精选资料怎么用面积证明勾股定理.docx
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精选资料怎么用面积证明勾股定理
用面积证明勾股定理
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(1)所示的正方形。
图
(1)中,所以
方法二:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(2)所示的正方形。
图
(2)中,所以。
方法三:
将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积)
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:
.
方法四:
如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
练习题
(一)转化的思想方法
我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直
角三角形问题来解决.
49、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、
AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
50如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°。
求证:
DE2=AD2+BE2。
51如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,则BC边上的高AD=
52如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部
分△AFC的面积是。
53在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长.
54在△ABC中,
D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17
ABC的面积。
55.若△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,△ABC是直角三角形吗?
为什
么?
56.在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形?
为什么?
注意BC、AC、AB的大小关系。
AB AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×(1+1997)+1998=1997×1998+1998=19982=AC2。 57.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5cm,高3cm。 蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形 的表面向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去,所走的距离最短? 你能帮蜘蛛求出最短距离吗? 58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm,有一70dm的木棒,能放进去吗? 请说明理 由。 59.已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13,△ABC是否是直角三角形? 你能说 明理由吗? 60.如图,E是正方形ABCD的边CD的中点,延长AB到F,使BF=4AB,那么FE与FA相 61.如图,∠A=60°,∠B=∠D=90°。 若 BC=4,CD=6,求AB的长。 62.如图,∠xoy=60°,M是∠xoy内的一点,它到ox的距离MA为2。 它到oy的距离为11。 求OM的长。 带答案版的 用面积证明勾股定理 方法一: 将四个全等的直角三角形拼成如图 (1)所示的正方形。 图 (1)中 方法二: 将四个全等的直角三角形拼成如图( 图 (2)中 ,所以。 2)所示的正方形。 ,所以。 方法三: 将四个全等的直角三角形分别拼成如图( 3)—1和(3)—2所示的两个形状相同 在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—( 在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—( 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即: 方法四: 如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以 4个直角三角形面积), 4个直角三角形面积). 。 50如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°。 求证: DE2=AD2+BE2。 分析: 利用全等三角形的旋转变换,进行边角的全等变换,将边转移到一个三角形中,并构造 直角三角形。 51如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,则BC边上的高AD=。 A C BD 答案12。 52如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部 分△AFC的面积是。 设EF=x,那么AF=CF=8-x,AE^2+EF^2=AF^2, 所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3, S=4*8/2-3*4/2=10 答案: 10 53在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长. 答案25或7 54在△ABC中,D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积。 答案84或36 55.若△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,△ABC是直角三角形吗? 为什 么? 56.在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形? 为什么? 注意BC、AC、AB的大小关系。 AB AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×(1+1997)+1998=1997×1998+1998=19982=AC2。 57.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5cm,高3cm。 蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形 的表面向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去,所走的距离最短? 你能帮蜘蛛求出最短距离吗? 58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm,有一70dm的木棒,能放进去吗? 请说明理 由。 59.已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13,△ABC是否是直角三角形? 你能说 明理由吗? 222 答案: 是直角三角形。 (平方差公式的灵活运用)ab(ab)2ab =172260169c2。 1 60.如图,E是正方形ABCD的边CD的中点,延长AB到F,使BF=4AB,那么FE与FA相 61.如图,∠A=60°,∠B=∠D=90°。 若BC=4,CD=6,求AB的长。 62.如图,∠xoy=60°,M是∠xoy内的一点,它到ox的距离MA为2。 它到oy的距离为11。 求OM的长。 过点D作FE⊥BC,交BC的延长线于点E,交BC的平行线AF于F点。 AB=EF,DE=33,CE=3(在直角三角形中,30°角所对的边=斜边的一半), AF773 AF=BE=7。 在Rt△ADF中,FD=333 7316 333 ∴AB=DE+FD=33 答案.延长AM交oy于M′,MM′=22∴AM′=24OB=OM′-M′B =16311353∴在Rt△OMB中,OM=OB2BM214
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