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05优化问题
第5章优化问题
5.1线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题,MATLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为:
min
sub.to:
其中f、x、b、beq、lb、ub为向量,A、Aeq为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在MATLAB6.0版中,线性规划问题(LinearProgramming)已用函数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。
当然,由于版本的向下兼容性,一般说来,低版本中的函数在6.0版中仍可使用。
函数linprog
格式x=linprog(f,A,b)%求minf'*xsub.to
线性规划的最优解。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)%等式约束
,若没有不等式约束
,则A=[],b=[]。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%指定x的范围
,若没有等式约束
,则Aeq=[],beq=[]
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%设置初值x0
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options为指定的优化参数
[x,fval]=linprog(…)%返回目标函数最优值,即fval=f'*x。
[x,lambda,exitflag]=linprog(…)%lambda为解x的Lagrange乘子。
[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…)%exitflag为终止迭代的错误条件。
[x,fval,lambda,exitflag,output]=linprog(…)%output为关于优化的一些信息
说明若exitflag>0表示函数收敛于解x,exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字,exitflag<0表示函数不收敛于解x;若lambda=lower表示下界lb,lambda=upper表示上界ub,lambda=ineqlin表示不等式约束,lambda=eqlin表示等式约束,lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束;output=iterations表示迭代次数,output=algorithm表示使用的运算规则,output=cgiterations表示PCG迭代次数。
例5-1求下面的优化问题
min
sub.to
解:
>>f=[-5;-4;-6];
>>A=[1-11;324;320];
>>b=[20;42;30];
>>lb=zeros(3,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
结果为:
x=%最优解
0.0000
15.0000
3.0000
fval=%最优值
-78.0000
exitflag=%收敛
1
output=
iterations:
6%迭代次数
cgiterations:
0
algorithm:
'lipsol'%所使用规则
lambda=
ineqlin:
[3x1double]
eqlin:
[0x1double]
upper:
[3x1double]
lower:
[3x1double]
>>lambda.ineqlin
ans=
0.0000
1.5000
0.5000
>>lambda.lower
ans=
1.0000
0.0000
0.0000
表明:
不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的
5.2foptions函数
对于优化控制,MATLAB提供了18个参数,这些参数的具体意义为:
options
(1)-参数显示控制(默认值为0)。
等于1时显示一些结果。
options
(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。
options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。
options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。
options(5)-算法选择,不常用。
options(6)-优化程序方法选择,为0则为BFCG算法,为1则采用DFP算法。
options(7)-线性插值算法选择,为0则为混合插值算法,为1则采用立方插算法。
options(8)-函数值显示(目标—达到问题中的Lambda)
options(9)-若需要检测用户提供的梯度,则设为1。
options(10)-函数和约束估值的数目。
options(11)-函数梯度估值的个数。
options(12)-约束估值的数目。
options(13)-等约束条件的个数。
options(14)-函数估值的最大次数(默认值是100×变量个数)
options(15)-用于目标—达到问题中的特殊目标。
options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。
options(17)-优化过程中变量的最大有限差分梯度值。
options(18)-步长设置(默认为1或更小)。
Foptions已经被optimset和optimget代替,详情请查函数optimset和optimget。
5.3非线性规划问题
5.3.1有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为
sub.to
在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。
函数fminbnd
格式x=fminbnd(fun,x1,x2)%返回自变量x在区间
上函数fun取最小值时x值,fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
x=fminbnd(fun,x1,x2,options)%options为指定优化参数选项
[x,fval]=fminbnd(…)%fval为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag]=fminbnd(…)%xitflag为终止迭代的条件
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(…)%output为优化信息
说明若参数exitflag>0,表示函数收敛于x,若exitflag=0,表示超过函数估计值或迭代的最大数字,exitflag<0表示函数不收敛于x;若参数output=iterations表示迭代次数,output=funccount表示函数赋值次数,output=algorithm表示所使用的算法。
例5-2计算下面函数在区间(0,1)内的最小值。
解:
>>[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)
x=
0.5223
fval=
0.3974
exitflag=
1
output=
iterations:
9
funcCount:
9
algorithm:
'goldensectionsearch,parabolicinterpolation'
例5-3在[0,5]上求下面函数的最小值
解:
先自定义函数:
在MATLAB编辑器中建立M文件为:
functionf=myfun(x)
f=(x-3).^2-1;
保存为myfun.m,然后在命令窗口键入命令:
>>x=fminbnd(@myfun,0,5)
则结果显示为:
x=
3
5.3.2无约束多元函数最小值
多元函数最小值的标准形式为
其中:
x为向量,如
在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。
命令利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值
函数fminsearch
格式x=fminsearch(fun,x0)%x0为初始点,fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
x=fminsearch(fun,x0,options)%options查optimset
[x,fval]=fminsearch(…)%最优点的函数值
[x,fval,exitflag]=fminsearch(…)%exitflag与单变量情形一致
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(…)%output与单变量情形一致
注意:
fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
例5-4求
的最小值点
解:
>>X=fminsearch('2*x
(1)^3+4*x
(1)*x
(2)^3-10*x
(1)*x
(2)+x
(2)^2',[0,0])
结果为
X=
1.00160.8335
或在MATLAB编辑器中建立函数文件
functionf=myfun(x)
f=2*x
(1)^3+4*x
(1)*x
(2)^3-10*x
(1)*x
(2)+x
(2)^2;
保存为myfun.m,在命令窗口键入
>>X=fminsearch('myfun',[0,0])或>>X=fminsearch(@myfun,[0,0])
结果为:
X=
1.00160.8335
命令利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值
函数fminunc
格式x=fminunc(fun,x0)%返回给定初始点x0的最小函数值点
x=fminunc(fun,x0,options)%options为指定优化参数
[x,fval]=fminunc(…)%fval最优点x处的函数值
[x,fval,exitflag]=fminunc(…)%exitflag为终止迭代的条件,与上同。
[x,fval,exitflag,output]=fminunc(…)%output为输出优化信息
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc(…)%grad为函数在解x处的梯度值
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)%目标函数在解x处的海赛(Hessian)值
注意:
当函数的阶数大于2时,使用fminunc比fminsearch更有效,但当所选函数高度不连续时,使用fminsearch效果较好。
例5-5求
的最小值。
>>fun='3*x
(1)^2+2*x
(1)*x
(2)+x
(2)^2';
>>x0=[11];
>>[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)
结果为:
x=
1.0e-008*
-0.75910.2665
fval=
1.3953e-016
exitflag=
1
output=
iterations:
3
funcCount:
16
stepsize:
1.2353
firstorderopt:
1.6772e-007
algorithm:
'medium-scale:
Quasi-Newtonlinesearch'
grad=
1.0e-006*
-0.1677
0.0114
hessian=
6.00002.0000
2.00002.0000
或用下面方法:
>>fun=inline('3*x
(1)^2+2*x
(1)*x
(2)+x
(2)^2')
fun=
Inlinefunction:
fun(x)=3*x
(1)^2+2*x
(1)*x
(2)+x
(2)^2
>>x0=[11];
>>x=fminunc(fun,x0)
x=
1.0e-008*
-0.75910.2665
5.3.3有约束的多元函数最小值
非线性有约束的多元函数的标准形式为:
sub.to
其中:
x、b、beq、lb、ub是向量,A、Aeq为矩阵,C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数,f(x)为目标函数,f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。
在MATLAB5.x中,它的求解由函数constr实现。
函数fmincon
格式x=fmincon(fun,x0,A,b)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval]=fmincon(…)
[x,fval,exitflag]=fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(…)
参数说明:
fun为目标函数,它可用前面的方法定义;
x0为初始值;
A、b满足线性不等式约束
,若没有不等式约束,则取A=[],b=[];
Aeq、beq满足等式约束
,若没有,则取Aeq=[],beq=[];
lb、ub满足
,若没有界,可设lb=[],ub=[];
nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束
和等式约束
分别在x处的估计C和Ceq,通过指定函数柄来使用,如:
>>x=fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon),先建立非线性约束函数,并保存为mycon.m:
function[C,Ceq]=mycon(x)
C=…%计算x处的非线性不等约束
的函数值。
Ceq=…%计算x处的非线性等式约束
的函数值。
lambda是Lagrange乘子,它体现哪一个约束有效。
output输出优化信息;
grad表示目标函数在x处的梯度;
hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。
例5-6求下面问题在初始点(0,1)处的最优解
min
sub.to
解:
约束条件的标准形式为
sub.to
先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件:
function[c,ceq]=mycon(x)
c=(x
(1)-1)^2-x
(2);
ceq=[];%无等式约束
然后,在命令窗口键入如下命令或建立M文件:
>>fun='x
(1)^2+x
(2)^2-x
(1)*x
(2)-2*x
(1)-5*x
(2)';%目标函数
>>x0=[01];
>>A=[-23];%线性不等式约束
>>b=6;
>>Aeq=[];%无线性等式约束
>>beq=[];
>>lb=[];%x没有下、上界
>>ub=[];
>>[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]
=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)
则结果为
x=
34
fval=
-13
exitflag=%解收敛
1
output=
iterations:
2
funcCount:
9
stepsize:
1
algorithm:
'medium-scale:
SQP,Quasi-Newton,line-search'
firstorderopt:
[]
cgiterations:
[]
lambda=
lower:
[2x1double]%x下界有效情况,通过lambda.lower可查看。
upper:
[2x1double]%x上界有效情况,为0表示约束无效。
eqlin:
[0x1double]%线性等式约束有效情况,不为0表示约束有效。
eqnonlin:
[0x1double]%非线性等式约束有效情况。
ineqlin:
2.5081e-008%线性不等式约束有效情况。
ineqnonlin:
6.1938e-008%非线性不等式约束有效情况。
grad=%目标函数在最小值点的梯度
1.0e-006*
-0.1776
0
hessian=%目标函数在最小值点的Hessian值
1.0000-0.0000
-0.00001.0000
例5-7求下面问题在初始点x=(10,10,10)处的最优解。
Min
Sub.to
解:
约束条件的标准形式为
sub.to
>>fun='-x
(1)*x
(2)*x(3)';
>>x0=[10,10,10];
>>A=[-1-2-2;122];
>>b=[0;72];
>>[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)
结果为:
x=
24.000012.000012.0000
fval=
-3456
5.3.4二次规划问题
二次规划问题(quadraticprogramming)的标准形式为:
sub.to
其中,H、A、Aeq为矩阵,f、b、beq、lb、ub、x为向量
其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。
函数quadprog
格式x=quadprog(H,f,A,b)%其中H,f,A,b为标准形中的参数,x为目标函数的最小值。
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)%Aeq,beq满足等约束条件
。
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%lb,ub分别为解x的下界与上界。
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%x0为设置的初值
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options为指定的优化参数
[x,fval]=quadprog(…)%fval为目标函数最优值
[x,fval,exitflag]=quadprog(…)%exitflag与线性规划中参数意义相同
[x,fval,exitflag,output]=quadprog(…)%output与线性规划中参数意义相同
[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(…)%lambda与线性规划中参数意义相同
例5-8求解下面二次规划问题
sub.to
解:
则
,
,
在MATLAB中实现如下:
>>H=[1-1;-12];
>>f=[-2;-6];
>>A=[11;-12;21];
>>b=[2;2;3];
>>lb=zeros(2,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)
结果为:
x=%最优解
0.6667
1.3333
fval=%最优值
-8.2222
exitflag=%收敛
1
output=
iterations:
3
algorithm:
'medium-scale:
active-set'
firstorderopt:
[]
cgiterations:
[]
lambda=
lower:
[2x1double]
upper:
[2x1double]
eqlin:
[0x1double]
ineqlin:
[3x1double]
>>lambda.ineqlin
ans=
3.1111
0.4444
0
>>lambda.lower
ans=
0
0
说明第1、2个约束条件有效,其余无效。
例5-9求二次规划的最优解
maxf(x1,x2)=x1x2+3
sub.tox1+x2-2=0
解:
化成标准形式:
sub.tox1+x2=2
在Matlab中实现如下:
>>H=[0,-1;-1,0];
>>f=[0;0];
>>Aeq=[11];
>>b=2;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,[],[],Aeq,b)
结果为:
x=
1.0000
1.0000
fval=
-1.0000
exitflag=
1
output=
firstorderopt:
0
iterations:
1
cgiterations:
1
algorithm:
[1x58char]
lambda=
eqlin:
1.0000
ineqlin:
[]
lower:
[]
upper:
[]
5.4“半无限”有约束的多元函数最优解
“半无限”有约束多元函数最优解问题的标准形式为
sub.to
…
其中:
x、b、beq、lb、ub都是向量;A、Aeq是矩阵;C(x)、Ceq(x)、
是返回向量的函数,f(x)为目标函数;f(x)、C(x)、Ceq(x)是非线性函数;
为半无限约束,
通常是长度为2的向量。
在MTALAB5.x中,使用函数seminf解决这类问题。
函数fseminf
格式x=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon)
x=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b)
x=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq)
x=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
[x,fval]=fseminf(…)
[x,fval,exitflag]=fseminf(…)
[x,fval,exitflag,output]=fseminf(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fseminf(…)
参数说明:
x0为初始估计值;
fun为目标函数,其定义方式与前面相同;
A、b由线性不等式约束
确定,没有,则A=[],b=[];
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