第2讲三垂直模型.docx
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第2讲三垂直模型
2手拉手、三垂直进阶
知识目标
目标一:
掌握手拉手模型本质
目标二:
掌握三垂直模型本质
目标三:
运用模型解决综合问题
模块一:
“手拉手”模型拓展
知识导航
【复习】
一、手拉手的一般形式:
两个顶角相等并且共顶角顶点的等腰三角形
已知:
△ABC、△DBE均为等腰三角形,BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE
结论:
△ABD≌△CBE
二、手拉手的特殊形式:
1.两个共直角顶点的等腰直角三角形
已知:
△ABC、△DBE均为等腰直角三角形,BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°
结论:
△ABD≌△CBE
2.两个共顶点的等边三角形
已知:
△ABC、△DBE均为等边三角形
结论:
△ABD≌△CBE
例1
已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在AB同侧作等边△ACD与等边△BCE,AE交BD与F,交CD于M,BD交CE于点N,连接CF、MN,求证:
(1)BD=AE
(2)∠BFE=60°
(3)CF平分∠AFB
(4)MN∥AB
练
(2015年粮道街八上期中)
已知△ABC与△ADE的顶点公共,点B、A、E在一条直线上,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,PB=PD,PC=PE
(1)如图1,若∠BAC=60°,则∠BPC+∠DPE=
(2)如图2,若∠BAC=90°,则∠BPC+∠DPE=
(3)在图2的基础上,将等腰Rt△ABC绕点A旋转一个角度,得到图3,
则∠BPC+∠DPE=,并证明你的结论
例2
(1)(2015年黄陂区八上期中)
如图,点D是等边△ABC的边AB上一点,连接CD并以CD为边作等边△CDE,连接BE,过D作DF⊥BC于F,连接AF,若AF∥DE,BC=4,求CF的长
(2)(2015年洪山区八上期中)
如图,设△ABC和△CDE都是等边三角形,且∠EBD=65°,求∠AEB的度数
练
(2015年洪山区八上期末)
点E是△ABC内的一点,若△ABC是等边三角形,∠AEB=100°,∠BEC=α,以EC为边作等边△CEF,连AF,当△AEF是等腰三角形时,试求出α的度数
挑战压轴题
(2015年武昌区八上期末)
如图,在平面直角坐标系中,A(8,0),点B在第一象限,△OAB为等边三角形,OC⊥AB,垂足为点C
(1)直接写出点C的横坐标
(2)作点C关于y轴的对称点D,连DA交OB于E,求OE的长
(3)P为y轴上一动点,连接PA,以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH,当OH最短时,求点H的横坐标
模块二“三垂直”模型扩展
例3
(2015粮道街八上期中)
在平面直角坐标系中,点A(4,0)、B(0,8),以AB为斜边作等腰直角△ABC,则点C坐标为
练
(2015硚口区八上期中)
在平面直角坐标系中,已知A(0,4)、B(2,0),在第一象限内的点C,使△ABC为面积最小的等腰直角三角形,求点C的坐标以及面积的最小值
例4
(2015年江岸区八上期末)
在平面直角坐标系中,A(3,0),B(0,3),点P为线段AB上一点,且
,连接OP,
(1)求点P的坐标
(2)作直线AM⊥x轴,作PC⊥OP交AM于点C,求证:
PC=OP
(3)在
(2)的条件下,在直线AM上一动点N,连接ON并在x轴下方作OQ⊥ON且OQ=ON,连接点D(3,3)与点Q的线段交x轴于点E,当OE=2时,求点Q的坐标
练
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BC与y轴交于D点,点C的坐标为(-1,0),点A的坐标为(-5,2),求点D的坐标
例5
如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,b),且a,b满足
(1)求点A的坐标
(2)若点F(1,0),C(0,3),连AC、FC,试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化,若不变,说明理由,若变化,请求出变化范围.
练
如图1,已知A(a,0),点B(0,b),且a、b满足
(1)求A、B两点的坐标
(2)若点C是第一象限内的一点,且∠OCB=45°,过点A作AD⊥OC于点F,求证:
FA=FC
(3)如图2,若点D的坐标为(0,1),过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交x轴于点G,求S△BOG
拓
(2015洪山区八上期中)
如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=24,AC=12,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持DE=CB,当点E经过秒时,△DEB与△BCA全等.
第2讲(课后作业)
手拉手,三垂直进阶
1.(2014江岸区八上期中)
在平面直角坐标系中,A(0,3),B(4,1),以AB为斜边作等腰Rt△ABC,求直角顶点C的坐标.
2.(2015汉阳区八上期末)
如图,已知△ABC是等边三角形,点E在线段AB上,点D在射线CB上,且DE=CE,以CE为边作等边△CEF,连接EF
(1)求证:
BE=AF
(2)猜想线段AB、DB、AF之间的数量关系,并证明你的猜想
3.如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E
(1)求证:
AE=BC
(2)如图2,过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°),得到△AE'F',连接CE'、BF',求证:
CE'=BF'
4.如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为BC的中点,点E与点C关于直线AD对称,CE与AD、AB分别交于点F、G,连接BE、BF、GD
求证:
(1)△BEF为等腰直角三角形
(2)∠ADC=∠BDG
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