完整版湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析.docx
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完整版湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析
2017年湖南省学业水平考试(真题)
数学
120分钟,满分100分。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量
、选择题:
本大题共10小题,
每小题4分,共40分,
在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目
要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图
1所示,则该几何体可
以是()
A、正方体
B、圆柱
C、三棱柱
D、球
2.已知集合A{0,1},B
{1,2},则A
B中元素的个数为
A、1
B、2
C、3
D、4
3.已知向量,若,则a
(x,1),b(4,2),c
(6,3),若c
,则x(
A、-10
B、10
C、-2
D、2
4.执行如图
2所示的程序框图,若输入
的值为-2,
则输
出的y(
公差d()
A、4
B、
C、
D、7
1
6.既在函数f(x)x2的图象上,
又在函数
g(x)x1
图象上的点是
A、平行
B、在平面内
C、相交但不垂直
D、
相交且垂直
8.已知sin2sin,
(0,)
,则cos
(
)
A、3B、
1
C、1
D、
3
2
1
2
2
2
9.已知alog22,b1,c
log24
,则
A、abcB、
ba
cC、ca
b
D、cba
面BEF的位置关系是()
11
A、(0,0)B、(1,1)C、(2,12)D、(12,2)
7.如图3所示,四面体ABCD中,E,F分别为AC,AD的中点,则直线CD与平
10.如图4所示,正方形的面积为1,在正方形内随机撒1000粒豆子,恰好有600粒豆子落在阴影部分内,则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为()
A、
B、
C、
D、
、填空题:
本大题共
5小题,每小题4分,共20分.
11.已知函数f(x)cosx,xR(其中
0)的最小正周期为
,则
12.某班有男生30人,女生20人,用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
服务,则抽出的学生中男生比女生多人。
13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a4,b3,sinC1,则ABC的面积为
x
14.已知点A(1,m)在不等式组y
x
0,
0,表示的平面区域内,则实数m的取值y4
范围为。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示,则该圆柱的体积为
三、解答题:
本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分6分)
sinx的部分图象如图6所示.
已知定义在区间[,]上的函数f(x)
(1)将函数f(x)的图象补充完整;
(2)写出函数f(x)的单调递增区间.
17.(本小题满分8分)
已知数列{an}满足an13an(nN*),且a26
(1)求a1及an;
(2)设bnan2,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(本小题满分8分)
20名
为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取
学生的成绩进行分析,得到如图7所示的频率分布直方图
(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;
2)从成绩不低于80分的两组学生中任选2人,求选出的2人来自同一组
19(本小题满分8分)
已知函数f(x)
x
2x,x0,
2
2(x1)2m,0
(1)若m1
,求f(0)和f
(1)的值,并判断函数f(x)在区间(0,1)内是
否有零点;
2)若函数f(x)的值域为[2,),求实数m的值.
20.(本小题满分10分)
已知O为坐标原点,点p(1,2)在圆M:
x2y24xay10上,
(1)求实数a的值;
(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;
(3)过点O作互相垂直的直线l1,l2,l1与圆M交于A,B两点,l2与圆M交于
C,D两点,求|AB||CD|的最大值.
2017年湖南省学业水平考试(参考答案)
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分100分。
、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体可以是(A)
4.执行如图2所示的程序框图,若输入x的值为-2,则输出的y(B)
A、-2B、
0
C、
2
D、4
5.在等差数列{an}
中
,已知a1
a2
11,a3
16,则
公差d(D
)
A、4B、
5
C、
6
D、7
6.既在函数f(x)
1
x2
的图象上,
又在函数
g(x)x1
的
图象上的点是(
B
)
A、(0,0)
B、(
1,1)
C、
(2,1
1
)D、(1
2)
2
2
7.如图3所示,四面体ABCD中,E,F分别为AC,AD的中点,则直线CD与平面BEF的位置关系是(A)
A、平行B、在平面内
C、
相交但不垂直
D、
相交且垂直
8.已知
sin2sin,
(0,)
,则cos
(C)
A、
3B、
1
C、1
D、3
2
2
2
2
9.已知
1
alog22,b1,c
log24
,则(A)
A、
abcB、
bac
C、ca
bD、cba
10.如图4所示,正方形的面积为1,在正方形内随机撒1000粒豆子,恰好有600粒豆子落在阴影部分内,则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为(B)
5人参加社区
12.某班有男生30人,女生20人,用分层抽样的方法从该班抽取
服务,则抽出的学生中男生比女生多1人。
13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a4,b3,sinC1,
则ABC的面积为6
范围为0m3。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图的体积为4。
三、解答题:
本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分6分)
已知定义在区间[,]上的函数f(x)sinx的部分图象如图6所示.
(1)将函数f(x)的图象补充完整;
(2)写出函数f(x)的单调递增区间.
解:
(1)图象如图:
2)由图象可知,函数f(x)sinx在区间[,]上的单调增区间为[,]22
17.(本小题满分8分)
已知数列{an}满足an13an(nN*),且a26
(1)求a1及an;
(2)设bnan2,求数列{bn}的前n项和Sn.
an23n1
(2)由已知可知,bn23n12
Snb1b2b3bn
2(3031323n1)(2222)
13n
22n
13
3n12n
18.(本小题满分8分)
为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析,得到如图7所示的频率分布直方图
1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;
(2)从成绩不低于80分的两组学生中任选2人,求选出的2人来自同一组的概率.
解:
(1)由题可知,本次测试成绩的众数为
708075
2
(2)成绩在[80,90]的频率为0.015100.15,
设为a,b,c,成绩在[90,100]的频率为0.01010
学生人数为200.153人,
0.1,学生人数为200.12
人,设为A,B,则从5人中任选2人的基本事件如下:
(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)共10个,其中2
人来自同一组的基本事有
(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),其4个基本件。
19(本小题满分8分)
2x,x0,
已知函数f(x)2
(1)若m1,求f(0)和f
(1)的值,
2(x1)2m,x0
并判断函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点;
(2)若函数f(x)的值域为[2,),求实数m的值.
2x,x0
解:
(1)m1f(x)2f(0)2111,f
(1)1,
2(x1)21,x0
f(0)f
(1)0f(x)在区间(0,1)内有零点.
(2)当x0时,f(x)的取值范围是(0,1),当x0时,f(x)是二次函数,要使函数f(x)的值域为[2,),则f(x)2(x1)2m的最小值为2,由二次函数可知,当x1时,f(x)2(x1)2m取最小值2,即f
(1)m2.
20.(本小题满分10分)已知O为坐标原点,点P(1,2)在圆
M:
x2y24xay10上,
(1)求实数a的值;
(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;
(3)过点O作互相垂直的直线l1,l2,l1与圆M交于A,B两点,l2与圆M交于
C,D两点,求|AB||CD|的最大值.
解:
(1)把P(1,2)点代入圆M:
x2y24xay10得a0;
(2)圆心坐标为M(2,0),kOP2,过圆心且与OP平行的直线方程为
y02(x2),即y2x22
3)设直线AB的方程为kxy0,直线CD的方程为xky0,圆心到直线AB
的距离为d1
12k2,|AB|231
4
k2,同理可|CD|23
4k2
1
k2
|AB||CD|
2
44k2
4(32)(32)
1k21k2
6(14k214kk22)
2
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