误差<10站的有理逼近。
5.已知圆周率n=<3,7,15,1,292,1,1,1,21,■-',,求兀的误差
<10"6的有理逼近。
6.证明:
空5连分数展开的第k个渐近分数为曰。
此处(Fn}是
2Fk
Fibonacci数歹U。
第4节
1.将方程3x2+2x-2=0的正根写成连分数。
2.求a=〈1,2,3乏值。
3.设a是正整数,求Va2+1的连分数。
4.设无理数屈 的第k个渐近分数为其,证明: qk 7d=血,a2,…,an,2a1『的充要条件是 Pn=a〔qnqn4dqn=a1PnPn二。 5.设无理数Vd= qk 整数n使得 pn=a〔qnqn1,dqn=a〔pnpn=, 证明: (i)当n为偶数时,pn,qn是不定方程x2—dy2=1的解; (ii)当n为奇数时,p2n,q2n是不定方程x2—dy2=1的解。 第1节 1.将】7写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和7。 105 2.求方程xi+2x2+3x3=41的所有正整数解。 3.求解不定方程组: x1+2x2十3x3=7 』。 gx1-5x2+20x3=11 4.甲班有学生7人,乙班有学生11人,现有100支铅笔分给这两个班,要使甲班的学生分到相同数量的铅笔,乙班学生也分到相同数量的铅 笔,问应怎样分法? 5.证明: 二元一次不定方程ax+by=n,a>0,b>0,(a,b)=1的 非负整数解的个数为[旦]或[旦]+1。 abab 6.设a与b是正整数,(a,b)=1,证明: 1,2,…,ab-a-b中恰有 (a1)(b个整数可以表示成ax+by(x芝0,y>0)的形式。 2 第2节 1.证明定理2推论。 2.设x,y,z是勾股数,x是素数,证明: 2z—1,2(x+y+1)都是平方数。 3. 求整数x, y,z,x>y>z,使 x—y,x—z,y—z都是平方数。 4. 解不定方程 : x23y2=z2,x> 0,y>0,z>0,(x,y)= =1O 5. 证明下面的不定方程没有满足 xyz丰0的整数解。 /•、2 2222 (1)x+ y■z=xy; (ii)x2+ y2z2=2xyz。 6. 、…2 莎程x 卜y2=z4的满足(x,y) =1,2|x的正整数解。 第3节 1.求方程x2+xy-6=0的整数解。 x+y+z=0,,…… 2.求方程组」333的整数解。 <+y3+z3=_18 3.求方程2x-3y=1的正整数解。 …111,…… 4.求方程1+1=1的正整数解。 xyz 一一,,…211,, 5.设p是素数,求方程一=—+一的整数解。 Pxy 6.设2n+1个有理数a〔,a2,…,a2n+1满足条件P: 其中任意2n个数可以分成两组,每组n个数,两组数的和相等,证明: a1=a1==a2n书。 第5章 第1节 1.证明定理1。 2.解同余方程: (i)31x三5(mod17); (ii)3215x三160(mod235)。 3.解同余方程组: 3x+5y三38(mod47) 』。 、x—y三10(mod47)
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