人教版九年级数学上册第22章二次函数专题 重要知识考点提示及例题分析期末复习.docx
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人教版九年级数学上册第22章二次函数专题重要知识考点提示及例题分析期末复习
九年级数学上册专题:
二次函数考点提示及例题分析
二次函数高频考点及考查题型
考点
常见题型
二次函数及其图像
确定二次函数表达式
解答题
借助图像理解性质
选择题解答题
二次函数的性质和应用
用二次函数解决实际问题
填空题解答题
解决二次函数和其它知识综合的有关问题
解答题
考点知识提示
1.判断一个函数是否是二次函数要关注3点:
(1)等号右边是否是整式;
(2)自变量的最高次数是否是2;(3)二次函数的系数是否不为0。
例题:
下列四个函数中,一定是二次函数的是()
A.y=1/x2+xB.y=ax2+bx+cC.y=x2—(x+7)2D.y=(x+1)(2x—1)
分析:
A.自变量的最高次数不是2,故错误;
B.a=0时,不是二次函数,故错误;
C.原方程可得y=14x—49,是一次函数,故错误;
D.原方程可得y=2x2+x—1,符合二次函数的定义,故正确
2.二次函数是解决现实问题的一个工具,要特别注意实际问题中自变量的取值范围。
例题:
某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部售完,该公司的年产量为6千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润y1(元)与国内销售数量x(103件)的关系为:
5x+90(0 y1= —5x+130(2≤x<6) 若在国外销售,平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(103件)的关系为: 100(0 y2= 5t+110(2≤t<6) (1)用的代式表示t为t=。 当0 (2)求每年该公司钠售这种健身产品的总利润w(103元)与国内的钠售数量x(103件)的函数关系式,并指出x的取值范围。 解: (1)由题意,得X+t=6,故t=6-X 100(0 y2= 5t+110(2≤t<6) 当0 此时y2与的函数关系为: y2=5(6-X)+110=5X+80 当4≤x<6时,0≤6-x<4,即0 此时y2=100 故答案为: 6-X;5X+80;6 (2)分三种情况 ①当0 ②当2 ③当4 10x2+40x+480(0 W=-10x2+80x+480(2 -5x2+30x+600(4 3.易错提示: 当给出的二次函数的表达式中含有字母时,要注意二次项系数不为0这一条件。 如: 函数y=(m2-m)x2+(m-1)+m+1,若为二次函数,则m的取值。 分析: 二次项系数不为0,所以m2-m≠0,故m≠0,m≠1。 4.二次函数y=ax2的图像是一条对称轴为y轴,定点坐标为(0,0)的抛物线,开口方向取决于a,当a>0时,开口向上,a<0时,开口向下。 例题: 若函数y=mxm2-2是关于x的二次函数,且图像开口向上则m的值为多少? 分析: 因为是二次函数,所以m2-2=2,解得m=±2 又因为函数图像开口向上,所m>0,故取m=2。 5.易错提示: 注意位于不同象限的抛物线上的点的横纵坐标的正负号。 如: 已知P(m,a)是抛物线y=ax2(a≠0)上的点,且点P在第一象限,求m的值。 分析: 将点P坐标代入y=ax2,可得a=am2,解得m=±1,因为点P在第一象限,所以m=1。 6.二次函数y=ax2+c的图像可以通过y=ax2的图像向上或向下得到,当c>0时,向上平移c个单位,c<0时,向下平移│c│个单位。 例题: 已知点P(-1,m)在二次函数y=x2—1的图像上,则m的值为;平移此二次函数的图像,是点P与(-1,2)重合,则平移后的函数图像所对应的解析式为。 分析: 将点p(-1,m)坐标值代入y=x2—1,可得m=0; 可知此时点P坐标为(-1,0),若要与(-1,2)重合,则要向上平移2个单位,则平移后的函数图像所对应的解析式为y=x2—1+2,即y=x2+1。 易错提示: 当用运动的视角描述图像的平移时,要准确确定原图像和新图像。 7.用二次函数y=ax2+c的图像解决实际问题时,注意要根据题目的条件结合图像选择合适的坐标点进行计算。 例题: 如图为某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图(O为AA1的中点),隧道的截面边线由抛物线和矩形的三条边组成,矩形的长为16m,宽为6m,抛物线的表达式为y=— x2+8.现有一辆大型货车,装载某大型设备后,其宽为4m,车载大型设备的顶部与路面的距离为7m,它是否能安全通过这个隧道? 说明理由。 分析: 货车是否能够安全通过隧道,要考虑其宽度,还要考虑其高度。 已知货车的宽度为4m,小于隧道宽度6m; 货车加上设备的高度为7m,货车要安全通过隧道,就要尽量在隧道顶部的高位点下行驶,那么只有货车的中心线与y轴重合时,货车处在隧道最高处的下方,已知货车宽为4米,那么货车左右两边侧关于y轴对称,在x轴上的坐标分别为右边D1(2,0)和左边D(-2,0),只需取其中一个点的坐标即可,我们取右边D1(2,0),那么该点向上平移,到抛物线上后横坐标仍为2,代入抛物线的表达式为y=— x2+8,即可求得y的值,只要y值大于货车总高即可安全通过。 解: 4÷2=2m,将x=2,代入y=— x2+8, 求得y=7 >7, 又4m<6m,故货车能安全通过隧道。 如图: 8.二次函数y=a(x—h)2+k的图像可以通过y=ax2的图像向左或向右平移达到,当h>0时,向右平移h个单位,h<0时,向左平移│h│个单位,当k>0时,向上平移k个单位,k<0时,向下平移│k│个单位;其图像是一条对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,k)的抛物线。 例题: 已知二次函数y=x2—4x+3. (1)求其图像的顶点坐标和对称轴; (2)求该函数图像与x轴的交点坐标; (3)它经过怎样的平移变换,就能得到抛物线y=x2+1. 分析: 用配方法将y=x2—4x+3化成y=a(x—h)2+k形式,即y=(x—2)2—1, (1)由y=(x—2)2—1可知,其图像顶点坐标为(2,—1),对称轴为直线x=2; (2)该函数图像与与x轴的交点即y=0,即(x—2)2—1=0 解得: x=3,x=1,故与x轴交点坐标为(3,0)和(1,0) (3)y=(x—2)2—1的图像平移转换为y=x2+1的图像,(可以反向推断)需要向左平移2个单位,再向下平移2个单位。 结论: 二次函数y=ax2+bx+c是通过配方法转化成y=a(x—h)2+k的形式研究的,因此要把握住转化思想。 易错提醒: y=a(x—h)2+k中,h前为“—”,在确定其图像的对称轴和顶点坐标时要注意符号。 9.要确定二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴和顶点坐标,可以利用配方法,也可以利用公式法。 公式: 对称轴为直线x=— ,顶点坐标为(— , )。 如: 已知抛物线y=x2+mx+m—2.证明: 不论m取何值,抛物线的顶点Q总在x轴的下方。 分析: 用配方法原方程可得: y=(x+ m)2— m2+m—2,可知顶点坐标为(— m,— m2+m—2);用公式法可得顶点坐标: xQ=— =— m,yQ= =— m2+m—2; 两种方法结果是相同的,若讨论该函数图像的顶点与x轴的关系,只需求证顶点纵坐标的正负性即可 yQ=— m2+m—2=— (m+ )2—2 =— [(m+ )2+9] 可知无论m为何值,都有yQ<0,即顶点Q在x轴的下方。 注意: 在解决函数问题时,一定要数形结合,把数的精确与形的直观统一起来。 10.我们求一次函数和二次函数最常用的方法是待定系数法。 例题: 如图是一个二次函数图像,求其关于y轴对称的抛物线的表达式。 分析: 有图像抛物线可知,该二次函数与x轴的交点坐标分别为(1,0)和(3,0),与y轴的交点坐标为(0,3),则其关于y轴对称的抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,3)和(-3,0),与y轴的交点坐标为(0,3) 设该函数关于y轴对称的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c 将以上三个坐标值分别代入表达式y=ax2+bx+c可得: a-b+3=0.......① 3a-b+1=0......② c=3...............③ 解①②③组成的方程组,可得a=1,b=4,c=3 则其表达式为y=x2+4x+3 注意: 二次函数的表达式有三种形式: (1)一般式y=ax2+bx+c; (2)顶点式y=a(x—h)2+k (3)交点式: y=(x—x1)(x—x2)仅限于与x轴有交点(x1,0)和(x2,0)的抛物线。 11.易错提示: 求二次函数解析式时,若题目已知顶点坐标,则此时做好的方法是设顶点式。 如: 已知二次函数y的顶点(1,2)和其抛物线上另一点(3,10),求其解析式。 分析: 已知该函数的顶点为(1,2),可设其顶点解析式为: y=a(x-1)2+2 将(3,10)代入得: 4a+2=10,可解得a=2,故其解析式为y=2(x-1)2+2 12.二次函数的最值与二次函数有关: a>0时,函数图像开口向上,函数有最小值;a<0时,函数开口向下,函数有最大值。 如: 函数y= x-2-3x2有最值,为。 分析: 函数y= x-2-3x2,可知a=-3<0,函数开口向下,有最大值 函数y最大值即其抛物线顶点的纵坐标的值,即y= = =- 12.二次函数的增减性也与二次项系数有关: a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,a<0时,y随x的增大而增大;在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,a<0时,y随x的增大而减小。 判断函数的增减性时,要注意数形结合。 例题: 如图所示的抛物线的顶点坐标是P(1,3),若y随着x的增大而增大,则x的取值范围是。 分析: 由图可知,抛物线是以x=1的直线为对称轴,开口向下的图像,则y随着x的增大而增大的部分在对称轴的左侧,即直线x=1的左侧,所以x的取值范围是x≤1. 13.利用二次函数图像求解一元二次不等式的解集,需要先求二次函数图像与x轴的交点横坐标,再结合开口方向确定解集。 例题: 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像,有图像可知不等式ax2+bx+c<0的解集是 分析: 由图可知二次函数抛物线的对称轴为x=2的直线,其中与x轴的一个交点坐标为(5,0),可得该交点关于对称轴x=2的对称点为(—1,0),即抛物线与x轴的另一个交点。 根据抛物线开口向下可知,当x<-1或x>5时,y<0,即不等式ax2+bx+c<0,所以不等式的解集为x<-1或x>5。 14.在解决和实际有关的问题中,如果问题涉及最值问题,那么一定要有使用二次函数的意识。 例题: 某种商品每件的进价为10元,在销售过程中发现,平均每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可近似的看作一次函数y=—2x+60. (1)求平均每天销售这种商品的利润w(元)与销售价x之间的函数关系式。 (2)当这种商品的销售价为多少元时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? 分析: (1)由题意知,每件商品的利润是x—10元,每天的销售量y=—2x+60 则每天销售这种商品的利润w=(x—10)(—2x+60),即: w=-2x2+80x-600 (2)由二次函数w=-2x2+80x-600可知,该函数的图像是开口向下的抛物线,求最大利润,就是求该函数图像的顶点坐标值, 所以当x=— =— =20时,y有最大值,ymax=200. 即这种商品的销售价为20元时,可以获得最大利润,最大利润是200元。 15.易错提示: 利用二次函数解决某些最值问题,通常最值在图像顶点处,但由于定义域的限制,有时图像顶点无法直接取到,就需要具体问题具体分析。 例题: 如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c的图像与x轴的一个交点B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5)。 (1)求直线BC与抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值。 分析: (1)设直线BC的解析式为y=kx+b,将B、C两点的坐标代入,可得: 5k+b=0①,b=5②,可得k=-1,b=5, 则直线BC的解析式为y=-x+5 再将B、C两点的坐标代入y=x2+bx+c,可得: 25+5b+c=0①,c=5②,可得b=-6,c=5, 则抛物线的解析式: y=x2-6x+5 (2)由y=x2-6x+5可知,抛物线与x轴的交点A坐标是(1,0),B坐标为(5,0) 因为M在x轴的下方图像上,故点M的横坐标x的取值范围: 1<x<5 设点M的坐标: (x,x2-6x+5);点N的坐标: (x,-x+5),设MN长为y 则线段MN的长为: y=-x+5-(x2-6x+5)=-x2+5x 即y=-x2+5x=-(x- )2+ (该函数抛物线图像开口向下,有最大值) 当x= 时,y有最大值 ,即MN的最大值为 。 另外要注意,抛物线的解析式离不开平面直角坐标系,所以建立不同的平面直角坐标系,会使解析式不同;二次函数通常与几何结合起来,这类问题称为代几综合问题,通常这样的问题需要心中有几何的基本知识和结构,并注意数形结合。
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