基于投资组合的效用函数讨论.docx

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基于投资组合的效用函数讨论

基于投资组合的效用函数讨论

效用函数描述的是消费者对于商品的满意程度，而在投资活动中，影响投资者满意程度的主要因素是预期收益和风险，所以投资中的效用函数是一个关于收益和风险的二元函数。

投资组合可以有效分散风险，故我们要解决的问题是如何在效用最大化原则下确定投资组合中各项投资的权重。

本文中将效用函数固定为一个普遍适用的形式，首先利用Markowitz模型找到投资组合的有效边界，构造拉格朗日函数，求出有效边界的斜率，将最优组合限制在有效前沿中，然后求出无差异曲线的斜率，令着两个斜率相等，即求无差异曲线族和有效前沿的相切点，就是效用最大的投资组合。

关键词：

效用函数，投资组合，无差异曲线，有效边界

在二十世纪后半期，在华尔街发生了两次数学革命，将数学规划和随机方程等工具和方法应用在了金融实践中。

1952年，Markowitz发表了著名论文“PortfolioSelection”,标志了华尔街第一次数学革命的开始。

这篇被公认为“现代投资学”开端的论文，具有里程碑式的意义，它将西方谚语中“把鸡蛋放在不同的篮子里”这一朴素思想上升为了理论高度。

文中详细地论述了投资组合的基本原理，奠定了投资组合理论的基础。

Markowitz提出，在进行投资时，人们不仅希望有高回报率，还希望这种回报率是可以确定的，即在追求收益更大的同时希望风险能够降低。

其实在通常情况下，收益越高的投资，风险就越大。

想要使得获得一定预期收益时的风险减小，一个有效的办法就是分散投资，尽管在理论上分散投资是有效的，但是随之而来困扰投资者们的一个问题就是，如何决定各个投资对象在投资组合中的权重使之成为一个最优选择。

既然想要找到最优选择，那么就要找到一个比较的标准，有了标准才能在两个可能性中选择一个更好的，对于投资组合来说，这个标准就是效用最大化准则。

关于效用理论的研究可以上溯到十八世纪DanielBernoulli的工作,但它的大发展时期是在二十世纪,JohnvonNeumann、KennethJ.Arrow、J.H.Schoemaker等人在这方面都做了大量工作。

效用函数描述的是消费者对于商品的满意程度，在风险-预期收益平面上，可以通过效用函数获得无差异曲线的图像，将无差异曲线和有效边界放在同一个图中，即可利用无差异曲线来比较有效边界上的投资组合对于投资者的效用。

本文从数学的角度出发，通过构建拉格朗日函数试图求解有效边界的斜率，再使其与无差异曲线斜率相等，联立方程求解最优投资组合。

第一章投资组合

1.1投资的风险与收益

在进行一项投资时，由于未来情况的不确定性，收益就无法完全确定，因而存在风险，所以只能用预期收益来作为投资的收益。

将预期收益R作为随机变量，R的所有取值可能设为

，

，且收益为

的概率为

（i=1,2,3，……，n），则有

。

我们用随机分布的均值作为预期收益，而用随机分布的方差来描述投资的风险：

（1.1）

其中，

越大，预期收益越大，

越小，风险越小。

1.2投资组合的含义

“不把鸡蛋放在同一个篮子里”，这一句西方谚语很好的阐释了资产选择理论中的分散投资。

事实上，人们持有的资产常常不限于个别的证券形式，而是拥有银行存款、债券、股票等不同形式的资产，此时，作为投资各类的各类证券的组合就称为组合资产。

在一个投资组合中的各项投资之间的相关系数决定它们面对未来情况的变动情况，相关系数

的取值在-1到1之间，当两种证券收益作完全正相关变化时

为1,；当它们各自的变动完全独立不相关时，为0；当作完全相反的变动时，

为-1。

投资组合的重要意义就在于，即使无法找到收益接近完全负相关的证券，也可以达到减小投资风险的目的，也就是说即使是随机地选择证券也能使投资的风险减小，这就是分散投资的效果。

1.3投资组合的风险与收益

假设一个投资组合包含n个投资对象，其中每个投资组合所占的比例为

，且

，并设其所对应的收益率为

，那么对于

这个投资组合而言，它的预期收益和风险可以表示为：

（1.2）

其中：

1.4Markowitz模型的有效边界

在Markowitz模型中，我们认为要追求一种预期收益和风险之间的平衡，而往往收益越大风险越高，当预期收益相同时，风险小的组合优于风险大的组合；当风险相同时，预期收益大的组合优于预期收益小的组合。

那么，在风险-预期收益平面上，在每一个固定的预期收益R=a上，都存在风险最小的一个点，而这些所有点的集合就称为有效的投资组合，它们满足下列条件：

（1.3）

求解上述二次规划问题的极值，可以建立如下拉格朗日函数：

对

，

求偏导，并令偏导为0，可得：

（1.4）

为了化简（1.4）式，我们令：

所以，（1.4）式可以化简为：

（1.5）

整理可得：

（1.6）

因为（1.6）式是（1.3）式的解，所以可将X带入（1.3）式得到：

（1.7）

令：

（1.8）

将（1.8）式带入（1.7）式并整理可得：

（1.9）

（1.9）式就是最小方差曲线，即投资组合的有效边界。

如图（1.1）中的抛物线AB。

图1.1投资组合的有效边界

第二章效用函数

2.1效用函数的定义

效用函数是表示消费者在消费中的满意程度与所消费的商品组合之间数量关系的函数，即为每个可能消费束指派一个数字，用以表现消费者对此消费束的偏好程度，且指派给受偏好较多的消费束的数字大于指派给受偏好较少的消费束的数字。

简单来说，效用函数就是用具体的数据来刻画消费者对商品的满意程度，并且可以用函数值的大小比较来反应消费者对不同消费束的满意程度的比较。

对于不同的消费者，由于其偏好不同，所以对应的效应函数也不同。

例如，小孩子爱吃冰淇淋，那么他们对于冰淇淋的效用函数显然是一个增函数，而老年人不爱吃冰淇淋，他们对于冰淇淋的效用函数就是一个减函数。

2.2投资中的效用函数

将消费束限制在投资中时，消费者即为投资者，商品即为不同的投资组合，在忽略资产的交易复杂程度、流通性等问题后，我们认为投资者在选择投资产品时所考虑的主要因素是产品的风险与收益，因此按照投资者对风险的偏好程度不同，可以将其大致分为三类：

风险爱好者、风险回避者、风险中立者，图（2.1）给出了他们对应的效用函数类型。

效用

收益

收益

效用

收益

效用

风险回避者

风险中立者

风险爱好者

图（2.1）投资者的效用函数

我们可以看出，对于风险爱好者而言，效用函数是一个下凹的函数，因为风险是随着预期收益增加而逐渐提高的，因此收益越大对于他们来说效用就越大。

同样，对于风险回避者而言，其效用函数是上凸的，这表明在风险增大时，高风险在一定程度上抵消了高收益给他们带来的满足。

而对于风险中立者而言，风险并不影响他们的满意程度，只有收益才能提高效用，风险的增大并不会影响效用。

由于对于每个投资者而言，效用函数是不同的，我们很难用一个效用函数来描述每一个投资者对于风险和收益的偏好，但是我们知道效用函数是一个关于风险和收益的二元函数，所以我们可以设效用函数为：

（2.1）

对两边求微分可得：

（2.2）

其中：

被称作风险的边际效用，

被称为收益的边际效用。

（2.2）式即为无差异曲线的斜率。

第三章无差异曲线与最佳投资组合

3.1无差异曲线（IDC）

在风险-预期收益平面上，将效用相同的点连接成光滑曲线，就成为了无差异曲线，由这个定义可以得到两点，第一，在一条无差异曲线上各个点的效用是相同；第二，两条无差异曲线是不相交的。

根据这个定义，我们可以绘制出风险回避者的无差异曲线，可以看出，随着风险的增加，只有当收益更快增加时才能保证效用不变，且IDC1的效用大于IDC2，曲线的斜率是越来越大的。

那么按照效用最大化原则，我们要找的最优组合，就是在有效的投资组合中找到效用最大的一个，即无差异曲线族和有效组合曲线的切点T处。

图（3.1）无差异曲线

3.2最佳投资组合

影响投资者对于投资组合的选择的最重要因素是投资的预期收益和风险，故最佳投资组合一定位于有效边界上，由于效用函数描述了投资者对于投资组合的满意程度，那么只要找到有效边界上效用最大的投资组合，我们就可以认为它是最优投资组合。

有了上面的分析，我们可以将范围进一步缩小，即最优组合只可能存在于与有效边界相交或者相切的无差异曲线上，不可能存在于与有效边界完全不相交的无差异曲线上。

对于一条与有效边界相交的无差异曲线，假设他们的交点是C、D，由于无差异曲线是凹函数，那么在CD连线的线段上除了C、D两点以外的其余点的效用一定大于CD两点，而在有效边界的中的CD这段弧线中除了CD两点以外的点的效用一定大于CD连线线段上的点，由此我们得到结论，交点C、D并不是最佳投资组合，也就是说，无差异曲线可以继续上移。

因此，只有找到与有效边界相切的无差异曲线，他们的切点才是最佳组合。

前面我们已经求出了无差异曲线的斜率，现在只要找到有效边界的斜率，再令着二者相等，求出方程的解，即为最优投资组合。

对……求微分并化简后可得：

（3.1）

这就是有效边界的斜率，根据我们前面求得的无差异曲线斜率，使二者相等可得：

（3.2）

将上式与（1.9）式联立可得

（3.3）

通过方程（3.3）我们就能得到切点T的坐标值，然后带入（1.6）式，即可求解X，也就是各个投资对象的权重，即解得最优投资组合。

图（3.2）无差异曲线与最佳投资组合

结论

本文从理论上阐述了如何利用效用函数选择一个最优投资组合，即取有效边界曲线和无差异曲线相切的点，令这两条曲线的斜率相等，联立方程：

即可求解。

但在实际应用中，由于每个人的效用函数都是不同的，而且对于一个投资的满意程度很难用数据精确的表示，因此无差异曲线的函数很难确定，这意味着参数无法确定，斜率就更加难求，同时，有效边界曲线也是一个较为模糊的曲线，所以本文所给的方法只能说是在效用最大化原则下给出的在理论上较为合理的方法。