初一下册数学导学案.docx
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初一下册数学导学案
第五章相交线与平行线
5.1.1相交线
学习内容:
P.2—35.1.1
学习目标:
1、了解邻补角和对顶角的概念
2、掌握邻补角、对顶角的性质
重点:
对顶角与邻补角的概念与性质
难点:
1、对顶角相等的推理过程
2、推理中几何语言的叙述
学习过程:
一、自主探究
1、填一填
两直线相交
所形成的角
分类
位置关系
数量关系
2、想一想:
绕点O旋转直线AB,所形成的四个角的大小变了吗?
每两个角之间的关系变了吗?
二、概括归纳
1、邻补角
概念:
,这样的两个角叫互为邻补角;
请指出上图中的邻补角:
性质:
2、.对顶角
概念:
,这样的两个角叫互为对顶角;
三、课堂检测:
1、如图,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_______,∠COF的邻补角是________.若∠AOC:
∠AOE=2:
3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.
(图2)
(图1)
2、如图,直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.
(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数
5.1.2垂线
(一)
学习内容:
P.3—45.1.2
(一)
学习目标:
1.从实际问题中发现两条直线的垂直关系及垂线的性质。
2.会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。
3.了解垂直的表示方法,建立初步的符号感
重点:
垂线的定义、画法和性质
难点:
垂线的画法
前置学习:
1、如图,若∠1=60°,那么∠2=、∠3=、∠4=.
2、改变上图中∠1的大小,若∠1=90°,请画出这种图形,并求出此时∠2=、∠3=、∠4的大小。
学习探究:
1、阅读课本P3的内容,回答上面所画图形中两条直线的关系是__________,知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。
2、用语言概括垂直定义
两条直线相交,所成四个角中有一个角是_____时,我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____,他们的交点叫做_____。
3、垂直的表示方法:
垂直用符号“⊥”来表示,若“直线AB垂直于直线CD,垂足为O”,则记为__________________,并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。
4、垂直的推理应用:
(1)∵∠AOD=90°()
∴AB⊥CD()
(2)∵AB⊥CD()
∴∠AOD=90°()
画图实践:
1.用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L,画出直线L的垂线,能画几条?
L
小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
(2)怎样才能确定直线L的垂线位置呢?
在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,能画几条?
再经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?
B.
.LL
A
从中你能得出什么结论?
____________________________________________
2、变式训练,请完成课本P5练习第2题的画图。
画完图后,归纳总结:
画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在______的垂线.
二、课堂检测:
1、如图,直线AB、EF相交于O点,
于O点,
,
的度数分别为.
2、
(1)画图:
①直线AB、CD相交于点O
②过O点作OE⊥CD于O,并使OE、OB在CD的同侧。
(2)若有∠BOE=
∠BOC,求∠AOC的度数。
3、.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB
(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.
5.1.3垂线
(二)
学习内容:
P.5—65.1.2
(二)
学习目标:
1、通过操作观察,归纳总结出“垂线段最短”的事实
2、理解点到直线的距离的概念
重点:
1、垂线段最短
2、点到直线的距离
难点:
“点到直线的距离”与“两点间的距离”的区别与联系
学习过程:
1、情景问题:
如图,要把河流L中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?
2、自主探究:
如图,连接点P与直线L上的各点
,
,
,
,
…,其中PO⊥L(PO叫点P到直线L的垂线段),比较线段
…的长短,这些线段中,最短。
3、概括归纳:
1、公理:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,最短。
简单说成:
2.、点到直线的距离:
直线外一点到的长度,叫做这点到直线的距离。
四、课堂检测:
1、已知,如图,∠AOD为钝角,OC⊥OA,OB⊥OD
求证:
∠AOB=∠COD
证明:
∵OC⊥OA,OB⊥OD()
∴∠AOB+∠1=,
∠COD+∠1=90°(垂直的定义)
∴∠AOB=∠COD()
变式训练:
如图OC⊥OA,OB⊥OD,O为垂足,若∠BOC=35°,则∠AOD=________.
2、如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
3.如图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、点C到AB的距离.
5.1.2同位角、内错角和同旁内角
学习内容:
P.6—75.1.3
学习目标:
1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念,并能结合图形正确识别。
2、通过图形的识别训练,提高识图能力,建立归类思想。
重点:
同位角、内错角、同旁内角的概念和识别
难点:
在较复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角
学习过程:
一、探索新知:
1、我们知道,两条直线相交形成个角,每两个角之间是或关系。
2、如图,两条直线a,b都与第三条直线c相交(也可说两条直线a,b被第三条直线c所截)形成个角。
其中有公共顶点的两个角是邻补角或
没有公共顶点的两个角是什么关系?
二、概括归纳:
1、.同位角:
像∠1和∠5这样,分别位于直线a,b的,并且都在直线c的,具有这样关系的一对角叫同位角。
(图中还有同位角是)
2、内错角:
像∠3和∠5这样,分别位于直线a,b,并且分别在直线c的,具有这样关系的一对角叫内错角。
(图中还有内错角是)
3、同旁内角:
像∠4和∠5这样,分别位于直线a,b的,并且都在直线c的,具有这样关系的一对角叫同旁内角。
(图中还有同旁内角是)
三、课堂检测:
1、如图,用数字标出的八个角中
①同位角有________________;
②内错角有________________;
③同旁内角有_______________;
2、判断正误:
如图,①∠1和∠B是同位角;
②∠2和∠B是同位角;
③∠2和∠C是内错角;
④∠EAD和∠C是内错角;
5.2.1平行线
学习内容:
P.12—135.2.1
学习目标:
1、掌握平行线的定义、表示方法及其画法,建立初步的符号感。
2、探索平行公理及其推论
重点:
1、平行线的定义、表示方法
2、平行公理及其推论
难点:
探索平行公理
学习过程:
一、平行线的定义、表示方法及其画法
想一想:
同一平面内,两条直线的位置关系除相交外,还可能是..
1、平行线的定义:
在内,的两条直线叫做平行线
2、平行线的表示方法:
若直线a与直线b平行,记作,读作。
3、.平行线的画法:
①试一试借助方格纸画一组平行线
②再试一试借助一把直尺和一个三角板来画平行线,并说说你的画法
二、平行公理及其推论
1、如图:
已知直线L,点A、点B都在直线L外
在平面内画已知直线L的平行线,这样的平行线能画出条;
经过直线L外的一点A画已知直线的平行线,这样的平行线能画出条;
经过直线L外的另一点B画已知直线的平行线,它与过点A的那条平行线也平行吗?
2、平行公理:
经过直线外一点有条直线与这条直线平行
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线
即,如果a∥b,c∥b,那么
三、课堂检测:
1、因为AB∥CD,EF∥AB,根据_________,所以_____________。
2、a、b、c是直线,且a∥b,b∥c,则a___c;
a、b、c是直线,且a⊥b,b⊥c,则a___c;
3、指出图中
①∠C和∠D的关系:
②∠B和∠GEF的关系;
③∠A和∠D的关系;
④∠AGE和∠BGE的关系;
⑤∠CFD和∠AFB的关系
平行线的判定
(一)
学习内容:
P.13—155.2.2
学习目标:
1、理解用三角板和直尺画已知直线的平行线的依据——同位角相等,两直线平行(判定方法1)
2、由判定方法1推出判定方法2、3
3、经历观察、推理等活动,进一步发展推理能力和几何语言表达能力。
重点:
平行线的三种判定方法
难点:
由判定方法1推出判定方法2、3的说理过程。
学习过程:
一、概括归纳:
平行线的判定方法1:
两直线被第三条直线所截,如果所得到的同位角,那么这两直线平行。
简记为:
。
2:
两直线被第三条直线所截,如果所得到的,那么这两直线平行。
简记为:
。
3:
两直线被第三条直线所截,如果所得到的,那么这两直线平行。
简记为:
。
二、巩固应用:
如图,在同一平面内,如果两条直线a,b都垂直于直线c,那么这两条直线a,b平行吗?
为什么?
三、课堂检测:
1、如图,直线a、b被直线l所截,已知∠1=115°,∠2=115°,直线a、b平行吗?
为什么?
2、如图,在四边形ABCD中,已知∠B=60°,∠C=120°,AB与CD平行吗?
AD与BC平行吗?
3、如图,若∠1=52°,问应使∠C为多少度才能使直线AB∥直线CD?
平行线的判定
(二)
学习内容:
P.13—155.2.2
(二)
学习目标:
1、回顾平行线的三种识别方法
2、综合运用所学过的知识解决有关平行线的问题。
重点:
平行线的三种识别方法
难点:
几何语言的叙述
一、学习过程:
问题1如图,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,试说明BF∥CE
证明:
∵AB⊥BC,BC⊥CD()
∴∠ABC=∠DCB=()
∴∠1+∠3=,
∠2+∠4=()
又∵∠1=∠2(已知)
∴(同角的余角相等)
∴BF∥CE()问题2如图,已知∠OEB=130°,∠FOD=25°,OF平分∠EOD,试说明AB∥CD
二、课堂检测:
1、由∠DCE=∠D,可判断哪两条直线平行?
由∠1=∠2,可判断哪两直线平行?
由∠D+∠BAD=180°,可判断哪两条直线平行?
2、如图,已知:
∠C=∠D,∠D=∠1,说明:
AC∥DF,DB∥EC。
5.3.1平行线的性质
(一)
学习内容:
P.19—205.3.1
(一)
学习目标:
1、理解平行线的性质,能知道平行线的性质与判定的区别
2、经历观察、猜想、操作、交流、归纳、推理等活动,培养概括能力和逻辑推理能力
3、体会“观察—猜想—实验—归纳—验证”的研究问题的方法
重点:
平行线的性质
难点:
区分平行线的判定方法和性质
一、学习过程:
性质1:
两条平行线被第三条直线所截,得到的同位角相等,那么内错角,同旁内角又有何关系呢?
①如图,若a∥b,那么∠1=∠2吗?
答:
理由是:
∵a∥b(已知)
∴∠1=()
又∵∠3=()
∴=()
性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
简记为:
两直线平行,内错角相等
②如图,若a∥b,那么∠2和∠3有何关系?
答:
理由是:
∵a∥b(已知)
∴∠1=(两直线平行,)
又∵+=180°()
∴()
性质3:
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角相等
简记为:
两直线平行,同旁内角相等
二、巩固应用:
例1已知:
如图所示,AD∥BC,∠AEF=∠B,求证:
AD∥EF.
分析:
(执果索因)从图直观分析,欲证AD∥EF,只需∠A+∠AEF=180°,(由因求果)因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°,又∠B=∠AEF,所以∠A+∠AEF=180°成立.于是得证.
证明:
因为 AD∥BC,(已知)
∴ .(两直线平行,同旁内角互补)
∵ ∠AEF=∠B,(已知)
∴∠A+∠AEF=180°,()
∴ .(,两条直线平行)
三、课堂检测
1、平行四边形中有一内角为60°,则其余各个内角的大小为 , , 。
2、如图,已知∠AOB=50°,PC∥OB,PD平分∠OPC,
则∠APC= °,∠PDO= °
3、如图,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°,那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?
为什么?
平行线的性质
(二)
学习内容:
P.20—215.3.1
(二)
学习目标:
1.经历平行线的判定和性质的综合应用,丰富对现实空间图形的认识,培养识图能力
2.经历探究平行线间的距离过程,培养用数学的意识
3.通过用平行线的判定和性质解决问题,提高学习数学的积极性,并在活动中获得成功的体验
重点:
掌握平行线性质在实际问题中的应用
难点:
平行线性质在实际问题中的应用
学习过程:
一、导入新课:
1.平行线的判定方法有:
①,
②,
两直线平行
③,
2.平行线的性质有:
①
两直线平行
②
③
3.平行线的判定方法与性质有什么区别和联系?
二、探索新知:
一、平行线的性质与判定方法在实际问题中的应用
例1.如图所示,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,
如果第一次拐的角是36°(即∠BCE),那么第二次拐的角
(即∠DEF)是多少度?
分析:
此题中的关键句“和原来的方向相同”
是指AB∥EF,已知两直线平行,由平行线的性质,
得到内错角相等(∠BCE=∠DEF)即可解决问题。
解:
由题意可知,AB∥CD,
∴=(两直线平行,)
∴∠DEF=°
三、课堂检测
1、已知:
如图,AB∥CD,∠B=35°,∠1=75°,求∠A的度数.
解题思路分析:
欲求∠A,只要求∠ACD的大小.
解:
∵CD∥AB,∠B=35°,()
∴∠2=∠______=______°(_________,_________)
而∠1=75°,
∴∠ACD=∠1+∠2=______。
∵CD∥AB,()
∴∠A+______=180°.(_________,_________)
∴∠A=______=______.
2、已知:
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°.求∠D的度数.
命题、定理
学习内容:
P.21—225.3.2
学习目标:
1、从具体实例中,了解命题的概念,并会判断是否是命题
2、能够通过分析,分清命题的题设和结论,会把题设和结论不明显的命题写成“如果…那么…”的形式
3、对命题的真假(正确与否)有一个初步的了解,会通过举反例判断一个命题是假命题
重点:
1、命题的概念和命题的构成
2、命题的真假
难点:
找一些题设和结论不明显的命题的题设和结论
学习过程:
一、导入新课:
1、下列句子哪些能对一件事情作出判断,哪些不能?
①两直线平行,内错角相等
②对顶角相等
③过直线L外的一点作直线L的平行线
④同旁内角互补
⑤两条直线相交有几个交点?
答:
能判断,不能
2、我们把能判断一件事情的句子叫做。
二、探索新知:
1、命题的概念:
能的句子叫做命题
2、命题的结构:
命题由题设和结论两部分组成,题设是,
结论是。
练习1、指出下列命题的题设和结论
①如果a>b,b>c那么a>c;②同位角相等,两直线平行
③同角的补角相等④若a=b,则a-c=b-c
⑤两直线平行,内错角相等⑥对顶角相等
⑦相等的角是对顶角⑧同旁内角互补
分析:
像③⑥⑦⑧这样的命题,题设和结论不明显,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果…那么…”的形式。
如“同角的补角相等”可改写为“如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等。
”的形式。
请你试着将上面命题中的⑥⑦⑧三个命题改写成“如果…那么…”的形式。
3、命题的真假
①如果题设成立时,结论也一定成立,这样正确的命题叫做真命题,经过推理证实的真命题叫做定理
②如果题设成立,但是结论不一定成立,这样错误的命题叫做假命题
练习2、上面①—⑧题中命题是真命题吗?
如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.
解:
三、课堂检测:
1、判断下列各命题中,哪些命题是真命题?
哪些是假命题?
(对于真命题画“√”,对于假命题画“×”)
(1)0是自然数.().
(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.().
(3)相等的角是对顶角.().
(4)如果AC=BC,那么C点是AB的中点.().
(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.().
(6)如果C是线段AB的中点,那么AB=2BC.().
(7)若x2=4,则x=2.().
(8)若xy=0,则x=0.().
(9)同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交.().
(10)邻补角的平分线互相垂直.().
(11)同位角相等.().
(12)大于直角的角是钝角.().
2、已知:
如图,在四边形ABCD中,给出下列论断:
①AB∥DC;②AD∥BC;③AB=AD;④∠A=∠C;⑤AD=BC.
以上面论断中的两个作为题设,再从余下的选一个作为结论,并用“如果……,那么…….”的形式写出一个真命题.
答:
________________________________________________________________________.
平移
(一)
学习内容:
P.27—285.4
(一)
学习目标:
1.在图形进行平移变换的过程中发展空间观念,发展几何的直觉思维。
2.经历操作,探究,归纳,总结图形平移的基本特征的过程,发展抽象概括能力。
3.经历操作、实验、发现、确认等数学活动,感受数学活动充满探索性和创造性,激发乐于探究的热情。
重点:
图形平移的特征
难点:
认识图形平移的特征
学习过程:
一、归纳
⑴把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形和原图形的和完全相同
⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是,连接各组对应点的线段且。
⑶,叫做平移变换,简称平移。
二、巩固应用:
1、平移在我们日常生活中是很常见的,利用平移也可以制作很美丽的图案,你能举出生活中一些利用平移的例子吗?
2、如图1,下列A、B、C、D四幅图案中,能通过平移图案
(1)得到的是()
(1)A.B.C.D.
图1
3、如图2,在高为2米,水平距离为3米楼梯的表面铺地毯,地毯的长度至少需米.
解析:
把每阶楼梯的高沿水平方向平移,和就是楼梯的;把每阶楼梯的宽沿竖直方向平移正好构成了楼梯的,再把楼梯的总高度和总长度相加,即得地毯的长度至少需(米).
三、课堂检测:
1、在如图所示的正方形网格上,请利用一个三角形、一个圆、一条线段设计一个优美的图案,并把这个图案适当平移,再给这个图案写出一个有寓意的名字.
2、如图所示,将三角形ABC平移到△A′B′C′.
(图a)(图b)
在这个平移中:
(1)三角形ABC的整体沿______移动,得到三角形A′B′C′.三角形A′B′C′与三角形ABC的______和______完全相同.
(2)连结各组对应点的线段即AA′、BB′、CC′之间的数量关系是____________;位置关系是____________.
平移
(二)
学习内容:
P.28—295.4
(二)
学习目标:
1.经历对图形观察、欣赏、分析和动手操作、画图等过程,掌握画图的操作技能,发展初步的审美能力
2.能按要求作出简单的平面图形平移后的图形
3.经历对图形观察、欣赏、分析和动手操作、画图等过程,增强学生对图形美欣赏的意识,培养其审美观念
重点:
能按要求作出简单的平面图形平移后的图形
难点:
简单平面图形平移后的图形的作法
学习过程:
一、归纳总结:
1.叫平移。
2.平移特征:
。
二、探索新知:
1、如图,方格中有一条美丽可爱的小金鱼.
(1)若方格的边长为1,则小鱼的面积为.
(2)画出小鱼向左平移3格后的图形(不要求写作图步骤和过程).
A’
2、如图所示,经过平移,线段AB的端点A移到了点A′,你能作出线段AB平移后的线段A′B′吗?
分析:
根据平移的特征,平移前后两个图形对应点
的连线平行且相等,连AA′,作BB′∥AA′且
AA′=BB′,连A′B′即可。
3、如图所示,经过平移,△ABC的顶点A移到了点A′,作出平移后的三角形
分析:
连对应点AA′,即可确定平移的方向和距离,用上题的方法分别作点B、C的对应点B′、C′,顺次连接A′B′、B′C′、C′A′即可。
三、课堂检测:
按要求画出相应图形.
(1)已知:
如图,AB∥DC,AD∥BC,DE⊥AB于E点,将三角形DAE平移,得到三角形CBF.
(2)已知:
如图,AB∥DC,将线段DB向右平移,得到线段CE.
(3)已知:
平行四边形ABCD及A′点,将平行四边形ABCD平移,使A点移到A′点,得平行四边形A′B′C′D′.
复习与小结
学习目标:
1、进一步理解同位角、内错角和同旁内角的概念。
2、回顾平行线的判定方法和性质,并能灵活运用它们解决问题
3、进一步熟悉几何语言推理叙述,初步养成言之有据的习惯。
重点:
平行线的判定方法和性质
难点:
灵活运用所学知识进行推理或计算
一、复习内容:
:
(一)本章知识结构图:
(二)知识回顾
1、相交线:
两条直线有唯一时,它们的位置关系就叫相交。
两相交直线所构成的四个角中有对对顶角,有对邻补角。
两个角是邻补角的条件有①;
②;
③。
性质有①;②;
③。
若两个互为邻补角的角相等,则这两个角一定是度。
两个角是对顶角的条件有①;②。
性质有。
指出右图中具有这两种位置的角:
。
2、垂线:
⑴如果两条直线相交所构成的角中有一个角是角,就叫这两条直线互相垂直,其中一条就是另一条的
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