高三数学知识点总结.docx
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高三数学知识点总结
全日制普通高级中学教科书《数学》目录
第一册上
第一章 集合与简易逻辑
一 集合
1.1 集合
1.2 子集、全集、补集
1.3 交集、并集
1.4 含绝对值的不等式解法
1.5 一元一次不等式解法
阅读材料 集合中元素的个数
二 简易逻辑
1.6 逻辑联结词
1.7 四种命题
1.8 充分条件与必要条件
小结与复习
复习参考题一
第二章 函数
一 函数
2.1 函数
2.2 函数的表示法
2.3 函数的单调性
2.4 反函数
二 指数与指数函数
2.5 指数
2.6 指数函数
三 对数与对数函数
2.7 对数
阅读材料 对数的发明
2.8 对数函数
2.9 函数的应用举例
阅读材料 自由落体运动的数学模型
实习作业 建立实际问题的函数模型
小结与复习
复习参考题二
第三章 数列
3.1 数列
3.2 等差数列
3.3 等差数列的前n项和
阅读材料 有关储蓄的计算
3.4 等比数列
3.5 等比数列的前n项和
研究性学习课题:
数列在分期付款中的应用
小结与复习
复习参考题三
附录 部分中英文词汇对照表
第一册下
第四章 三角函数
一 任意角的三角函数
4.1 角的概念的推广
4.2 弧度制
4.3 任意角的三角函数
阅读材料 三角函数与欧拉
4.4 同角三角函数的基本关系式
4.5 正弦、余弦的诱导公式
二 两角和与差的三角函数
4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切
4.7 二倍角的正弦、余弦、正切
三 三角函数的图象和性质
4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质
4.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
4.10 正切函数的图象和性质
4.11 已知三角函数值求角
阅读材料 潮汐与港口水深
小结与复习
复习参考题四
第五章 平面向量
一 向量及其运算
5.1 向量
5.2 向量的加法与减法
5.3 实数与向量的积
5.4 平面向量的坐标运算
5.5 线段的定比分点
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.7 平面向量数量积的坐标表示
5.8 平移
阅读材料 向量的三种类型
二 解斜三角形
5.9 正弦定理、余弦定理
5.10 解斜三角形应用举例
实习作业 解三角形在测量中的应用
阅读材料 人们早期怎样测量地球的半径?
研究性学习课题:
向量在物理中的应用
小结与复习
复习参考题五
附录 部分中英文词汇对照表
第二册上
第六章 不等式
6.1 不等式的性质
6.2 算术平均数与几何平均数
6.3 不等式的证明
6.4 不等式的解法举例
6.5 含有绝对值的不等式
阅读材料 n个正数的算术平均数与几何平均数
小结与复习
复习参考题六
第七章 直线和圆的方程
7.1 直线的倾斜角和斜率
7.2 直线的方程
7.3 两条直线的位置关系
阅读材料向量与直线
7.4 简单的线性规划
研究性学习课题与实习作业:
线性规划的实际应用
7.5 曲线和方程
阅读材料笛卡儿和费马
7.6 圆的方程
小结与复习
复习参考题七
第八章 圆锥曲线方程
8.1 椭圆及其标准方程
8.2 椭圆的简单几何性质
8.3 双曲线及其标准方程
8.4 双曲线的简单几何性质
8.5 抛物线及其标准方程
8.6 抛物线的简单几何性质
阅读材料圆锥曲线的光学性质及其应用
小结与复习
复习参考题八
附录 部分中英文词汇对照表
第二册下A册
第九章 直线、平面、简单几何体
9.1 平面
9.2 空间直线
9.3 直线与平面平行的判定和性质
9.4 直线与平面垂直的判定和性质
9.5 两个平面平行的判定和性质
9.6 两个平面垂直的判定和性质
9.7 棱柱
9.8 棱锥
阅读材料 柱体和锥体的体积
研究性学习课题:
多面体欧拉定理的发现
阅读材料 欧拉公式和正多面体的种类
9.9 球
小结与复习
复习参考题九
第十章 排列、组合和二项式定理
10.1 分类计数原理与分步计数原理
10.2 排列
10.3 组合
阅读材料 从集合的角度看排列与组合
10.4 二项式定理
小结与复习
复习参考题十
第十一章 概率
11.1 随机事件的概率
11.2 互斥事件有一个发生的概率
11.3 相互独立事件同时发生的概率
阅读材料 抽签有先有后,对个人公平吗?
小结与复习
复习参考题十一
附录 部分中英文词汇对照表
第二册下册B册
第九章 直线、平面、简单几何体
一 空间的直线与平面
9.1 平面的基本性质
9.2 空间的平行直线与异面直线
9.3 直线和平面平行与平面和平面平行
9.4 直线和平面垂直
二 空间向量
9.5 空间向量及其运算
9.6 空间向量的坐标运算
三 夹角与距离
9.7 直线和平面所成的角与二面角
9.8 距离
阅读材料 向量概念的推广与应用
四 简单多面体育球
9.9 棱柱与棱锥
研究性学习课题:
多面体欧拉定理的发现
阅读材料 欧拉公式和正多面体的种类
9.10 球
小结与复习
复习参考题九
第十章 排列、组合和二项式定理
10.1 分类计数原理与分步计数原理
10.2 排列
10.3 组合
阅读材料 从集合的角度看排列与组合
10.4 二项式定理
小结与复习
复习参考题十
第十一章 概率
11.1 随机事件的概率
11.2 互斥事件有一个发生的概率
11.3 相互独立事件同时发生的概率
阅读材料 抽签有先有后,对各人公平吗?
小结与复习
复习参考题十一
附 录 部分中英文词汇对照表
第三册 (选修Ⅰ)
第一章 统计
1.1 抽样方法
1.2 总体分布的估计
1.3 总体期望值和方差的估计
实习作业 通过抽样调查研究实际问题
小结与复习
复习参考题一
附录 随机数表
第二章 导数
2.1 导数的背景
2.2 导数的概念
2.3 多项式函数的导数
2.4 函数的单调性与极值
2.5 函数的最大值与最小值
2.6 微积分建立的时代背景和历史意义
研究性学习课题:
杨辉三角
小结与复习
复习参考题二
附录 部分中英文词汇对照表
第三册(选修Ⅱ)
第一章 概率与统计
一 随机变量
1.1 离散型随机变量的分布列
1.2 离散型随机变量的期望与方差
二 统计
1.3 抽样方法
1.4 总体分布的估计
阅读材料 积累频率分布
1.5 正态分布
1.6 线性回归
阅读材料 回归直线方程的推导
实习作业 通过抽样调查,研究实际问题
小结与复习
复习参考题一
第二章 极限
一 数学归纳法
2.1 数学归纳法及其应用举例
阅读材料 不完全归纳法与完全归纳法
研究性学习课题:
杨辉三角
二 极限
2.2 数列的极限
2.3 函数的极限
2.4 极限的四则运算
阅读材料 无穷等比数列(|q|<1)的和
2.5 函数的连续性
小结与复习
复习参考题二第三章 导数
一 导数
3.1 导数的概念
3.2 几种常见函数的导数
阅读材料 变化率举例
3.3 函数的和、差、积、商的导数
3.5 复合函数的导数
阅读材料 近似计算
二 导数的应用
3.6 函数的单调性
3.7 函数的极值
3.8 函数的最大值与最小值
3.9 微积分建立的时代背景和历史意义
小结与复习
复习参考题三
第四章 数系的扩充——复数
4.1 复数的概念
4.2 复数的运算
4.3 数系的扩充
研究性学习课题:
复数与平面向量、三角函数的联系
小结与复习
复习参考题四
附录一 部分中英文词汇对照表
附录二 导数公式表
高中数学知识点总结
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3.注意下列性质:
(3)德摩根定律:
4.你会用补集思想解决问题吗?
(排除法、间接法)
的取值范围。
6.命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。
)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7.对映射的概念了解吗?
映射f:
A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。
)
8.函数的三要素是什么?
如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
10.如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
12.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
13.反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
14.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
∴……)
15.如何利用导数判断函数的单调性?
值是()
A.0B.1C.2D.3
∴a的最大值为3)
16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17.你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。
)
如:
18.你掌握常用的图象变换了吗?
注意如下“翻折”变换:
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质!
(注意底数的限定!
)
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
20.你在基本运算上常出现错误吗?
21.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
22.掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。
)
如求下列函数的最值:
23.你记得弧度的定义吗?
能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
24.熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义
25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?
并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
(x,y)作图象。
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。
28.在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式:
图象?
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值
31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
应用以上公式对三角函数式化简。
(化简要求:
项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。
)
具体方法:
(2)名的变换:
化弦或化切
(3)次数的变换:
升、降幂公式
(4)形的变换:
统一函数形式,注意运用代数运算。
32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?
如何实现边、角转化,而解斜三角形?
(应用:
已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。
)
33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34.不等式的性质有哪些?
答案:
C
35.利用均值不等式:
值?
(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。
)
38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始
39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40.对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。
)
证明:
(按不等号方向放缩)
42.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?
(可转化为最值问题,或“△”问题)
43.等差数列的定义与性质
0的二次函数)
项,即:
44.等比数列的定义与性质
46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:
(1)求差(商)法
解:
[练习]
(2)叠乘法
解:
(3)等差型递推公式
[练习]
(4)等比型递推公式
[练习]
(5)倒数法
47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:
(1)裂项法:
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
解:
[练习]
(2)错位相减法:
(3)倒序相加法:
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
[练习]
48.你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。
如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元,满足
p——贷款数,r——利率,n——还款期数
49.解排列、组合问题的依据是:
分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
(2)排列:
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
(3)组合:
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不
50.解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:
学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()
A.24B.15C.12D.10
解析:
可分成两类:
(2)中间两个分数相等
相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51.二项式定理
性质:
(3)最值:
n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
表示)
52.你对随机事件之间的关系熟悉吗?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件):
“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
(6)对立事件(互逆事件):
(7)独立事件:
A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
53.对某一事件概率的求法:
分清所求的是:
(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如:
设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
(2)从中任取5件恰有2件次品;
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:
有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:
∵一件一件抽取(有顺序)
分清
(1)、
(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54.抽样方法主要有:
简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:
(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。
如:
从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
56.你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(7)向量的加、减法如图:
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
的一组基底。
(9)向量的坐标表示
表示。
57.平面向量的数量积
数量积的几何意义:
(2)数量积的运算法则
[练习]
答案:
答案:
2
答案:
58.线段的定比分点
※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线面平行的判定:
线面平行的性质:
三垂线定理(及逆定理):
线面垂直:
面面垂直:
60.三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
(三垂线定理法:
A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。
)
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。
(2)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
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