届高三数学一轮复习教师讲义第一章12命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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届高三数学一轮复习教师讲义第一章12命题及其关系充分条件与必要条件
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度.
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
概念方法微思考
若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.
提示 若AB,则p是q的充分不必要条件;
若A⊇B,则p是q的必要条件;
若AB,则p是q的必要不充分条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题.( √ )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( √ )
题组二 教材改编
2.[P8T3]下列命题是真命题的是( )
A.矩形的对角线相等
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若整数a是素数,则a是奇数
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
答案 A
3.[P6引例]命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是_________________________.
答案 两直线不平行,同位角不相等
4.[P12T3]“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 x>y⇏x>|y|(如x=1,y=-2),
但当x>|y|时,能有x>y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
6.已知p:
x>a是q:
2 答案 (-∞,2] 解析 由已知,可得{x|2 题型一 命题及其关系 1.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; ②若两组数据的平均数相等,则它们的方差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切. 其中真命题的序号是________. 答案 ①③ 2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福 答案 D 3.有下列四个命题: ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; ④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题. 其中真命题为________.(填写所有真命题的序号) 答案 ①②③ 解析 ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,显然是真命题,故①正确;②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然是真命题,故②正确;③若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题,故③正确;④若A∩B=B,则B⊆A,故原命题错误,所以其逆否命题错误,故④错误. 4.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是_________. 答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 题型二 充分、必要条件的判定 例1 (1)已知α,β均为第一象限角,那么“α>β”是“sinα>sinβ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 取α= ,β= ,α>β成立,而sinα=sinβ,sinα>sinβ不成立. ∴充分性不成立; 取α= ,β= ,sinα>sinβ,但α<β,必要性不成立. 故“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件. (2)已知条件p: x>1或x<-3,条件q: 5x-6>x2,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由5x-6>x2,得2 2 所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p, 所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. 跟踪训练1 (1)(2018·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件 答案 D 解析 非有志者不能至,是必要条件;但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件. (2)设向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),则“a∥b”是“tanθ= 成立”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分 解析 a∥b⇔sin2θ=cos2θ⇔cosθ=0或2sinθ=cosθ⇔cosθ=0或tanθ= ,所以“a∥b”是“tanθ= 成立”的必要不充分条件. 题型三 充分、必要条件的应用 例2已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件, 即所求m的取值范围是[0,3]. 引申探究 若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ 方程组无解, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 思维升华充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 跟踪训练2 (1)若“x>2m2-3”是“-1 答案 [-1,1] 解析 依题意,可得(-1,4)(2m2-3,+∞), 所以2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1. (2)设n∈N*,则一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 答案 3或4 解析 由Δ=16-4n≥0,得n≤4, 又n∈N*,则n=1,2,3,4. 当n=1,2时,方程没有整数根; 当n=3时,方程有整数根1,3, 当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4. 利用充要条件求参数范围 逻辑推理是从事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理的主要形式是演绎推理,它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式,也是数学交流、表达的基本思维品质. 例已知条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 解析 方法一 命题p为 , 命题q为{x|a≤x≤a+1}. 綈p对应的集合A= ,
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