华师大版八年级下册第17章反比例函数和一次函数与矩形综合题专训含答案.docx
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华师大版八年级下册第17章反比例函数和一次函数与矩形综合题专训含答案
华师大版八年级下册第17章反比例函数和一次函数与矩形综合题专训
一、依据矩形的性质求解函数的解析式
试题1、(2016昆山市一模)如图,在以O为原点的直角坐标系中,矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=
(x>0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BD=3AD,且△ODE的面积是9,则k=( )
A.
B.
C.
D.12
【解答】解:
∵四边形OCBA是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,
设B点的坐标为(a,b),
∵BD=3AD,
∴D(
,b),
∵点D,E在反比例函数的图象上,
∴
=k,∴E(a,
),
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣
﹣
﹣
(b﹣
)=9,
∴k=
,
故选C.
试题2、(2016杭州校级模拟)如图,矩形OABC的顶点A在y轴上,C在x轴上,双曲线y=
与AB交于点D,与BC交于点E,DF⊥x轴于点F,EG⊥y轴于点G,交DF于点H.若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2,则k的值为( )
A.
B.
+1C.
D.2
【解答】解:
设D(t,
),
∵矩形OGHF的面积为1,DF⊥x轴于点F,
∴HF=
,
而EG⊥y轴于点G,
∴E点的纵坐标为
,
当y=
时,
=
,解得x=kt,
∴B(kt,
),
∵矩形HDBE的面积为2,
∴(kt﹣t)(
﹣
)=2,
整理得(k﹣1)2=2,
而k>0,
∴k=
+1.
故选B.
试题3、(2015重庆模拟)已知:
如图,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=2OC,直线y=x+b过点C,并且交对角线OB于点E,交x轴于点D,反比例函数
过点E且交AB于点M,交BC于点N,连接MN、OM、ON,若△OMN的面积是
,则a、b的值分别为( )
A.a=2,b=3B.a=3,b=2C.a=﹣2,b=3D.a=﹣3,b=2
【解答】解:
过点E作EH⊥AO,垂足为H,如图,
∵直线y=x+b与y轴交于点C,交x轴于点D,
∴点C(0,b),点D(﹣b,0).
∴OC=OD=b.
∵四边形OABC是矩形,OA=2OC,
∴BC=OA=2b,AB=OC=b,BC∥OA.
∴△BEC∽△OED.
∴
=
=2.
∴
=3.
∵EH⊥OA,∠COA=90°,
∴∠EHA=∠COA=90°.
∴EH∥OC.
∴△DOC∽△DHE.
∴
=
=
=3.
∴EH=
,DH=
.
∴OH=OD﹣DH=b﹣
=
.
∴点E的坐标为(﹣
,
).
∵点E在反比例函数
上,
∴﹣
×
=a.
∴2b2=﹣9a.
∵反比例函数
图象交AB于点M,交BC于点N,
∴点M的坐标为(﹣2b,
),点N的坐标为(
,b).
∴S△BMN=
BMBN
=
(b﹣
)[2b﹣(﹣
)]
=
×
×
=
=﹣
a.
∴S△OMN=S矩形OABC﹣S△AMO﹣S△OCN﹣S△BMN
=2b2﹣(﹣
)﹣(﹣
)﹣(﹣
a)
=﹣9a+a+
a
=﹣
a=
.
解得:
a=﹣2.
∴2b2=﹣9a=﹣9×(﹣2)=18.
∴b=±3.
∵b>0,
∴b=3.
故选:
C.
试题4、(2015春重庆校级期末)如图,在直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A坐标为(﹣1,0),顶点B的坐标为(0,﹣2),经过顶点C的双曲线y=
(k>0)与线段AD交于点E,且AE:
DE=2:
1,则k的值为( )
A.4B.6C.8D.12
【解答】解:
作EF⊥x轴于F,DM⊥x轴于M,CN⊥x轴于N,BQ⊥y轴交CN于Q,如图,
∵EF∥DM,
∴△AEF∽△ADM,
∴
=
,
∵AE:
DE=2:
1,
∴AE:
AD=2:
3,
∴
=
,设EF=2t,则DM=3t,
∵∠BAO=∠AEF,
∴Rt△AEF∽△BAO,
∴
=
,即
=
,解得AF=4t,
∴OF=4t﹣1,
∴E(4t﹣1,2t),
同样可得AM=6t,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC,
而∠CBQ=∠ABO=∠DAM,
在△ADM和△BCQ中,
,
∴△ADM≌△BCQ,
∴BQ=AM=6t,CQ=DM=3t,
∴ON=BQ=6t,CN=CQ﹣NQ=3t﹣2,
∴C(6t,3t﹣2),
∵点E(4t﹣1,2t)和点C(6t,3t﹣2)都在双曲线y=
(k>0)上,
∴(4t﹣1)2t=6t(3t﹣2),
整理得t2﹣t=0,解得t1=1,t2=0(舍去),
∴E(3,2),
∴k=3×2=6.
故选B.
试题5、(2015潮阳区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A在x轴上,顶点C在y轴上,D是BC的中点,过点D的反比例函数图象交AB于E点,连接DE.若OD=5,tan∠COD=
.
(1)求过点D的反比例函数的解析式;
(2)求△DBE的面积;
(3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形?
若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)∵四边形OABC是矩形,
∴BC=OA,AB=OC,
∵tan∠COD=
,
∴设OC=3x,CD=4x,
∴OD=5x=5,
∴x=1,
∴OC=3,CD=4,
∴D(4,3),
设过点D的反比例函数的解析式为:
y=
,
∴k=12,∴反比例函数的解析式为:
y=
;
(2)∵点D是BC的中点,
∴B(8,3),
∴BC=8,AB=3,
∵E点在过点D的反比例函数图象上,
∴E(8,
),
∴S△DBE=
BDBE=
=3;
(3)存在,
∵△OPD为直角三角形,
∴当∠OPD=90°时,PD⊥x轴于P,
∴OP=4,
∴P(4,0),
当∠ODP=90°时,
如图,过D作DH⊥x轴于H,
∴OD2=OHOP,
∴OP=
=
.
∴P(
,O),
∴存在点P使△OPD为直角三角形,
∴P(4,O),(
,O).
试题6、(2015武汉模拟)如图,已知:
直线y=﹣
x+1与坐标轴交于A,B两点,矩形ABCD对称中心为M,双曲线y=
(x>0)正好经过C,M两点,则k= 4 .
【解答】解:
在y=﹣
x+1中,令x=0,得y=1,令y=0,x=3,
∴A(3,0),B(0,1),
∴OA=3,OB=1,
过C作CE⊥y轴于E,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠CBA=90°,
∴∠CBE+∠OBA=∠OBA+∠BAO=90°,
∴∠CBE=∠BAO,
∵∠BEC=∠AOB=90°,
∴△BCE∽△ABO,
∴
=
,
设OC=x,则BE=3x,
∴C(x,3x+1),
∵矩形ABCD对称中心为M,
∴M(x+
,
),
∵双曲线y=
(x>0)正好经过C,M两点,
∴x(3x+1)=(x+
)(
),
解得:
x=1,
∴C(1,4),
∴k=1×4=4,
故答案为:
4.
二、依据函数的性质求解矩形的问题
试题1、(2015重庆校级二模)如图,点A在双曲线y=
上,点B在双曲线y=
上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为( )
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
过A点作AE⊥y轴,垂足为E,
∵点A在双曲线y=
上,
∴四边形AEOD的面积为1,
∵点B在双曲线y=
上,且AB∥x轴,
∴四边形BEOC的面积为3,
∴四边形ABCD为矩形,则它的面积为3﹣1=2.
故选:
B.
试题2、(2015湖北模拟)函数y=
和y=
在第一象限内的图象如图,点P是y=
的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=
的图象于点B.给出如下结论:
①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA=
AP.其中所有正确结论的序号是( )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
【解答】解:
∵A、B是反比函数y=
上的点,
∴S△OBD=S△OAC=
,故①正确;
当P的横纵坐标相等时PA=PB,故②错误;
∵P是y=
的图象上一动点,
∴S矩形PDOC=4,
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣
﹣
=3,故③正确;
连接OP,
=
=
=4,
∴AC=
PC,PA=
PC,
∴
=3,
∴AC=
AP;故④正确;
综上所述,正确的结论有①③④.
故选C.
试题3、(2015李沧区二模)函数y=
和y=
在第一象限内的图象如图所示,点P是y=
的一个动点,CO⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,PD、PC交y=
图象于点B,A.下列结论:
①△ODB与△OAC面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA=
PA.
其中正确的结论是( )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
【解答】解:
由反比例函数系数k的几何意义判断各结论:
①△ODB与△OCA的面积相等;正确,由于A、B在同一反比例函数图象上,则两三角形面积相等,都为
.
②PA与PB始终相等;错误,不一定,只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB.
③四边形PAOB的面积不会发生变化;正确,由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值,则四边形PAOB的面积不会发生变化.
④∵S△OPA:
S△OAC=
:
=3:
1,
∴(
PAOC):
(
ACOC)=3:
1,
∴PA:
AC=3,
∴CA=
PA;正确;
故一定正确的是①②④.
故选C.
三、利用函数图象求解动态矩形
试
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