配套K12抛物线的简单几何性质学案1.docx
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配套K12抛物线的简单几何性质学案1.docx
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配套K12抛物线的简单几何性质学案1
§抛物线的简单几何性质学案
(1)
抛物线的简单几何性质学案
【复习巩固】
1.____________________________________________________________________叫做抛物线;_______________叫做抛物线的焦点,________________叫做抛物线的准线;焦点在x轴上抛物线的标准方程为_________________,其焦点坐标为__________,准线方程为________________,其中p的几何意义为________________.2.以p,0为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________;2以p,0为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________;2p2以0,为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________;
以0,-p为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为_______________.23.完成下表:
标准方程yFxFOxyFOyOF焦点坐标准线方程p的几何意义4.抛物线y4ax(a0)的焦点坐标是A.2y图 象Oxx 1,0 B.4a10, C.16a210, D.
16a1,016a5.一动圆的圆心在抛物线y8x上,且动圆恒与直线x20相切,则动圆必过定点A.(4,0) B. C. D.(0,-2)
§抛物线的简单集合性质学案
第1页
20XX/1/8
抛物线的简单几何性质学案
6.已知F为抛物线y22x的焦点,定点Q点P在抛物线上,要使PQ|PF|的值最小,点P的坐标为A.(0,0) B.,1 C.
122,2 D.(2,2)
7.已知抛物线型拱桥的顶点到水面2m时,水面宽为8m,当水面升高1m后,水面宽为____________
8.已知抛物线y22px(p0),过点2p,0作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,给出下列结论:
①OAOB;②AOB的面积的最小值为4p2;③x1x24p2,其中正确的结论是__________________.【讲解新课】
一、抛物线y22px(p0)的简单几何性质
),yR1.范围:
x[0,2.对称轴:
以y代y方程y22px(p0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
3.顶点:
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,抛物线y22px(p0)的顶点为坐标原点.
4.离心率:
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,抛物线的离心率e1.
同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。
二、小结:
抛物线的简单几何性质一览表
标准方程y2=2pxyOFy2=-2pxX2=2pyx2=-2pyyyyFOFOxOxxx F图 象范 围焦点坐标顶点x≥0pF2Ox≤0pF2O第2页
y≥0pF2Oy≤0pF2O20XX/1/8
§抛物线的简单集合性质学案
抛物线的简单几何性质学案
坐标离心率对称轴焦半径准线方程p的几何意义e=1e=1e=1e=1x轴x轴y轴y轴p|PF|=x0+2px=-2p|PF|=-x0+2px=2p|PF|=y0+2py=-2p|PF|=-y0+2py=2抛物线的焦点到准线的距离,p越大张口就越大通 过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径,其长为2p径三、焦点弦及其性质
1.抛物线焦点弦的定义:
过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。
2.抛物线焦点弦的性质:
p
若抛物线的方程为y2=2px,过抛物线的焦点F的直线交抛物线与
2A、B两点,则①y1y2=-p2;p2
②x1x2=;
4③|AB|=x1+x2+p;
2p
④|AB|=2;
sinθ⑤
112+=;|AF||BF|p
⑥过A、B两点作准线的垂线,垂足分别为A/、B/,F抛物线的焦点,则∠A/FB/=900;⑦以弦AB为直径的圆与准线相切。
pp
证明:
①当直线过焦点且垂直于x轴时,A、B,因此y1y2=-p2成立;
22 当直线过焦点且不与x轴垂直时,显然直线的斜率k≠0,直线AB的方程为:
pypyp
y=k;此的x=+;把x=+代入y2=2px消去x得:
2k2k2ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2
②∵A、B两点都在抛物线y2=2px上。
§抛物线的简单集合性质学案
第3页
20XX/1/8
抛物线的简单几何性质学案
∴y12=2px1,y22=2px2;两式相乘得(y1y2)2=2px1·2px2∴p4=4p2x1x2;p2
从而x1x2=
4
p
③过A、B两点作准线x=-的垂线,垂足分别为A/、B/。
2pp
则|AB|=|AF|+|BF|=|AA/|+|BB/|=x1++x2+=x1+x2+p
22④当θ=900时,显然成立;
p
当θ≠900时,,则直线AB的方程为:
y=k;
2
pk2p22222
把y=k代入y=2px消去y得:
kx-p(k+2)x+=0;
24p(k2+2)p2
x1+x2=,x1x2=;
k24|AB|=1+k|x1-x2|=1+k2p(1+tan2θ)2p
==2。
2tanθsinθ⑤∵A、B∴
1111
+=+|AF||BF|pp
x1+x2+22
222p(1+k2)
(x1+x2)-4x1x2=
k22=
x1+x2+px1+x2+p
2=2ppppp2x1x2+(x1+x2)++(x+x)+2442124x1+x2+p2
=
pp(x1+x2+p)2
=
⑥过A、B两点分别作准线的垂线,垂足分别为A/、B/, 于点A、B是抛物线上的点,F是抛物线的焦点,根据y//
抛物线的定义可知,|AF|=|AA|,|BF|=|BB|
∴∠B/BF=1800-2∠B/FB,∠A/AF=1800-2∠A/FAA/A∵AA/∥BB/∴∠B/BF+∠A/AF=1800即:
1800-2∠B/FB+1800-2∠A/FA=1800
OFx∴∠B/FB+∠A/FA=900/By⑦设N为线段AB的中点,过A、B、N分别作准线的垂线, B 垂足分别为A/、B/、N/。
A/⑥题图//
A|AA|+|BB|
∵N为线段AB的中点,则|NN/|=
2
N/N|AF|+|BF||AB|OFx==/22BB§抛物线的简单集合性质学案
第4页
20XX/1/8⑦题图抛物线的简单几何性质学案
∴以AB为直径的圆与准线相切。
【例题讲解】
【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程
【例1】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过M(2,22),求它的标准方程。
【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过M(2,22),求它的标准方程。
【例2】已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,)、F两点距离之和的最小值为4,求抛物线C的方程。
【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线截得的弦长为8,试求抛物线的方程。
【题型二】有关焦点弦的问题
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长。
§抛物线的简单集合性质学案
第5页
20XX/1/8
2032
抛物线的简单几何性质学案
【变式训练】1.已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点,且
|AB|
5p,求AB所在的直线方程。
21)作抛物线y28x的弦AB,恰被Q平分,求AB所在的直线方程。
2.过点Q(4。
【题型三】直线与抛物线
一、直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线相切:
直线与抛物线有且只有一个公共点,但不平行于抛物线的对称轴。
即
把x=my+n代入y2=2px消去x得:
y2-2pmy-2pn=0①,当方程①的判别式△=0直线与抛物线相切;2.直线与抛物线相交:
直线与抛物线只有一个交点:
直线与抛物线的对称轴平行;直线与抛物线有两个不同的交点方程①的判别式△>0;
3.直线与抛物线相离方程①的判别式△<0。
【例4】已知直线l过点A(的方程。
【变式训练】抛物线y2px(p0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,一直角边的方程是y2x,斜边长为53,求此抛物线的方程。
§抛物线的简单集合性质学案
第6页
20XX/1/8
23p,p)且与抛物线y22px(p0)只有一个公共点,求直线l2抛物线的简单几何性质学案
【题型四】定值问题
【例5】已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:
x1x2为定值;
11为定值。
|FA||FB|
【题型五】直线过定点问题
【例6】A、B是抛物线y2=2px上的两点,且OA
⊥OB求证:
A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是
定值;
直线AB经过一个定点;
求O在线段AB上的射影M的轨迹方程。
【例7】抛物线y2=2px上有两个动点A、B及一定点M,F为焦点;若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,求证:
线段AB的垂直平分线过定点。
§抛物线的简单集合性质学案
第7页
yAPMBOx例1图yBAOMFx20XX/1/8例3图
抛物线的简单几何性质学案
【题型六】抛物线中的最值问题 【例8】如图所示,若A,F为抛物线y2=2x的焦
点,求|PF|+|PA|的最小值,以及取得最小值时点P的坐标。
【变式训练】
LNNOyPPFAx例1图
1.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动,求AB中点M到y轴距离的最小值,并求此时AB中点M的坐标。
2.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2px(p0)上,求这个正三角形的边长,并求该三角形外接圆的方程。
2§抛物线的简单集合性质学案第8页20XX/1/8
抛物线的简单几何性质学案
【复习巩固】
1.____________________________________________________________________叫做抛物线;_______________叫做抛物线的焦点,________________叫做抛物线的准线;焦点在x轴上抛物线的标准方程为_________________,其焦点坐标为__________,准线方程为________________,其中p的几何意义为________________.2.以p,0为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________;2以p,0为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________;2p2以0,为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________;
以0,-p为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为_______________.23.完成下表:
标准方程yFxFOxyFOyOF焦点坐标准线方程p的几何意义4.抛物线y4ax(a0)的焦点坐标是A.2y图 象Oxx 1,0 B.4a10, C.16a210, D.
16a1,016a5.一动圆的圆心在抛物线y8x上,且动圆恒与直线x20相切,则动圆必过定点A.(4,0) B. C. D.(0,-2)
§抛物线的简单集合性质学案
第1页
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抛物线的简单几何性质学案
6.已知F为抛物线y22x的焦点,定点Q点P在抛物线上,要使PQ|PF|的值最小,点P的坐标为A.(0,0) B.,1 C.
122,2 D.(2,2)
7.已知抛物线型拱桥的顶点到水面2m时,水面宽为8m,当水面升高1m后,水面宽为____________
8.已知抛物线y22px(p0),过点2p,0作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,给出下列结论:
①OAOB;②AOB的面积的最小值为4p2;③x1x24p2,其中正确的结论是__________________.【讲解新课】
一、抛物线y22px(p0)的简单几何性质
),yR1.范围:
x[0,2.对称轴:
以y代y方程y22px(p0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
3.顶点:
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,抛物线y22px(p0)的顶点为坐标原点.
4.离心率:
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,抛物线的离心率e1.
同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。
二、小结:
抛物线的简单几何性质一览表
标准方程y2=2pxyOFy2=-2pxX2=2pyx2=-2pyyyyFOFOxOxxx F图 象范 围焦点坐标顶点x≥0pF2Ox≤0pF2O第2页
y≥0pF2Oy≤0pF2O20XX/1/8
§抛物线的简单集合性质学案
抛物线的简单几何性质学案
坐标离心率对称轴焦半径准线方程p的几何意义e=1e=1e=1e=1x轴x轴y轴y轴p|PF|=x0+2px=-2p|PF|=-x0+2px=2p|PF|=y0+2py=-2p|PF|=-y0+2py=2抛物线的焦点到准线的距离,p越大张口就越大通 过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径,其长为2p径三、焦点弦及其性质
1.抛物线焦点弦的定义:
过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。
2.抛物线焦点弦的性质:
p
若抛物线的方程为y2=2px,过抛物线的焦点F的直线交抛物线与
2A、B两点,则①y1y2=-p2;p2
②x1x2=;
4③|AB|=x1+x2+p;
2p
④|AB|=2;
sinθ⑤
112+=;|AF||BF|p
⑥过A、B两点作准线的垂线,垂足分别为A/、B/,F抛物线的焦点,则∠A/FB/=900;⑦以弦AB为直径的圆与准线相切。
pp
证明:
①当直线过焦点且垂直于x轴时,A、B,因此y1y2=-p2成立;
22 当直线过焦点且不与x轴垂直时,显然直线的斜率k≠0,直线AB的方程为:
pypyp
y=k;此的x=+;把x=+代入y2=2px消去x得:
2k2k2ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2
②∵A、B两点都在抛物线y2=2px上。
§抛物线的简单集合性质学案
第3页
20XX/1/8
抛物线的简单几何性质学案
∴y12=2px1,y22=2px2;两式相乘得(y1y2)2=2px1·2px2∴p4=4p2x1x2;p2
从而x1x2=
4
p
③过A、B两点作准线x=-的垂线,垂足分别为A/、B/。
2pp
则|AB|=|AF|+|BF|=|AA/|+|BB/|=x1++x2+=x1+x2+p
22④当θ=900时,显然成立;
p
当θ≠900时,,则直线AB的方程为:
y=k;
2
pk2p22222
把y=k代入y=2px消去y得:
kx-p(k+2)x+=0;
24p(k2+2)p2
x1+x2=,x1x2=;
k24|AB|=1+k|x1-x2|=1+k2p(1+tan2θ)2p
==2。
2tanθsinθ⑤∵A、B∴
1111
+=+|AF||BF|pp
x1+x2+22
222p(1+k2)
(x1+x2)-4x1x2=
k22=
x1+x2+px1+x2+p
2=2ppppp2x1x2+(x1+x2)++(x+x)+2442124x1+x2+p2
=
pp(x1+x2+p)2
=
⑥过A、B两点分别作准线的垂线,垂足分别为A/、B/, 于点A、B是抛物线上的点,F是抛物线的焦点,根据y//
抛物线的定义可知,|AF|=|AA|,|BF|=|BB|
∴∠B/BF=1800-2∠B/FB,∠A/AF=1800-2∠A/FAA/A∵AA/∥BB/∴∠B/BF+∠A/AF=1800即:
1800-2∠B/FB+1800-2∠A/FA=1800
OFx∴∠B/FB+∠A/FA=900/By⑦设N为线段AB的中点,过A、B、N分别作准线的垂线, B 垂足分别为A/、B/、N/。
A/⑥题图//
A|AA|+|BB|
∵N为线段AB的中点,则|NN/|=
2
N/N|AF|+|BF||AB|OFx==/22BB§抛物线的简单集合性质学案
第4页
20XX/1/8⑦题图抛物线的简单几何性质学案
∴以AB为直径的圆与准线相切。
【例题讲解】
【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程
【例1】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过M(2,22),求它的标准方程。
【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过M(2,22),求它的标准方程。
【例2】已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,)、F两点距离之和的最小值为4,求抛物线C的方程。
【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线截得的弦长为8,试求抛物线的方程。
【题型二】有关焦点弦的问题
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长。
§抛物线的简单集合性质学案
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20XX/1/8
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- 配套 K12 抛物线 简单 几何 性质