完美版圆锥曲线知识点总结.docx

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完美版圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线的方程与性质

1.椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点FI、F2的距离的和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若M为椭圆上任意一点，则有∣MF1|∙∣MF2∣=2a。

一、、、χ2y2y2χ2、

椭圆的标准方程为：

22=1（ab0）（焦点在X轴上）或r2=1（ab0）（焦点在y轴

abab

上）。

注：

①以上方程中a,b的大小ab∙O,其中b2=a2-C2；

2222

②在x2•爲=1和爲x2=1两个方程中都有abO的条件，要分清焦点的位置，只要看X2和y2的分

abab

22

母的大小。

例如椭圆——=1（mO，n∙0,m=n）当m∙n时表示焦点在X轴上的椭圆；当m：

：

：

n时mn

表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

22

1范围：

由标准方程x2=1知IXNa，∣y亞b,说明椭圆位于直线X=「a，y=F所围成的矩形里；

ab

2对称性：

在曲线方程里，若以-y代替y方程不变，所以若点（x,y）在曲线上时，点（X,-y）也在曲线上，

所以曲线关于X轴对称，同理，以-x代替X方程不变，则曲线关于y轴对称。

若同时以-x代替X，-y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于X轴、y轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心

叫椭圆的中心；

3顶点：

确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与X轴、y轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令

X=0,得y,则BQ,-b），B2（O,b）是椭圆与y轴的两个交点。

同理令y=0得X-二a,即A（-a,0），

A2（a,0）是椭圆与X轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长

半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：

椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtAOB2F2中，∣0B2∣=b,OF2I=C,B2F2I=a,

且IOF2|2=|B2F2|2-IOB2|2,即C^a^b2；

C

④离心率：

椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率°∙∙∙ac0,∙∙.0：

；e：

：

：

1,且e越接近1,C就

a

越接近a,从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0,C就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。

当且仅当a=b时，C=O,两焦点重合，图形变为圆，方程为X2∙y2=a2。

2.双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|-|PF2II=2a）。

注意：

①式中是差的绝对值，在0：

：

：

2a：

：

：

〔F1F2I条件下；IPF1I-IPF2I=2a时为双曲线的一支；IPF2ITPF1p2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a=IF1F2I时，IIPF11-IPF21戶2a表示两条射线；③当2aIF1F21时，IIPRI-IPFzII=2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，IF1F2I叫做焦距。

（2）双曲线的性质

22

1范围：

从标准方程x2-笃-1,看出曲线在坐标系中的范围：

双曲线在两条直线X=a的外侧。

即

a2b2

22

X≥a，XKa即双曲线在两条直线x=±a的外侧。

22

2对称性：

双曲线x2-每=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点

ab

22是双曲线xy=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

ab

22

3顶点：

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线笃-笃=1的方程里，对称轴是x,y轴，所

ab

22

以令y=0得X=a,因此双曲线和X轴有两个交点A（-a,0）A2（a,0）,他们是双曲线x^岭=1的顶点。

ab

令X=O,没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：

双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：

线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：

线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

4渐近线：

注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从

22

图上看，双曲线笃-占-1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

ab

5等轴双曲线：

1）定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：

a=b；

2）等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

y=「x；

（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

22AA

3）注意到等轴双曲线的特征a=b，则等轴双曲线可以设为：

X-y=C-0）,当’■0时交点在X轴,当，：

：

：

0时焦点在y轴上。

χ2y2y2χ2

6注意1与1的区别：

三个量a,b,c中a,b不同（互换）C相同，还有焦点所在的坐标

169916

轴也变了。

3.抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线。

方程y=2pχP0叫做抛物线的标准方程。

注意：

它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上，焦点坐标是F（卫，0）,它的准线方程是X=-^-；

22

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：

y2=-2px,X2=2py,χ2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如

标准方程

y2=2px

（PR

y

y2=-2PX

（PM）

X2=

（P=y

=2Py

>0）

X2=-2Py

（PA。

）

图形

l

—t

≡θ—*x

Mr

V

l

F/

焦点坐标

（-,o）

2

P

（歩0）

P

（0,*）

2

P

（0二）

准线方程

X」

2

X」

2

T

V

范围

X王。

X≤0

y30

y≤0

对称性

X轴

X轴

y轴

y轴

顶点

（o,o）

（0,0）

（0,0）

（0,0）

离心率

e=1

e=1

e=1

e=1

说明：

（1）通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：

有一个顶

点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调P的几何意义：

是焦点到准线

的距离。

4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x,y）=O的

实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上

的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：

若曲线C的方程是f（x,y）=0,则点PG（Xo,y0）在曲线C上二f（xo,yO）=O;点PG（Xo,y0）不在曲线C上二f（xo,yo）≠0。

两条曲线的交点：

若曲线Ci,C2的方程分别为fι（x,y）=o,f2（x,y）=o,则点Po（xo,yo）是C，G的交点

U{fι（xo,yO）=O方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没

f2（xo,yo）二。

....222

2、方程：

⑴标准方程：

圆心在c（a,b）,半径为r的圆方程是（x-a）+（y-b）=r

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是χ2+y2=r2

⑵一般方程：

①当D2+E2-4F>0时，一元二次方程χ2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为_—）半径

22

IIDE22

是DE-4F。

配方，将方程χ2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x+）2+（y+）2=DE-4F

2224

2当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D,-—）；

22

3当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（xo,yo）,则丨MClVr=点M在圆C内，丨

MCI=r=点M在圆C上，∣MCl>r：

=点M在圆C内，其中∣MC∣=（x0-a）2（y0-b）2。

（4）直线和圆的位置关系：

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：

直线与圆相交有两个公共点；直

线与圆相切二有一个公共点；直线与圆相离二没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：

（i）判别式法；（ii）利用圆心C（a,b）到直线AX+Bv+C=0的距离K—B^C

√λ2+B2

与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,O）的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e（e

>0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,O）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。

当0

Vev1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1.到两定点Fl,F2的距离之和为定值2a（2a>∣F1F2∣）的点的轨迹

2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.

（0

1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<2a<∣F1F2∣）

的点的轨迹

2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等的点的轨迹•

轨迹条件

点集：

（{MI

=2a,IF

IMF+IMFI1F2IV2a}.

点集：

{MI

=±2a,

MFI-IMFI.

F2F2I>2a}.

点集｛MI

线

IMF1=点M至悄

I的距离｝.

图形

W

IJr■

M

X

7

1

k

—

方程

标准

方程

22

XV

P+—=1（aab>Q）ab

22

XV

2∖=1（a>Q,b>Q）

ab

y2=2px

参数

方程

∖=acos日

[y=bsinθ

（参数日为离心角）

「x=asecθ

Cly=btan日（参数日为离心角）

"一2巴（t为参数）

J=2pt

范围

—a≤x≤a,-b今切

|x|≥a,yER

xXQ

中心

原点0（Q,Q）

原点O（Q,Q）

顶点

（a,Q）,（—a,Q）,

（Q,b）,（Q,—b）

（a,Q）,（—a,Q）

（Q,Q）

对称轴

X轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

X轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.

X轴

焦占

八'、八\、

Fι（c,Q）,F2（—c,Q）

Fι（c,Q）,F2（—c,Q）

F&0）

准线

2

亠aX=±—

C

准线垂直于长轴，且在椭圆

外•

2

亠aX=±—

C

准线垂直于实轴，且在两顶点的

内侧•

X=-卫

2

准线与焦点位于顶点两侧，

且到顶点的距离相等•

焦距

2c（c=Ja2_b2）

/22

2c（c=Ta+b）

离心率

e=C（Oeecl）

a

e=£（e>1）

a

e=1

【备注1】双曲线:

⑶等轴双曲线：

双曲线χ2-y2=a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=*,离心率e=$2.

2

y2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:

a~b2

22

L丄=Q.a2b2

222

⑸共渐近线的双曲线系方程：

务-义r-Q）的渐近线方程为--

2,2'’2aba

2

話=0如果双曲线的渐近线为

汁0时，

⑷共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线

与焦点F的距离MF

到准线的距离为p.

叫做焦半径）.

五、坐标的变换:

（1）坐标变换：

在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施

坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程

（2）坐标轴的平移：

坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平

（3）坐标轴的平移公式：

设平面内任意-

中的坐标是（XIy）.设新坐标系的原点

点M,它在原坐标系XQy中的坐标是（x,y）,在新坐标系

0'在原坐标系XQy中的坐标是（h,k）,则

X"h

或

y=y，k

X'Q'y

X’=X「h

y=y_k

移，简称移轴。

叫做平移（或移轴）公式•

（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表:

方程

焦占

八\、八、、

焦线

对称轴

椭圆

（x-h）2I（y-k）2

a2b2

（±c+h,k）

2

丄a「

X=±—+h

G

x=h

y=k

（x-h）2ι（y-k）2Ib2+a2=1

（h,±c+k）

2

aIy=±—+k

G

x=h

y=k

双曲线

22

（x-h）-（y-k）=1

（±c+h,k）

2

丄aI

X=±—+k

C

x=h

y=k

2.2ab

（y-k）2（x-h）2=1

2.2I

ab

（h,±c+h）

2

aIy=±—+k

C

x=h

y=k

抛物线

2

（y-k）=2p（x-h）

（-+h,k）

2

x=-—+h

2

y=k

2

（y-k）=-2p（x-h）

（--+h,k）

2

X=-P+h

2

y=k

（x-h）2=2p（y-k）

（h,卫+k）

2

y=-—+k

2

x=h

2

（x-h）=-2p（y-k）

（h,-卫+k）

2

y=-p+k

2

x=h

六、椭圆的常用结论:

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点•

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切

22

5.若Po（xo,yo）在椭圆y∑=1上，则过P）的椭圆的切线方程是^x°X^y°2y=1.

abab

22

6.若Po（xo,y°）在椭圆xy=1外，则过P）作椭圆的两条切线切点为P、则切点弦PR的直线方程是

ab

2I2

ab

22

7.椭圆x^=1（a>b>0）的左右焦点分别为Fi,F2,点P为椭圆上任意一点∙FiPF^,则椭圆的焦点

ab

2Y

角形的面积为S∙FPF2=b2tan—.

22

8.椭圆律計1（a>b>。

）的焦半径公式

IMFIFaeX0,IMF?

Fa-ex0（F1（-c,0）,F2（c,O）M（x°,y°））.

3、若P为椭圆

2

X——+

2a

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点

F的椭圆准线于MN两点，贝UMFLNF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点MAaP和AQ

交于点N,贝UMFLNF.

【推论】：

2

∙y2-1（a>b>0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,.PFιF2=-,PF2F^'■,

b

a-CTLl''

贝UtanCQt—.

aC22

22

Xy

4、设椭圆—+2r=1（a>b>0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PFF2中，记

ab

F1PF2「，PF1F2八，F1F2P=,则有Snc=e∙

SinP十Sin『a

22_

5、若椭圆令y^=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0Ve≤-2-1时，可在椭圆上

ab

求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF>的比例中项.

X2y2

6、P为椭圆—2-1（a>b>0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝U

2a-1AF2I_|PAl■|PF1匡2a■|AF11,当且仅当A,F21P三点共线时，等号成立

22222

AaBb_（AxoBy。

C）.

则四

IMN|

22

XV

12、设A、B是椭圆—2=1（a>b>O）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB

ab

2a2b2

tan：

tan-一1-e2.（3）SPAB22cot

x2

13、已知椭圆—2

a2b2

J=1（a>b>0）的右准线I与X轴相交于点

E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于

A、

的中点∙

则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直

b-a

B两点，点C在右准线I上，且BC_X轴，则直线AC经过线段EF

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直

16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注：

在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点•）

17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项•

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PFF2在点P处的内角•

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点•

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交•

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切•（内切：

P在右支；外切：

P在左支）

P1P2的直线方程是笃χ-I⅛y=1.

ab

22

7、双曲线务…占=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点ZF1PF^，则双曲ab

2Y线的焦点角形的面积为SFPF=b2cot—•

22

XV

&双曲线-2=1（a>0,b>0）的焦半径公式：

（Fd-c,0）,F2（c,0））当M（XO）V。

）在右支上时,

ab

|MF11=eX0a,|MF?

∣=ex°-a；当M（x°,V。

）在左支上时，∣MFj=-eX0a,|MF?

I=-e^-a。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点，贝UMF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点MAP和AQ交于点N,贝UMF⊥NF.

22

XV

11、AB是双曲线—2=1（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦,

ab

即KAB卑

22

XV

13、若Po（Xo,Vo）在双曲线—2=1（a>0,b>0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

2

X

2

a

V2XoX

b2

a2

VoV

b2

aV0

【推论】：

22

XV

1、双曲线—2=I（a>0,b>0）的两个顶点为AI（-a,0）,A2（a1O）,与y轴平行的直线交双曲线于Pi、P2时

ab

22

AiPi与AP2交点的轨迹方程是Xy-y2≡1.

ab

22

2、过双曲线

XV

—2=1（a>0,b>0）上任一点A（XOly0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,

ab

U）|OP|2|OQ|2

22

4ab

1i224ab

22；

（2）|OP|+|OQ|的最小值为；（3）SOPQ的最小值是22

abb-ab-a

a2b2

22

6、P为双曲线于古「（a>0,b>O）上任一点,Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

|AF21-2a<|PAl'|PFi|,当且仅当代F?

P三点共线且P和A,F?

在y轴同侧时，等号成立•

2

7、双曲线*-計1（a>0,b>O）与直线AXBy^O有公共点的充要条件是Ab-B2ZC2.

9、过双曲线

22

Xy一

1（a>0,b>0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN勺垂直平分线交

X轴于P,贝y-LPFl

IMN|

22

11、设P点是双曲线笃-占-1（a>0,b>0）上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记.F1PF?

=",则

ab

⑴∣PF1∣∣PF2∣=^b-.⑵SPFIF^b2cot-.

①ay2byC=X顶点（4ac~b—）.

4a2a

px（p≠0）则焦