数学建模B题.docx
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数学建模B题
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
404986421(0417)
所属学校(请填写完整的全名):
参赛队员(打印并签名)1.姜行利
2.王照政
3.吴亭廷
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
日期:
2011年09月12日
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
题目交巡警服务平台的设置与调度
摘要
本组研究的是某城区交巡警服务平台的设置与调度问题,建立求解服务平台的设置与调度方案的模型,并在满足已知条件下给出服务的平台设置与调度的最优方案。
针对道路交通网的复杂性,本文采用Dijkstra算法【1】和动态规划的方法求出满足要求及假设条件的最优解,主要算法采用递归——深度优先算法;其基本思想是通过LINGO和C++编程(程序附后)得到一个“3分钟内警力能够到达”的基本范围以及结合实际情况。
从而给出A区现有20个服务平台的大致管辖范围和发生重大冲突事件时的最优调度方案。
由于交巡警服务平台的工作量不均衡性和部分平台出警时间过长的实际情况。
得出的结论是:
可在28、38、66、92这四个点设置四个服务平台。
根据附件中的各点的坐标和图中所给的各标志点之间的相邻关系,本文再用Floyd算法求得任意两个相邻标志点的距离,及利用Matlab算出各个平台的管辖范围。
得出最优的解决方案是:
在F区和E区以及西南城区边界处增加服务平台,F区交巡警服务平台数显然不够,可以在此区设2~3个服务平台,E区中心处可设1~2个交巡警服务台,B区应设置3~4个服务平台。
最后,根据dijkstra算法,得出最佳的围堵方案:
一、若节点间距大于30时,则大约需要1.8分钟围堵;二、若逃离A区后进入F区时,则在这两区之间进行围堵。
关键词:
最优调度Dijkstra算法主成分分析深度优先算法Floyd算法
一问题的重述
“有困难找警察”,是家喻户晓的一句流行语。
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能,需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的,如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
现给出某城市内一区域,其道路数据和地图数据已知,试就某市设置交巡警服务平台的相关情况,建立数学模型分析研究下面的问题:
(1)附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图,相关的数据信息见附件2。
请为各交巡警服务平台分配管辖范围,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内有交巡警(警车的时速为60km/h)到达事发地。
对于重大突发事件,需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口,请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况,拟在该区内再增加2至5个平台,请确定需要增加平台的具体个数和位置。
(2)针对全市(主城六区A,B,C,D,E,F)的具体情况,按照设置交巡警服务平台的原则和任务,分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案(参见附件)的合理性。
如果有明显不合理,请给出解决方案。
如果该市地点P(第32个节点)处发生重大刑事案件,在案发3分钟后接到报警,犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯,请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二问题分析
一、本题为城区道路网络中交巡警服务平台的设置与调度问题,在进行服务平台设置时首先考虑如果在遇到突发情况是能在题目要求的最短时间内把警力调到事发地点,也就是资源优化、合理配置、规划问题。
在此条件下,以尽量少的交巡警服务平台能管辖到尽可能大的范围。
问题
(1)要求给A区现有的20个交巡警服务平台分配管辖范围,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内有交巡警(警车的时速为60km/h)到达事发地。
在此条件下确定最优范围。
只要问题
(1)解决了问题
(2)自然好解决【6】。
二、面对庞大的数据本文基本思想是通过LINGO【2】和C++编程(程序附后)得到一个“3分钟内警力能够到达”的基本范围以及结合实际情况。
从而给出A区现有20个服务平台的大致管辖范围和发生重大冲突事件时的最优调度方案和围堵方案。
三模型假设
1、假设不考虑巡警在实际工作中所出现的故障而导致的延误追捕。
2、假设各站点的警力是平均一致且为一固定值(服务台人数高峰期和低潮期的平均值为单一均值)。
3、假设在整个路途中,转弯处不需要花费时间。
4、假设逃犯的速度小于警察的抓捕速度。
5、假设路径是双向的。
四符号说明
X:
横坐标。
Y:
纵坐标。
A:
为图中标数与实际比例。
V:
车的平均速度。
T:
时间。
L:
交巡警服务平台的管辖范围。
五模型的建立与求解
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
要更有效地贯彻实施这些职能,需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的,如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
一、本文根据题意对已知A区图的所有节点标号,如图
(1)所示。
图
(1)A区所有节点示意图
二、由题意知交巡警服务平台管辖范围的路段及平台距离L应满足的条件为:
L≤
根据题目给出的数据t=3分钟,v=60000米/小时
得到:
L=3000米
所以,每一个平台管辖的范围为三千米之内的路口
在示意图上:
我们根据题目给出的数据编出程序(见附件),利用Floyd算法,然后用VC++【3】运行(结果如图
(2)、代码见附录1)得出A区现有交巡警服务平台的管辖范围如表1:
图
(2)VC++运行结果图
表1A区各平台管辖范围表
平台1
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点67
16.19
节点68
12.07
节点69
5
节点71
15.3
节点72
13
节点73
18.36
节点74
6.26
节点75
9.3
节点76
12.84
节点78
6.4
平台2
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点39
36.82
节点40
19.14
节点43
8
节点44
9.49
节点70
8.6
平台3
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点54
22.71
节点55
12.66
节点65
15.24
节点66
18.4
平台4
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点57
18.68
节点60
17.39
节点61
52.1
节点62
3.5
节点63
10.31
节点64
19.37
平台5
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点47
14.56
节点49
5
节点50
8.49
节点51
12.3
节点52
16.6
节点53
11.71
节点56
20.84
节点58
23.86
节点59
13.22
平台6
空缺
平台7
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点30
5.83
节点32
11.4
节点48
12.9
平台8
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点33
8.28
节点46
9.3
平台9
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点31
20.55
节点34
5.02
节点35
4.24
节点45
5.02
平台10
空缺
平台11
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点26
9
节点27
16.43
平台12
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点25
17.89
平台13
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点21
27.09
节点22
9.06
节点23
5
节点24
23.85
平台14
空缺
平台15
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点28
42.52
节点29
57.01
平台16
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点36
6.08
节点37
11.18
节点38
34.06
平台17
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点41
8.5
节点42
9.85
平台18
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点80
8.06
节点81
6.71
节点82
11.73
节点83
5.39
平台19
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点77
9.85
节点79
4.47
平台20
平台到节点间的距离及范围(备注:
单位:
百米)
管辖范围
节点84
11.75
节点85
4.47
节点86
3.61
节点87
14.66
节点88
13.52
节点89
9.49
节点90
13.03
节点91
15.99
节点92
36.04
三、该区交巡警服务平台警力合理的调度方案
1、首先根据题中所给的各个标志点的坐标,用matlab【8】计算出任意两点之间的直线距离,得到92*92的距离矩阵m:
注:
代码见附录2
2、根据题中交通路口的路线,我们可以得到各标志点的邻接矩阵:
即如果两个点相邻,则邻接矩阵中相对应的元素的值为1,否则为0;例如:
1和2这两个点相邻,那么
错误!
未找到引用源。
3、根据Floyd算法,我们是要求出各标志点任意两两之间的实际交通距离,所以我们需要得到A区相邻两个标志点的沿公路的交通距离。
我们可以利用距离矩阵的元素
错误!
未找到引用源。
与
错误!
未找到引用源。
的点乘积得到相邻标志点间的距离矩阵
4、将
中不相邻点间距离0改为无穷大(Inf)从而得到标志点与标志
点间的权值矩阵
即如果1和5之间不相邻,也即不能直接到达,那么D中的
错误!
未找到引用源。
和
错误!
未找到引用源。
都将变成
错误!
未找到引用源。
和
错误!
未找到引用源。
等于无穷大,否则等于D中相应元素的数据【7】。
5、运用Floyd算法(附录2)求出任意两点间最短距离,得到最短距离矩阵
:
对于重大突发事件,需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁,也即要封锁13条交通要道在A区内的交通路口节点,标号为12、14、16、21、22、23、24、28、29、30、38、48。
该问题转化为整数线性规划问题:
Min
错误!
未找到引用源。
+
错误!
未找到引用源。
约束:
i、j、k、l、m、n、p、q、r、s、t、u
错误!
未找到引用源。
20的整数且互不相同;
下面利用迪杰斯特拉(Dijkstra)算法进行搜索,算法描述如下:
(1)假设用带权的邻接矩阵arcs来表示带权有向图
S为1-20整数的集合,它的初始状态为20个元素的集合,初值为0。
i、j、k、l、m、n、p、q、r、s、t、u这12个未知数各自按先后顺序实现从1-20的循环,每一次选择了一个1-20之间的整数,则将其从S的集合中删除。
(2)D表示总共的cost,每一次对未知数选择了一个整数v后,则加上以该未知数为列数,v为行数的d矩阵中相应的元素值。
(3)如果后面算的的D值比前面所算得的D值小,那么选取小的那个D值
(4)在操作
(1)、
(2)中共循环20
错误!
未找到引用源。
20!
/8!
次。
结论:
i=12,j=14,k=16,l=14,m=15,n=13,p=12,q=11,r=10,s=7,t=3,u=6。
得到表
(2):
表2合理调度方案
节点标号
12
14
16
21
22
23
24
28
29
30
38
48
对应平台
10
14
16
9
15
13
12
11
7
8
3
6
Cost
63.64
0
0
104.6
85.04
5.00
26.93
27.29
80.15
30.61
24.44
21.93
Miniun
Totalcost
469.63
6、为了确定需要增加平台的具体个数和位置,这里我们采用主成分分析。
(1)计算相关系数矩阵
首先计算未设置为服务平台的72个节点如果设置为服务平台,那么相应的考虑了距离和发案率的工作量。
从矩阵d后72列和后72行抽出得到
错误!
未找到引用源。
该72阶矩阵中的每一个元素乘以相应行数对应的发案率得到矩阵
错误!
未找到引用源。
这样既考虑了平台相应的出警时间,又考虑了相应的发案率。
由矩阵X可以计算出相关系数矩阵【4】:
在上式中,rij(i,j=1,2,…,p)为原变量的
错误!
未找到引用源。
与
错误!
未找到引用源。
之间的相关系数,
错误!
未找到引用源。
矩阵X的第i列和第j列,其计算公式为
错误!
未找到引用源。
,
错误!
未找到引用源。
为矩阵X第i列和第j列元素的平均值,n=72
(2)计算特征值与特征向量【5】
首先解特征方程
,通常用雅可比法(Jacobi)【9】求出特征值
错误!
未找到引用源。
并使其按大小顺序排列,即
错误!
未找到引用源。
(3)计算主成分贡献率及累计贡献率:
选取累计贡献率达85—95%的特征值
错误!
未找到引用源。
建议增加的平台个数为3个,分别是22、23、24。
注:
主成分分析matlab代码见附录3
根据犯罪率和人口密度与巡警台的正比关系,得出:
人口密度越大,犯罪率越高的地方,更应该增加巡警台的设置。
首先形象地表示各区每个标点的犯罪率高低以及人口密度,从而更好地得出结论。
图(3)A区各点的犯罪率分布图
图(4)B区各点的犯罪率分布图
图(5)表示C区各点的犯罪率
图(6)表示D区各点的犯罪率
图(7)表示E区各点的犯罪率
图(8)表示F区各点的犯罪率
7、通过以上计算可以得出应该分别在A区地28、38、66、92节点处增加4个平台;由犯罪率和人口密度与巡警台的正比关系以及图(3--8)中所表示的情况可以得出,当前全区设置的交巡警服务平台存在明显不合理性,给出的解决方案是:
A区情况第一问已经给出,B区警力配置应该稍微分散些。
E区中需要增加2到3个巡警台,F区中新增2到3个巡警台较为合理。
还应该在西南边界和各区边界处增加相应的平台,综合上述分析得出表3:
表3城区警力分配表
城区
单位面积警力利用率
各辖区管辖人口
出口分配量
A城区
0.91
60
—
B城区
0.08
21
2
C城区
0.08
49
5
D城区
0.02
73
4
E城区
0.03
76
2
F城区
0.04
53
4
、对全市交通路口的路线表建立有向图D(V,A)
在案发3分钟后接到报警,犯罪嫌疑人已驾车逃跑,按假设8逃犯最多逃出3公里。
对于追捕逃犯问题,针对案发后犯罪嫌疑人去向不明,我们采用圈套式方法,利用动态规划进行分析,找出人力,物力及时间达到一个平衡点。
根据第一题的第二小问,我们可以计算出来,A区13个交通要道出口的每个封锁时间为t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8,t9,t10,t11,t12,t13,及用时最长的路口时间为T1和用时最短的路口的时间为T2。
同时,找到从P出A区最短的线路。
事实上,经过计算得出,犯罪嫌疑人只有可能在两个区中,即A区和C区,我们先考虑犯罪嫌疑人跑出A区到C区的情况一:
犯罪嫌疑人由P->节点30,大约需要1.8分钟,也就是说犯罪嫌疑人在3分钟之后已经离开A区,进入C区,所以此时我们应该考虑C区巡警台的围捕问题。
经计算可以得出,出动173,174号平台的警力封锁216,299号节点即可。
情况二:
犯罪嫌疑人还在A区,可供他选择也就是两个方向,第一小方面是往左边逃跑(如图(10)),也就只有三种可能出现的情况,通过计算可以得出,巡警台15封锁28号路口,10平台封锁26路口,14平台封锁14路口即可。
另一方面是往右边逃跑(如图(11)),通过计算得出,2,3,4号巡警台往最近的路口处进行封堵就可以达到围捕成功。
1、为此我们大体画出了罪犯能逃走的大致区域,如图(9)所示且大体作出了两种情况的示意图,如图(10)、(11)所示。
图(9)逃跑区域图
图(10)逃跑路线图A
图(11)逃跑路线图B
六模型评价及改进
(1)算法具有很强的跳出局部最优的能力从而达到全局最优;
(2)采用离散定位模型方法进行平台布局分布,体现其灵活性,从而为达到最优提供了捷径;
(3)提出的子区域划分方法,路口的确定,在保证科学性的前提下,具有很强的操作性;
(4)在任意两点的最短距离中,Folyd算法的高效性,很好的解决了全市的路径问题;
(5)模型求解中,有许多不确定因素没有考虑,如人口密度,高峰堵车等问题;
(6)分区讨论导致没有很好的对全市统筹规划;
(7)改进模型中需要考虑人口密度对发案率及车速的影响。
七参考文献
[1]赵静,但琦,严尚安,杨秀文,《数学建模与数学实验》,出版地:
北京,高等教育出版社,2008年1月第3版。
[2]吕国英,任瑞征,钱宇华,《算法设计与分析》,出版地:
北京,清华大学出版社,2009年1月第2版。
[3]朱战立,《数据结构——使用C语言》,出版地:
北京,电子工业出版社,2009年一月第4版。
[4]雷功炎,《数学模型八讲》,出版地:
北京,北京大学出版社,2008年2月第1版。
[5]FrankR.giordano,WilliamP.Fox,StevenB.Horton,MauriceD.Weir,《数学建模》,出版地:
北京,机械工业出版社,2009年8月第1版。
[6]MarkM.meerschaert,《数学建模方法与分析》出版地:
北京,机械工业出版社,2005年12月第1版。
[7]吴建国,《数学建模案例精编》,出版地:
北京,中国水利水电出版社,2005年5月第1版。
[8]刘卫国,《MATLAB程序设计与应用》,出版地:
北京,高等教育出版社,2006年6月第1版。
[9]姜启源,谢金星,叶俊,《数学模型》,出版地:
北京,高等教育出版社,2003年8月第3版。
八附录
附录1
loadsjsxX.txt
loadsjsxY.txt
sjX=[sjsxX]
sjY=[sjsxY]
N=92
fori=1:
N
forj=1:
N
JZ1(i,j)=0;
end
end
fork=1:
143
JZ1(sjX(k),sjY(k))=1;
End
其中sjsxX.txt为A区交通网中连接两路口节点路线的起点标号文件,sjsxY.txt为A区交通网中连接两路口节点路线的终点标号文件
附录2
%cwfac.m
functionresult=cwfac(vector);
fprintf('相关系数矩阵:
\n')
std=CORRCOEF(vector)
fprintf('特征向量(vec)及特征值(val):
\n')
[vec,val]=eig(std)
newval=diag(val);
[y,i]=sort(newval);
fprintf('特征根排序:
\n')
forz=1:
length(y)
newy(z)=y(length(y)+1-z);
end
fprintf('%g\n',newy)
rate=y/sum(y);
fprintf('\n贡献率:
\n')
newrate=newy/sum(newy)
sumrate=0;
newi=[];
fork=length(y):
-1:
1
sumrate=sumrate+rate(k);
newi(length(y)+1-k)=i(k);
ifsumrate>0.85break;
end
end
fprintf('主成分数:
%g\n\n',length(newi));
fprintf('主成分载荷:
\n')
forp=1:
length(newi)
forq=1:
length(y)
result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));
end
end
disp(result)
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