四年级数学笔记上.docx

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四年级数学笔记上

一、大数的认识

【计数单位】一、十、百、千、万、……

相邻两个计数单位之间的进率都是十。

【数位】在用数字表示数的时候，计数单位要按一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫数位。

【数级】从右边起，每四个数位是一级。

亿级

万级

个级

…

十亿位

亿

位

千万位

百万位

十万位

万

位

千

位

百

位

十

位

个

位

【读数】每级末尾不管有几个0，都不读；

其它数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。

【比较大小】

（1）位数不同时，位数多的数大于位数少的数；

（2）位数相同时，从最高位比起；同数位上的数大的那个数就大；

如果同数位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较出大小为止。

整万数：

4个0可换成一个“万”字；如：

90000=9万

整千数：

3个0可换成一个“千”字；如：

6000=6千

【四舍五入法】

关键是找准省略的尾数部分的最高位（即省略到哪一位，就看那一位的下一位）。

比如：

要求省略到万位，那么要看万的下一位：

千位。

千位是省略的尾数部分的最高位。

659230，要省略到万位，就要判断千位上的数字9≥5，所以要“五入”，

659230≈660000

43482，要省略到千位，就要判断百位上的数字4<5，所以要“四舍”，

43482≈43000

【自然数】表示物体个数的0、1、2、3、4、5、……都是自然数。

0也是自然数。

所有的自然数都是整数。

最小的自然数是0；没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

【十进制计数法】每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫十进制计数法。

一般情况下，进率是几，就叫几进制。

【计算工具】

算盘：

是中国古代发明的传统计算工具。

1颗上珠表示5,1颗下珠表示1。

二、公顷和平方米

边长是100米的正方形面积是1公顷。

1cm

100m1cm1cmx1cm=1cm²

100m100mx100m=10000m²=1公顷

1km

1平方公里=1kmx1km=

1000mx1000m=1000000m²1km

=100公顷

1公顷=10000平方米1平方千米=100公顷=1000000平方米

400米跑道围起来的面积大约是1公顷。

因为：

400米是跑道的周长，可看成边长100米的正方形，其面积恰好是1公顷。

一套三居室的楼房面积大约是100米²。

房屋面积通常用平方米表示。

广场、园区等面积通常用公顷表示。

城市、国家面积通常用平方公里表示。

三、角的度量

定义

特征

表示

注意事项

线段

一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段。

线段是直的，

有两个端点，

不能向两端延伸，

可以量出长度。

用两个大写字母表示线段的两个端点。

如：

线段AB

画线段时，两端必须画端点。

直线

把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。

直线是直的，

没有端点，

可向两端无限延伸，

不能量出长度。

可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。

如：

直线AB或直线k

射线

把线段向一端无限延伸，就得到一条射线。

射线是直的，

只有一个端点，

只能向一端无限延伸

不能量出长度

可用端点和射线上的另一点表示。

如：

射线AB

注：

A是端点，B是射线上的一点

读写射线时，表示射线端点的字母必须在前。

从一点出发可以画无数条射线；

经过一点可以画无数条直线；

经过两点只能画一条直线；

【角】

从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

边

这个点叫做角的顶点；两条射线叫做角的边。

顶点1

角用符号“∠”表示，如上图的角记作“∠1”，读作“角1”。

边

注意符号“∠”和小于号“<”的区别：

角符号下边是平的，小于号下边是斜的。

【度】人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。

根据这一原理，制作了度量角的工具---量角器。

【量角器】把半圆分成180等份，每一份所对的角都是1°

量角器上有两圈刻度，分为：

内圈刻度（逆时针方向）和外圈刻度（顺时针方向）。

【度量方法】两重合，一对应：

量角器的重心与角的顶点重合；量角器的0度线与角的一条边重合；另一条边所对应的刻度就是角的度数。

（注意：

要从与0度线重合的那条边开始读取度数）

【时钟钟面的角度】时钟上的时针和分针构成角的两条边，1点~12点组成了360°的圆，共分为12等份，所以每两个数字之间（1个大格）是360÷12=30°

查看时针和分针夹角的度数，可以简单转化为查看时针和分针之间有几个大格，再乘以30°，即可计算得出时针和分针夹角度数（不用量角器测量）。

注意：

时针和分针之间的夹角分为两个方向：

较小的夹角和反向的较大的夹角。

通常不做特别说明时指的是较小的夹角。

【角的分类】

直角：

直角的两条边相互垂直。

1直角=90°

平角：

一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。

1平角=180°

注意：

平角并不是一条直线，而是两条边在同一直线上的角。

周角：

一条射线绕它的端点旋转一周，行程的角叫做周角。

1周角=360°

注意：

周角看起来是一条射线，其实是角的两条边重合在一起了。

锐角：

小于90°的角叫做锐角。

钝角：

大于90°而小于180°的角叫做钝角。

1周角=2平角=4直角锐角<直角<钝角<平角<周角

四、三位数乘两位数

145

x12

_______________

290……先用12个位上的2乘145，表示2个145

145……再用12十位上的1乘145，表示10个145（注意数位对齐）

_______________

1740……最后把两次乘得的积加起来，表示12个145

【数位对齐】用第二个因数哪一位上的数去乘第一个因数，积德末位就要和第二个因数的哪一位对齐。

例如：

第二个因数12，当用2去乘145时，乘积290要和2对齐；当用1去乘145时，乘积145要和1对齐。

【因数末尾有0的乘法】先把0前面的数相乘，再看两个因数的末尾一共有几个0，就在积德末尾添上几个0。

例：

计算21600x130。

21600

x130

_____________________……把因数末尾0前面的数对齐，先进行乘法运算

648

216

_____________________

2808000……两个因数末尾一共有3个0，添加到积的末尾

【积的变化规律】

一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）相同的数。

例如：

12x3=36120x3=36012x30=360

两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时除以（或乘）相同的数，它们的积不变。

这就是积不变的规律。

例如：

12x3=（12÷4）x（3x4）=3x12=36

【总价问题】

单价：

每件商品的价钱；（相当于每份数）

数量：

购买了多少；（相当于份数）

总价：

一共用的钱数；（相当于总数）

总价=单价x数量单价=总价÷数量数量=总价÷单价

【路程问题】

速度：

每小时（或每分钟等）行的路程；（相当于每份数）

时间：

行了几小时（或几分钟等）；（相当于份数）

路程：

一共行了多长的路；（相当于总数）

路程=速度x时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度

五、

平行四边形和梯形

四边形关系图

正方形是长方形的特殊情况（长=宽的长方形）

长方形是平行四边形的特殊情况（相邻两条边相互垂直的平行四边形）

平行四边形是四边形的特殊情况（两组对边分别平行的四边形）

梯形是四边形的特殊情况（只有一组对边平行的四边形）

不相交------相互平行

【同一平面内两条直线间的关系】垂直

相交

不垂直

【平行线】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

也可以说这两条直线互相平行。

【互相垂直】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

aa

平行线间的距离处处相等

bO

直线a与b互相平行，b

记作a//b，读作a平行于b直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b

【点到直线的距离】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

A

BCD点A到直线的距离是AC线段。

【平行四边形】

两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。

【高】从平行四边形一条边上的一点，向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。

【底】垂足所在的边叫做平行四边形的底。

平行四边形的特性：

1.具有不稳定性

2.两组对边分别平行

3.两组对边分别相等

4.两组对角分别相等

5.平行四边形能画出无数条高

6.同一底边上的高的长度都相等

7.高与底是相对应的（同一组对边的高相同；相邻两条边做底时对应的高不同）

【梯形】只有一组对边平行的四边形。

上底

【等腰梯形】两腰相等的梯形。

腰高腰

【直角梯形】有一个角是直角的梯形。

【底】互相平行的一组对边。

下底

【上底】通常把较短的底叫上底。

【下底】通常把较长的底叫下底。

【腰】不平行的一组对边。

六、除数是两位数的除法

【试商】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。

通常来说，用“四舍”估计的商容易偏大；用“五入”估计的商容易偏小；具体需要根据估计出的商来灵活调整。

例如：

计算197÷28时，除数28是两位数，可按四舍五入临时看成是30；

先计算197÷30，比较容易得出商是6（30x6=180很接近197），

接下来197÷28就可以从6开始试商，发现6小了，改商为7。

只要两次即可确定正确的商（如果从1开始试商需要试7次才能找到准确的商），提高了效率。

【除法简化】如果被除数和除数末尾都有0，那么被除数和除数同时去掉相同个数的0，商不变（相当于抵消）。

注意：

一定是去掉相同个数的0。

例如：

800÷20=80÷2=40

被除数800去掉1个0，除数20同时也去掉1个0。

【两位数除数的除法的计算方法】

（1）从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果前两位数比除数小，再试除前三位数；

----除数好比是来了几位敌人，先派出和敌人一样的人数对阵，打不赢（不够除）的话就再拉一个帮手去对阵；

（2）除到被除数的哪一位，就在那一位的上面写商；

----被除数就是己方部队，哪一位帮手加入战斗打赢（够除）时，战果（商）就要挂在那一位帮手头上；

（3）每求出一位商，余下的数必须比除数小；

【商不变规律】

被除数和除数都乘一个相同的数（0除外），商不变。

被除数和除数都除以一个相同的数（0除外），商不变。

例如：

60÷30=（60÷10）÷（30÷10）=6÷3=2

被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变；但如果有余数的话，余数会发生变化：

去掉几个0，余数的末尾就要加上几个0。

例如：

8400÷500

=84÷5----被除数和除数的末尾都去掉2个0

=16…400----本来84÷5的商是16，余数是4；

----但本例中被除数和除数末尾都去掉了2个0，

----商保持16不变，但余数需要在4后面补上2个0；

七、条形统计图

【条形统计图的意义】

条形统计图是用一个单位长度表示一定的数据，根据数据的多少画出长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。

【读条形统计图】

横轴和纵轴分别表示信息和数据。

【统计数据的不同表达方式】

例：

正字计数，需要数出笔画数，不够直观。

天气

晴

阴

多云

阵雨

“正”字统计

统计表，可通过数字清楚看出数据的多少，便于分析。

天气

晴

阴

多云

阵雨

天数

9

6

9

5

象形统计图，需要数出图形的个数才能知道具体数据，不够直观。

晴阴多云阵雨

条形统计图，可以清楚、直观地反映出各种数据的多少，便于比较。

绘制条形图时根据情况来确定1格代表几个单位。

数据大时，1格可代表多个单位。

八、数学广角---优化

【合理安排时间的步骤】

（1）确定完成一项工作要做哪些事情（例如下图中沏茶需要做6件事情）；

（2）分析每件事情各需要多长时间；

（3）合理安排每件事情的工作顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可同时做；

【沏茶问题】

【烙饼问题】

已知条件：

锅每次最多只能烙2张饼；饼的两面都要烙，每面需要3分钟；一共要烙3张饼。

方法一：

时间：

3分钟3分钟3分钟

方法二：

时间：

3分钟3分钟3分钟3分钟

烙饼问题的方法技巧：

保证锅中烙饼始终或者尽可能满，这样可以最大限度节省时间。

【对策论问题（田忌赛马）】

齐王

田忌

本场胜者

第一场

上等马

上等马

齐王

第二场

中等马

中等马

齐王

第三场

下等马

下等马

齐王

齐王

田忌

本场胜者

第一场

上等马

下等马

齐王

第二场

中等马

上等马

田忌

第三场

下等马

中等马

田忌

田忌的马，同等级别下都弱于齐王的马。

田忌是较弱的一方。

齐王的马较强，田忌的智慧较强。

只要谋略得当，扬长避短，就能够做到以弱胜强。

田忌赛马策略的成功实施有两个前提条件：

（1）齐王先出马，田忌后出；

（2）田忌需要全盘考虑，做到局部放弃，最后整体取胜；

这两个条件缺一不可。