图与网络分析本章小结.ppt

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第六章图与网络分析继续继续继续继续返回返回返回返回上页上页下页下页返回返回第一节图的基本概念与模型第二节树图和图的最小部分树第三节最短路问题第四节网络的最大流第五节最小费用流上页上页下页下页返回返回1.图的基本概念与模型点:

表示研究对象.连线：

表示两个对象之间的某种特定关系。

关系的对称性：

两对象之间的关系可互换。

上页上页下页下页返回返回边：

不带箭头的联线，表示对称关系。

弧：

带箭头的联线，表示不对称关系。

无向图：

简称图，由点和边组成。

表示为：

G=（V，E）V-点集合E-边集合有向图：

由点和弧组成。

表示为：

D=（V，A）V-点集合A-弧集合点数:

p（G）或p（D）边数:

q（G）弧数:

q（D）上页上页下页下页返回返回无向图的有关概念端点:

e=u,vE,则u,v是e的端点,称u,v相邻.关联边:

e是点u,v的关联边.环:

若u=v,e是环.多重边:

两点之间多于一条边.简单图:

无环,无多重边的图.多重图:

无环,允许有多重边的图.次;悬挂点;悬挂边;孤立点;奇点;偶点.上页上页下页下页返回返回定理1:

图G=（V,E）中,所有点的次之和是边数的两倍,即:

定理2:

任意一图中,奇点的个数为偶数.上页上页下页下页返回返回完全图;偶图（二分图）;完全偶图;子图:

对G1=（V1,E1）,若G2=（V2,E2）,使V1V2,E2E1,则G2是G1的一个子图部分图:

对G1=（V1,E1）,若G2=（V2,E2）,使V1=V2,E2E1,则G2是G1的一个部分图链;圈（有重复点,无重复边）;路;回路（无重复点,无重复边）;连通图.上页上页下页下页返回返回有向图的有关概念基础图:

对D=（V,A）,去掉图上的箭头.始点和终点:

对弧a=（u,v）,u为a的始点,v为a的终点.链;圈;道路;回路;初等路;初等回路;简单有向图:

无环,无多重弧.多重有向图:

有多重弧.上页上页下页下页返回返回2.树图和图的最小部分树2.1树图的性质树图:

无圈的连通无向图称为树,记作T（V,E）上页上页下页下页返回返回树图的性质：

性质1任何树图中必存在次为1的点.性质2具有n个顶点的树图的边数恰好为（n-1）条.图G=（V，E），具有n个顶点，图G是树图的下列说法是等价的：

（1）G连通，且恰有n-1条边。

（2）G无圈，且恰有n-1条边。

（3）G连通，但每舍去一边就不连通。

（4）G无圈，但每增加一边即得唯一一个圈。

（5）G中任意两点之间恰有一条链（简单链）。

上页上页下页下页返回返回2.2图的最小部分树（最小支撑树）最小支撑树：

若图T=（V,E）是图G=（V,E）的部分树，且树枝总长最小的部分树上页上页下页下页返回返回2.2图的最小部分树（最小支撑树）定理1：

图中任一点i,若j是与i相邻点中距离最近的,则边i,j一定必含在该图的最小部分树内推论：

把图的所有点分成V和两个集合,则两集合之间连线的最短边一定包含在最小部分树内.上页上页下页下页返回返回2.3最小支撑树问题赋权图（网络）:

给图G=（V,E）,对G中的每一条边vi,vj,相应地有一个数wij,则称这样的图为赋权图,wij称为边vi,vj上的权.支撑树的权:

若T=（V,E）是G的一个支撑树,E中的所有边的权之和称为支撑树的权求最小部分树的避圈法;求最小部分树的破圈法.上页上页下页下页返回返回F求支撑树的避圈法求支撑树的避圈法

（1）从图中任选一点）从图中任选一点vi,让让,图中其余点均图中其余点均包含在包含在中；中；

（2）从）从V与与的连线中找出最小边的连线中找出最小边,这条边一定这条边一定包含在最小部分树内包含在最小部分树内,不妨设最小边为不妨设最小边为vi,vj,将将vi,vj加粗加粗,以标记是最小部分树内的边；以标记是最小部分树内的边；（3）令）令；（4）重复）重复2、3两步两步,一直到图中所有点均包含一直到图中所有点均包含在在V中为止。

中为止。

找图中最小支撑树的方法：

上页上页下页下页返回返回F求支撑树的破圈法求支撑树的破圈法

（1）从网络图）从网络图N中任取一回路中任取一回路,去掉这个回路中去掉这个回路中权数最大的一条边权数最大的一条边,得一子网络图得一子网络图N1；

（2）在）在N1中再任取一回路中再任取一回路,再去掉回路中权数最再去掉回路中权数最大的一条边大的一条边,得得N2；（3）如此继续下去）如此继续下去,一直到剩下的子图中不再含一直到剩下的子图中不再含有回路为止。

有回路为止。

找图中最小支撑树的方法：

上页上页下页下页返回返回路P0的权称为从vs到vt的距离,记为:

d（vs,vt）3.1最短路算法Dijkstra（狄克斯屈拉）算法：

有向图，wij0一般结论33最短路问题为：

最短路问题为：

上页上页下页下页返回返回Dijkstra算法步骤（用dij表示图中两相邻点i与j的距离,若i与j不相邻,令dij=,dii=0；用Lsi表示从s点到i点的最短距离）现求从s点到某一点t的最短距离：

（1）从点s出发,因Lss=0,将此值标注在s旁的小方框内,表示s点已标号；

（2）从s点出发,找出与s相邻的点中距离最小的一个,设为r.将Lsr=Lss+dsr的值标注在r旁的小方框内,表明点r也已标号；（3）从已标号的点出发,找出与这些点相邻的所有未标号点p.若有Lsp=minLss+dsp;Lsr+dsp,则对点p标号,并将Lsp值标注在点p旁的小方框内（4）重复第3步,一直到点得到标号为止.上页上页下页下页返回返回3.2求任意两点间最短距离的矩阵算法网络各点间最短距离的矩阵计算法定义任意两点i和j间的距离为dij，构造矩阵D=dij.

（1）先考虑i与j之间有一个中间点的最短距离,可以构造新矩阵D

（1）,D

（1）中的每个元素dij

（1）=mindir+drj.

（2）再考虑i与j之间有一至三个中间点的最短距离,可以构造新矩阵D

（2）,D

（2）中的每个元素dij

（2）=mindir

（1）,drj

（1）.（3）一般地有dij（k）=mindir（k-1）,drj（k-1），矩阵给出网络中任意两点直接到达,经过一个、两个、.、到2k-1个中间点时比较得到的最短距离.（4）如果计算出现D（m+1）=D（m）时,计算结束。

D（m）中各个元素值即为各点间的最短距离.上页上页下页下页返回返回4网络的最大流网络的最大流：

满足容量限制条件和中间点平衡的条件下，使v（f）值达到最大。

上页上页下页下页返回返回割和流量1）从st的流量实际上等于通过割的从V到的流量减去V的流量，即2）若用v*（f）表示网络中从st的最大流，用c*（V，）表示网络中最小割的容量，则有上页上页下页下页返回返回增广链当有增广链存在时，找出再令st的流量v（f）增大了一个值可增加流量的链上页上页下页下页返回返回几点结论上页上页下页下页返回返回4.4求网络最大流的标号法-Ford-Fulkerson标号算法1）给发点s标号（0，（s））.注意：

括弧中第一个数字是使这个点得到标号的前一个点的代号；括弧中第二个数字表示从上一标号点到这个标号点的流量的最大允许调整值，其中（s）=+。

上页上页下页下页返回返回2）上页上页下页下页返回返回3）上页上页下页下页返回返回4）5）上页上页下页下页返回返回5.最小费用流最小费用流可以这样描述:

设网络上有n个点,fij为弧（i,j）上的流量,cij为该弧的容量,bij为在弧（i,j）上通过单位流量时的费用,si代表第i点的可供量或需求量,当i为发点时,si0;当i为收点时,si0;当i为中转点时,si=0.当网络供需平衡时,将各发点物资调运到各收点（或从各发点按最大流量调运到各收点）,使总调运费用最小的问题，可归结为下述线性规划模型：

上页上页下页下页返回返回最小费用流问题最小费用流问题:

对网络G=（V,A,C）,给定一个单位流量的费用bij0,求G的一个可行流f=fij，使得流量W（f）=v,且总费用当f为最大流时,即是最小费用最大流问题上页上页下页下页返回返回对增广链对增广链,若调整流量若调整流量=1,那么新可行流那么新可行流f的费用比原可行流的费用比原可行流f的费用增加的费用增加:

此为增广链此为增广链的费用的费用.最小费用流的求解构造赋权有向图W（f）,定义:

上页上页下页下页返回返回在网络图中找最小费用增广链等价于在赋权图在网络图中找最小费用增广链等价于在赋权图W（f）中寻找中寻找从从到到的最短路的最短路,直至没有最小费用增广链为止直至没有最小费用增广链为止.若存在最小费用增广链若存在最小费用增广链,调整流量如下调整流量如下:

上页上页下页下页返回返回6.3十名研究生参加六门课程的考试.由于选修的课程不同,考试门数也不一样.表中给出了每个研究生应参加考试的课程（打号的）.规定考试应在三天内结束,每天上下午各安排一门.研究生们提出希望每人每天最多考一门,又课程A必须安排在第一天上午考,课程F安排在最后一门,课程B只能安排在下午考,试列出一张满足各方面要求的考试日程表.研究生研究生考试课程考试课程ABCDEF1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*习题六：

上页上页下页下页返回返回解:

把考试科目作为研究对象,用点表示:

如果两科目同一个人参加,在代表两项目的点之间连线.每个人不能参加两个科目的考试每个人不能参加两个科目的考试安排两点不相邻的点的顺序安排两点不相邻的点的顺序天天第一天第一天第二天第二天第三天第三天上午ACD下午EBF上页上页下页下页返回返回6.4分别用破圈法和避圈法求图中各个图的最小部分树.上页上页下页下页返回返回（a）解：

避圈法上页上页下页下页返回返回（a）解：

避圈法上页上页下页下页返回返回（a）解：

避圈法-权重17上页上页下页下页返回返回（a）解：

破圈法上页上页下页下页返回返回（a）解：

破圈法上页上页下页下页返回返回（a）解：

破圈法-权重17上页上页下页下页返回返回6.4分别用破圈法和避圈法求图中各个图的最小部分树.上页上页下页下页返回返回（c）解：

避圈法上页上页下页下页返回返回（c）解：

避圈法上页上页下页下页返回返回（c）解：

避圈法-权重18上页上页下页下页返回返回6.4分别用破圈法和避圈法求图中各个图的最小部分树.上页上页下页下页返回返回（c）解：

破圈法上页上页下页下页返回返回（c）解：

破圈法-权重18上页上页下页下页返回返回6.7用标号法求图中v1至各点的最短路.上页上页下页下页返回返回（a）解：

上页上页下页下页返回返回（a）解：

上页上页下页下页返回返回6.7用标号法求图中v1至各点的最短路.上页上页下页下页返回返回（b）解：

上页上页下页下页返回返回（b）解：

上页上页下页下页返回返回6.14设某公司在六个城市c1,c2,c6有分公司,从ci到cj的直达航线票价记在下面的矩阵的（i,j）位置上（表明无直达航线,需经其他城市中转）.请帮助该公司设计一张任意两城市间的票价最便宜的路线图.上页上页下页下页返回返回矩阵算法求解如下：

上页上页下页下页返回返回矩阵算法求解如下：

123456116215316415162261232424526335132343534644614243454655154253545466616264364645上页上页下页下页返回返回6.15用Ford-Fulkerson标号算法求图中所示各容量网络中从vs到vt的最大流,并标出各网络的最小割集.图中各弧旁的数字为容量cij,括弧中为流量fij.上页上页下页下页返回返回（b）解：

上页上页下页下页返回返回（b）解续：

最小割容量为14,即最大流为14.上页上页下页下页返回返回6.15用Ford-Fulkerson标号算法求图中所示各容量网络中从vs到vt的最大流,并标出各网络的最小割集.图中各弧旁的数字为容量cij,括弧中为流量fij.上页上页下页下页返回返回（d）解：

上页上页下页下页返回返回（d）解续：

最小割为（B,vt）,（F,D）,（E,D）容量为16,即最大流为16.上页上页下页下页返回返回6.17.某市政公司在