高届高级创新设计高考总复习数学人教A版第七章 第3节.docx

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高届高级创新设计高考总复习数学人教A版第七章第3节

第3节　直线、平面平行的判定及性质

考试要求　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

知识梳理

1.直线与平面平行

（1）直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面

a⊄α,b⊂α,

a∥b⇒a∥α

性质定理

一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α,a⊂β,

α∩β＝b⇒a∥b

2.平面与平面平行

（1）平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行

a⊂α,b⊂α,a∩b＝P,

a∥β,b∥β⇒α∥β

性质定理

两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β,a⊂α⇒a∥β

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行

α∥β,α∩γ＝a,

β∩γ＝b⇒a∥b

[微点提醒]

平行关系中的三个重要结论

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.

（2）平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

（3）两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.（　　）

（2）若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（　　）

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（　　）

（4）如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（　　）

解析　

（1）若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故

（1）错误.

（2）若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故

（2）错误.

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故（3）错误.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（必修2P61A1

（2）改编）下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是（　　）

A.直线a上有无数个点不在平面α内

B.直线a与平面α内的所有直线平行

C.直线a与平面α内无数条直线不相交

D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交

解析　因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.

答案　D

3.（必修2P61A1

（1）改编）下列命题中正确的是（　　）

A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面

B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α

解析　根据线面平行的判定与性质定理知,选D.

答案　D

4.（2018·长沙模拟）已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是（　　）

A.m∥α,n∥α,则m∥nB.m∥n,m∥α,则n∥α

C.m⊥α,m⊥β,则α∥βD.α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

解析　A中,m与n平行、相交或异面,A不正确；B中,n∥α或n⊂α,B不正确；根据线面垂直的性质,C正确；D中,α∥β或α与β相交,D错.

答案　C

5.（2019·济宁月考）若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一与a平行的直线

解析　当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.

答案　A

6.（2019·北京十八中开学考试）如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.

解析　∵平面ABFE∥平面DCGH,

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF,

平面EFGH∩平面DCGH＝HG,

∴EF∥HG.同理EH∥FG,

∴四边形EFGH是平行四边形.

答案　平行四边形

考点一　与线、面平行相关命题的判定

【例1】

（1）在空间中,a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是（　　）

A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b

B.若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则a⊥b

C.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b

D.若α∥β,a⊂α,则a∥β

（2）（2019·聊城模拟）下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是（　　）

解析　

（1）对于A,若a⊥c,b⊥c,则a与b可能平行、异面、相交,故A是假命题；

对于B,设α∩β＝m,若a,b均与m平行,则a∥b,故B是假命题；

对于C,a,b可能平行、异面、相交,故C是假命题；

对于D,若α∥β,a⊂α,则a与β没有公共点,则a∥β,故D是真命题.

（2）在B中,如图,连接MN,PN,

∵A,B,C为正方体所在棱的中点,

∴AB∥MN,AC∥PN,

∵MN∥DE,PN∥EF,

∴AB∥DE,AC∥EF,

∵AB∩AC＝A,DE∩EF＝E,

AB,AC⊂平面ABC,DE,EF⊂平面DEF,

∴平面ABC∥平面DEF.

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.

2.

（1）结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.

（2）特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.

【训练1】

（1）下列命题正确的是（　　）

A.若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行

B.若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行

C.若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行

（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP＝

BD1,则下面说法正确的是________（填序号）.

①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A,P,M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.

解析　

（1）A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项,如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等,但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.

（2）如图,对于①,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN,

易得AM,CN交于点P,即MN⊂平面APC,所以MN∥平面APC是错误的.

对于②,由①知M,N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,且AN⊂平面APC,C1Q⊄平面APC.

所以C1Q∥平面APC是正确的.

对于③,由①知,A,P,M三点共线是正确的.

对于④,由①知MN⊂平面APC,又MN⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.

答案　

（1）C　

（2）②③

考点二　直线与平面平行的判定与性质

多维探究

角度1　直线与平面平行的判定

【例2－1】（2019·东北三省四市模拟）在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA＝AB＝1.

（1）证明:

EF∥平面PDC；

（2）求点F到平面PDC的距离.

（1）证明　取PC的中点M,连接DM,MF,

∵M,F分别是PC,PB的中点,∴MF∥CB,MF＝

CB,

∵E为DA的中点,四边形ABCD为正方形,

∴DE∥CB,DE＝

CB,

∴MF∥DE,MF＝DE,∴四边形DEFM为平行四边形,

∴EF∥DM,∵EF⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,

∴EF∥平面PDC.

（2）解　∵EF∥平面PDC,

∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA,在Rt△PAD中,PA＝AD＝1,∴DP＝

.

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CB,∵CB⊥AB,PA∩AB＝A,∴CB⊥平面PAB,

∴CB⊥PB,则PC＝

∴PD2＋DC2＝PC2,

∴△PDC为直角三角形,

∴S△PDC＝

×1×

＝

.

连接EP,EC,易知VE－PDC＝VC－PDE,设E到平面PDC的距离为h,

∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA＝A,∴CD⊥平面PAD,

则

×h×

＝

×1×

×

×1,∴h＝

∴点F到平面PDC的距离为

.

角度2　直线与平面平行性质定理的应用

【例2－2】（2018·上饶模拟）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为2,E,F分别是棱DD1,C1D1的中点.

（1）求三棱锥B1－A1BE的体积；

（2）试判断直线B1F与平面A1BE是否平行,如果平行,请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线,并说明理由.

解　

（1）如图所示,VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝

S△A1B1B·DA＝

×

×2×2×2＝

.

（2）B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H,连BH交CD于点G,则BG就是所求直线.证明如下:

因为BA1∥平面CDD1C1,平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE,所以A1B∥GE.

又A1B∥CD1,所以GE∥CD1.

又E为DD1的中点,则G为CD的中点.

故BG∥B1F,BG就是所求直线.

规律方法　1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”；而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.

【训练2】（2017·江苏卷）如图,在三棱锥A－BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.

求证:

（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

证明　

（1）在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD,

则AB∥EF.

∵AB⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,

∴EF∥平面ABC.

（2）∵BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD＝BD,平面ABD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,

∴BC⊥平面ABD.

∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.

又AB⊥AD,BC,AB⊂平面ABC,BC∩AB＝B,

∴AD⊥平面ABC,

又因为AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.

考点三　面面平行的判定与性质　

典例迁移

【例3】（经典母题）如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:

（1）B,C,H,G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,

∴GH是△A1B1C1的中位线,则GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,

∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.

（2）∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,

∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,

∴EF∥平面BCHG.

又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,

∴A1G綉EB,

∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,

∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E,

∴平面EFA1∥平面BCHG.

【迁移探究1】在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:

平面A1BD1∥平面AC1D.

证明　如图所示,连接A1C交AC1于点M,

∵四边形A1ACC1是平行四边形,

∴M是A1C的中点,连接MD,

∵D为BC的中点,

∴A1B∥DM.

∵A1B⊂平面A1BD1,

DM⊄平面A1BD1,

∴DM∥平面A1BD1,

又由三棱柱的性质知,D1C1綉BD,

∴四边形BDC1D1为平行四边形,

∴DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,

∴DC1∥平面A1BD1,

又DC1∩DM＝D,DC1,DM⊂平面AC1D,

因此平面A1BD1∥平面AC1D.

【迁移探究2】在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求

的值.

解　连接A1B交AB1于O,连接OD1.

由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O,所以BC1∥D1O,则

＝

＝1.

又由题设

＝

∴

＝1,即

＝1.

规律方法　1.判定面面平行的主要方法

（1）利用面面平行的判定定理.

（2）线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）.

2.面面平行条件的应用

（1）两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.

（2）两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.

【训练3】（2019·南昌二模）如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB＝2CD＝2AD＝4,侧面PAB是等腰直角三角形,PA＝PB,平面PAB⊥平面ABCD,点E,F分别是棱AB,PB上的点,平面CEF∥平面PAD.

（1）确定点E,F的位置,并说明理由；

（2）求三棱锥F－DCE的体积.

解　

（1）因为平面CEF∥平面PAD,平面CEF∩平面ABCD＝CE,

平面PAD∩平面ABCD＝AD,

所以CE∥AD,又AB∥DC,

所以四边形AECD是平行四边形,

所以DC＝AE＝

AB,

即点E是AB的中点.

因为平面CEF∥平面PAD,平面CEF∩平面PAB＝EF,平面PAD∩平面PAB＝PA,

所以EF∥PA,又点E是AB的中点,

所以点F是PB的中点.

综上,E,F分别是AB,PB的中点.

（2）连接PE,由题意及

（1）知PA＝PB,AE＝EB,

所以PE⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD＝AB,

所以PE⊥平面ABCD.

又AB∥CD,AB⊥AD,

所以VF－DEC＝

VP－DEC＝

S△DEC×PE＝

×

×2×2×2＝

.

[思维升华]

1.转化思想:

三种平行关系之间的转化

其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化.

2.直线与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）面面平行的性质.

3.平面与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）推论；（4）a⊥α,a⊥β⇒α∥β.

[易错防范]

1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.

2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.

3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交.

4.运用性质定理,要遵从由“高维”到“低维”,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.

基础巩固题组

（建议用时:

40分钟）

一、选择题

1.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则（　　）

A.α内的所有直线与l异面

B.α内不存在与l平行的直线

C.α与直线l至少有两个公共点

D.α内的直线与l都相交

解析　因为l⊄α,直线l不平行于平面α,所以直线l只能与平面α相交,于是直线l与平面α只有一个公共点,所以平面α内不存在与l平行的直线.

答案　B

2.（2019·大连双基测试）已知直线l,m,平面α,β,γ,则下列条件能推出l∥m的是（　　）

A.l⊂α,m⊂β,α∥βB.α∥β,α∩γ＝l,β∩γ＝m

C.l∥α,m⊂αD.l⊂α,α∩β＝m

解析　选项A中,直线l,m也可能异面；选项B中,根据面面平行的性质定理,可推出l∥m,B正确；选项C中,直线l,m也可能异面；选项D中,直线l,m也可能相交.故选B.

答案　B

3.（2018·长郡中学质检）如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是（　　）

A.异面　　B.平行

C.相交　　D.以上均有可能

解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中,AB∥A1B1,

∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,

∴A1B1∥平面ABC,∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.

答案　B

4.（2018·重庆六校联考）设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是（　　）

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β

C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

解析　对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理,选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.

答案　D

5.（2019·青岛模拟）若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有（　　）

A.0条B.1条

C.2条D.1条或2条

解析　如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH.

∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,

∴EF∥平面BCD.

又∵EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD＝CD,

∴EF∥CD.

又EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH.

∴CD∥平面EFGH,

同理,AB∥平面EFGH,

所以与平面α（面EFGH）平行的棱有2条.

答案　C

二、填空题

6.（2018·杭州模拟）如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF＝________.

解析　根据题意,因为EF∥平面AB1C,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE＝DF＝1,故EF＝

.

答案　

7.如图,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB＝2,AC＝1,∠BAC＝60°,OA∶OA′＝3∶2,则△A′B′C′的面积为________.

解析　相交直线AA′,BB′所在平面和两平行平面α,β相交于AB,A′B′,所以AB∥A′B′.同理BC∥B′C′,CA∥C′A′.所以△ABC与△A′B′C′的三内角相等,所以△ABC∽△A′B′C′,

＝

＝

.S△ABC＝

×2×1×

＝

所以S△A′B′C′＝

×

＝

×

＝

.

答案　

8.（2019·郑州调研）设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:

①若m⊂α,n∥α,则m∥n；

②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ；

③若α∩β＝n,m∥n,m∥α,则m∥β；

④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.

其中是真命题的是________（填上正确命题的序号）.

解析　①m∥n或m,n异面,故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β,故③错误；④α∥β或α与β相交,故④错误.

答案　②

三、解答题

9.（2019·武汉模拟）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形,侧面PAB⊥平面ABCD,E是棱PA的中点.

（1）求证:

PC∥平面BDE；

（2）平面BDE分此棱锥为两部分,求这两部分的体积比.

（1）证明　在平行四边形ABCD中,连接AC,设AC,BD的交点为O,则O是AC的中点.

又E是PA的中点,连接EO,则EO是△PAC的中位线,所以PC∥EO,

又EO⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,所以PC∥平面EBD.

（2）解　设三棱锥E－ABD的体积为V1,高为h,四棱锥P－ABCD的体积为V,

则三棱锥E－ABD的体积V1＝

×S△ABD×h,

因为E是PA的中点,所以四棱锥P－ABCD的高为2h,

所以四棱锥P－ABCD的体积V＝

×S四边形ABCD×2h＝4×

S△ABD×h＝4V1,

所以（V－V1）∶V1＝3∶1,

所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.

10.如图,ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

证明　

（1）连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,

连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.

又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,

所以BE∥平面DMF.

（2）因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,

又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,

所以DE∥平面MNG.

又M为AB的中点,

所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,

又MN⊂平面MNG,BD⊄平面MNG,

所以BD∥平面MNG,

又DE,BD⊂平面BDE,DE∩BD＝D,

所以平面BDE∥平面MNG.

能力提升题组

（建议用时:

20分钟）

11.（2019·石家庄模拟）过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有（　　）

A.4条B.6条

C.8条D.12条

解析　如图,H,G,F,I是相应线段的中点,

故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中,

有FI,FG,GH,HI,HF,GI共6条直线.

答案　B

12.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是（　　）

A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行

B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行

C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线

D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

解析　A项,α,β可能相交,故错误；B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误；C项,若m⊂α,α∩β＝n,m∥n,则m∥β,故错误；D项,假设m,n