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《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案
第1章线性规划(复习思考题)
1.什么是线性规划?
线性规划的三要素是什么?
答:
线性规划(LinearProgramming,LP)是运筹学中最成熟的一个分支,并且是
应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划,是一种重要的优化
工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素:
决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决
策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条
件的限制,保障决策方案的可行性;目标函数是决策者希望实现的目标,为决策变量的
线性函数表达式,有的目标要实现极大值,有的则要求极小值。
2.求解线性规划问题时可能出现几种结果,哪种结果说明建模时有错误?
答:
(1)唯一最优解:
只有一个最优点;
(2)多重最优解:
无穷多个最优解;
(3)无界解:
可行域无界,目标值无限增大;
(4)没有可行解:
线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时,可能是建模时有错。
3.什么是线性规划的标准型?
松弛变量和剩余变量的管理含义是什么?
答:
线性规划的标准型是:
目标函数极大化,约束条件为等式,右端常数项bi0,
决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力,对企业来说不是紧缺资源,所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话,则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答:
可行解:
满足约束条件AXb,X0的解,称为可行解。
基可行解:
满足非负性约束的基解,称为基可行解。
可行基:
对应于基可行解的基,称为可行基。
最优解:
使目标函数最优的可行解,称为最优解。
最优基:
最优解对应的基矩阵,称为最优基。
它们的相互关系如右图所示:
5.用表格单纯形法求解如下线性规划。
maxZ
4x1
x2
2x3
8x1
3x2
x3
2
.
6x1
x2
x3
8
x1,x2,x3
0
解:
标准化
maxZ
4x1
x2
2x3
8x1
3x2
x3
x4
2
.
6x1x2
x3
x5
8
x1,x2,x3,x4,x5
0
列出单纯形表
cj
4
1
2
0
0
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
2
[8]
3
1
1
0
2/8
0
8
6
1
1
0
1
8/6
j
4
1
2
0
0
4
x1
1/4
1
3/8
[1/8]
1/8
0
(1/4)/(1/8)
0
13/2
6
-5/4
1/4
-3/4
1
(13/2)/(1/4)
j
0
-1/2
3/2
-1/2
0
2
x3
2
8
3
1
1
0
0
6
-2
-2
0
-1
1
j
-12
-5
0
-2
0
故最优解为X*
(0,0,2,0,6)T,即x1
0,x2
0,x3
2,此时最优值为Z(X*)4.
6.表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表,问表中
a1,a2,c1,c2,d为何值及变
量属于哪一类型时有:
(1)表中解为唯一最优解;
(2)表中解为无穷多最优解之一;(3)
下一步迭代将以x1代替基变量x5;(4)该线性规划问题具有无界解;(5)该线性规划问
题无可行解。
表1—15某极大化问题的单纯形表
cj
c1
c2
0
0
0
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
d
4
a1
1
0
0
0
x4
2
-1
-5
0
1
0
0
x5
3
a2
-3
0
0
1
j
c1
c2
0
0
0
解:
(1)d0,c10,c2
0;
(2)d
0,c1
0,c2
0(c1,c2中至少有一个为零);
(3)c1
0,a2
0,d
3;
4
a2
(4)c20,a1
0;
(5)x1为人工变量,且c1为包含M的大于零的数,d
3;或者x2为人工变量,
4
a2
且c2为包含M的大于零的数,a10,d
0.
7.用大M法求解如下线性规划。
maxZ5x13x26x3
.
x12x2x318
2x1x23x316
x1x2x310
x1,x2,x30
解:
加入人工变量,进行人造基后的数学模型如下:
maxZ
5x1
3x2
6x3
0x40x5Mx6
x1
2x
2
x3
x4
18
2x1
x2
3x3
x5
16
.
x2
x3
x6
10
x1
xi
0
(i1,2,
6)
列出单纯形表
cj
5
3
6
0
0
-M
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
18
1
2
1
1
0
0
18/1
0
16
2
1
[3]
0
1
0
16/3
-M
x6
10
1
1
1
0
0
1
10/1
j
5+M
3+M
6+M
0
0
0
0
x4
38/3
1/3
5/3
0
1
-1/3
0
38/5
6
x3
16/3
2/3
1/3
1
0
1/3
0
16
-M
x6
14/3
1/3
[2/3]
0
0
-1/3
1
14/2
1
2
0
0
1
0
j
1M
1M
2M
3
3
3
0
x4
1
-1/2
0
0
1
1/2
-5/2
-
6
x3
3
[1/2]
0
1
0
1/2
-1/2
6
3
x2
7
1/2
1
0
0
-1/2
3/2
14
1/2
0
0
0
-3/2
3
j
M
2
0
x4
4
0
0
1
1
1
-3
5
x1
6
1
0
2
0
1
-1
3
x2
4
0
1
-1
0
-1
2
j
0
0
-1
0
-2
-1-M
故最优解为
X*
(6,4,0,4,0,0)T
,即x1
6,x2
4,x3
0,此时最优值为
Z(X*)
42.
8.A,B,C三个城市每年需分别供应电力
320,250和
350单位,由
I,II
两个电
站提供,它们的最大可供电量分别为400单位和450单位,单位费用如表1—16所示。
由于需要量大于可供量,决定城市A的供应量可减少0~30单位,城市B的供应量不变,城市C的供应量不能少于270单位。
试建立线性规划模型,求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
表1—16单位电力输电费(单位:
元)
电站
城市
A
B
C
I
15
18
22
II
21
25
16
解:
设xij为“第i电站向第j城市分配的电量”(i=1,2;
j=1,2,3),建立模型如下:
maxZ
15x1118x12
22x13
21x2125x2216x23
x11x12x13400
x21x22x23450
x11
x21
290
x11
x21
320
.
x22
250
x12
x13
x23
270
x13
x23
350
xij
0,i1,2;j1,2,3
9.某公司在3年的计划期内,有
4个建设项目可以投资:
项目
I
从第一年到第三
年年初都可以投资。
预计每年年初投资,年末可收回本利
120%,每年又可以重新将所获
本利纳入投资计划;项目
II需要在第一年初投资,经过两年可收回本利
150%,又可以
重新将所获本利纳入投资计划,但用于该项目的最大投资不得超过
20
万元;项目III
需要在第二年年初投资,经过两年可收回本利
160%,但用于该项目的最大投资不得超过
15万元;项目IV需要在第三年年初投资,年末可收回本利
140%,但用于该项目的最大
投资不得超过10万元。
在这个计划期内,该公司第一年可供投资的资金有
30万元。
问
怎样的投资方案,才能使该公司在这个计划期获得最大利润?
解:
设xi
(1)表示第一次投资项目
i,设xi
(2)
表示第二次投资项目
i,设xi(3)表示第三
次投资项目i,(i=1,2,3,4),则建立的线性规划模型为
maxZ
1.2x1(3)
1.6x3
(1)
1.4x4
(1)
x1
(1)
x2
(1)
30
x1
(2)
x3
(1)
1.2x1
(1)
30x1
(1)
x2
(1)
x1(3)
x4
(1)
1.2x1
(2)
1.5x2
(1)
1.2x1
(1)
30x1
(1)
x2
(1)
x1
(2)
x3
(1)
.
x2
(1)
20
x3
(1)
15
x4
(1)
10
xi
(1),xi
(2),xi(3)0,i1,2,3,4
通过LINGO软件计算得:
x
(1)
10,x
(1)
20,x
(1)
0,x
(2)
12,x
(2)
44.
1
2
3
1
1
10.某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、
上漆几道重要工序。
每种家具的每道工序所用的、每道工序的可用、每种家具的利由表1—17出。
工厂如何安排生,使利最大?
表1—17家具生工耗和利表
所需(小)每道工序可用
生工序
1
2
3
4
5
(小)
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利(百元)
3
3
解:
xi表示第i种格的家具的生量(i=1,2,⋯,5),
maxZ
2.7x1
3x2
4.5x3
2.5x4
3x5
3x1
4x2
6x3
2x4
3x5
3600
4x1
3x2
5x3
6x4
4x5
3950
.
3x2
3x3
4x4
3x5
2800
2x1
xi
0,i
1,2,
5
通LINGO件算得:
x1
0,x2
38,x3
254,x40,x5642,Z3181.
11.某厂生甲、乙、丙三种品,分A,B,C三种加工。
已知生
位品所需的台数、的有加工能力及每件品的利如表2—10所示。
表1—18品生工消耗系数
甲
乙
丙
能力
A(小)
1
1
1
100
B(小)
10
4
5
600
C(小)
2
2
6
300
位品利(元)
10
6
4
(1)建立性划模型,求厂利最大的生划。
(2)品丙每件的利增加到多大才得安排生?
如品丙每件的利增加
到6,求最生划。
(3)品甲的利在多大范内化,原最划保持不?
(4)A
的能力如
q,确定保持原最基不的
q的化范。
100+10
(5)如合同定厂至少生10件品丙,确定最划的化。
解:
(1)x1,x2,x3分表示甲、乙、丙品的生量,建立性划模型
maxZ10x16x24x3
.
标准化得
x1x2x3100
10x14x25x3600
2x12x26x3300
x1,x2,x30
maxZ
10x1
6x2
4x3
0x4
0x5
0x6
x1
x2
x3
x4
100
10x1
4x2
5x3
x5
600
.
2x2
6x3
x6
300
2x1
x1,x2,x3,x4,x5,x6
0
列出单纯形表
cj
10
6
4
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
i
0
x4
100
1
1
1
1
0
0
100
0
600
[10]
4
5
0
1
0
60
0
x6
300
2
2
6
0
0
1
150
j
10
6
4
0
0
0
0
x4
40
0
[3/5]
1/2
1
-
0
200/3
1/10
10
x1
60
1
2/5
1/2
0
1/10
0
150
0
x6
180
0
6/5
5
0
-1/5
1
150
j
0
2
-1
0
-1
0
6
x2
200/3
0
1
5/6
5/3
-1/6
0
10
x1
100/3
1
0
1/6
-2/3
1/6
0
0
x6
100
0
0
4
-2
0
1
0
0
-
-10/3
-2/3
0
j
8/3
故最优解为x1
100/3,x2200/3,x3
0,又由于x1,x2,x3取整数,故四舍五入可得
最优解为x1
33,x2
67,x3
0,
Zmax
732.
(2)产品丙的利润
c3变化的单纯形法迭代表如下:
cj
10
6
c3
0
0
0
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
6
x2
200/3
0
1
5/6
5/3
-1/6
0
10
x1
100/3
1
0
1/6
-2/3
1/6
0
0
x6
100
0
0
4
-2
0
1
0
0
c3-
-10/3
-2/3
0
j
20/3
要使原最优计划保持不变,只要3
20
0,即c3
2
.故当产品丙每
c3
66.67
3
3
件的利润增加到大于时,才值得安排生产。
如产品丙每件的利润增加到6时,此时6<,故原最优计划不变。
(3)由最末单纯形表计算出
1
2
1
,
31
6c10,4
10
3c1
0,51
6c1
0
解得6
c1
15,即当产品甲的利润c1在[6,15]范围内变化时,原最优计划保持不变。
5/3
1/6
0
(4)由最末单纯形表找出最优基的逆为
B1
2/3
1/6
0
,新的最优解为
2
0
1
5/3
1/6
0
100
10q
1
200
50q
XB
B1b
2/3
1/6
0
600
100
20q0
2
0
1
300
3
3(100
20q)
解得4q
5,故要保持原最优基不变的
q的变化范围为
[
4,5].
(5)如合同规定该厂至少生产10件产品丙,则线性规划模型变成
maxZ10x16x24x3
x1x2x3100
10x14x25x3600
.2x12x26x3300
x310
x1,x2,x30
通过LINGO软件计算得到:
x132,x258,x310,Z708.
第2章对偶规划(复习思考题)
1.对偶问题和对偶向量(即影子价值)的经济意义是什么?
答:
原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题,前者从产品产量的角度来
考察利润,后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润,即利润是产品
生产带来的,同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值,称为影子价值。
可以把对偶问题的解
Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2.什么是资源的影子价格?
它与相应的市场价格有什么区别?
答:
若以产值为目标,则yi是增加单位资源i对产值的贡献,称为资源的影子价格
(ShadowPrice)。
即有“影子价格=资源成本+影子利润”。
因为它并不是资源的实际价格,而是企业内部资源的配比价格,是由企业内部资源的配置状况来决定的,并不是由市场来决定,所以叫影子价格。
可以将资源的市场价格与影子价格进行比较,当市场价格小于影子价格时,企业可以购进相应资源,储备或者投入生产;当市场价格大于影子价格时,企业可以考虑暂不购进资源,减少不必要的损失。
3.如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系,找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系?
答:
(1)最优性定理:
设X,Y分别为原问题和对偶问题的可行解,且CXbTY,
则X,Y分别为各自的最优解。
(2)对偶性定理:
若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,而且两者的目
标函数值相等。
(3)互补松弛性:
原问题和对偶问题的松弛变量为
XS和YS,它们的可行解
X*,Y*
为最优解的充分必要条件是
Y*XS
0,YSX*
0.
(4)对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中,初始基变量的检验数的负
值。
若YS对应于原问题决策变量x的检验数,则Y对应于原问题松弛变量xS的检验
数。
4.已知线性规划问题
maxZ4x1x22x3
8x13x2x32(第一种资源)
.6x1x2x38(第二种资源)
x1,x2,x30
(1)求出该问题产值最大的最优解和最优值。
(2)求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
(3)给出两种资源的影子价格,并说明其经济含义;第一种资源限量由
2变为4,
最优解是否改变?
(4)代加工产品丁,每单位产品需消耗第一种资源2单位,消耗第二种资源3单
位,应该如何定价?
解:
(1)标准化,并列出初始单纯形表
cj
4
1
2
0
0
i
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
2
[8]
3
1
1
0
2/8
0
8
6
1
1
0
1
8/6
- 配套讲稿:
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