最新《材料力学》第6章简单超静定问题习题解.docx
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最新《材料力学》第6章简单超静定问题习题解
第六章简单超静定问题
习题解
[习题6-1]试作图示等直杆地轴力图
解:
把B支座去掉,代之以约束反力
RB(↓);设
2F作用点为
C,
F作用点为
D,则:
NBD
RB
NCD
RBF
NAC
RB3F
变形谐调条件为:
l0
NAC
EA
a
NCD
2a
N
a
BD
0
EA
EA
NAC
2NCD
NBD
0
RB
2(RBF)
RB
3F
0
5F
4
RB
(实际方向与假设方向相反,即:
↑)
5F
4
5F
4
5F
4
故:
N
BD
F
4
7F
4
N
F
CD
N
3F
AC
轴力图如图所示;
4
x(a)
3
2
1
N(F/4)
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
轴力图
2
3
4
5
6
7
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第1页,共27页
F
10kN,1,2,3各杆由同一种材料制成,其横截面面积
[习题6-2]
图示支架承受荷载
200mm2;试求各杆地轴力;
2
2
分别为
A
A1
100mm,A2
150mm,
3
解:
以节点
A为研究对象,其受力图如图所示;
X
0
0
0
N2
N3cos30
N1cos30
0
2N2
3N3
3N1
0
2N2
3N3
3N1
0
(1)
Y
0
Nsin300
sin300
N
F
0
3
1
N3
N1
20
(2)
变形谐调条件:
设A节点地水平位移为
x,竖向位移为
,则由变形协调图(
b)可知:
y
0
0
l1
sin30
cos30
y
x
l2
x
0
0
l3
sin30
cos30
y
x
0
l1
l3
2
cos30
x
l1
l3
3l2
3
2
设l1
l3
l
,则l2
l
3
2
N2
l
N3l
EA3
N1l
EA1
3
EA2
N1
A1
N3
A3
3N2
2A2
N1
100
N3
200
3N2
150
2
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第2页,共27页
2N1
N3
2N2
N3
2N1
2N2
(3)
N1
8.45kN
(1)、
(2)、(3)联立解得:
;N2
2.68kN;N1
11.54kN(方向如
N1
11.54kN
图所示,为压力,故应写作:
);
[习题
6-3]一刚性板由四根支柱支撑,四根支柱地长度与截面都相同,如图所示;如果荷
载F作用在A点,试求这四根支柱各受多少力;
解:
以刚性板为研究对象,则四根柱子对它对作用
力均铅垂向上;分别用
N1,N2,N3,N4表示;
由其平衡条件可列三个方程:
Z
0
N1N2
N3
N4
F
0
N1N2
N3
N4
F
(1)
M
0
x
2
2
2
2
N2
a
N4
a
0
N2
N4
(2)
M
0
y
2
2
2
2
N1
a
Fe
N3
a
0
2Fe
a
N1
N3
(3)
由变形协调条件建立补充方程
N1l
EA
N3l
EA
2N2
EA
(4)
N1
N3
2N2;;;;;;;;;;
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第3页,共27页
(1)、
(2)、(
3)、(4)联立,解得:
F
4
N2
N4
1
4
e
2a
N1
(
)F
(1
4
e
2a
N
)F
3
[习题6-4]刚性杆AB地左端铰支,两根长度相等、横截面面积相同地钢杆
CD与EF使该刚
2
1000mm,
F
50kN,两根钢杆地横截面面积
性杆处于水平位置,如所示;如已知
试求两杆地轴力与应力;
A
解:
以AB杆为研究对象,则:
M
0
A
N1
a
N22a
50
3a
0
N1
2N2150
(1)
变形协调条件:
l2
2
l1
N2l
EA
2N1l
EA
N2
2N1
(2)
(1)、
(2)联立,解得:
N1
30kN
N2
60kN
N1
A
30000N
30MPa
1
2
1000mm
N2
A
60000N
60MPa
2
2
1000mm
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第4页,共27页
[习题6-5]图示刚性梁受均布荷载作用,
支承;已知钢杆BD与CE地横截面面积
梁在A端铰支,在B点与C点由两根钢杆
BD与
CE
2
2
A2
200mm与A1
400mm,钢杆地许用应力
[
]
170MPa,试校核该钢杆地强度;
解:
以AB杆为研究对象,则:
M
0
A
3
2
N1
1
N2
3(30
3)
0
N1
3N2
135
(1)
变形协调条件:
l1
l2
1
3
l2
3
l1
N2
1.8l
N1l
EA1
3
EA2
N21.8
200
3N1
400
N1
1.2N2
(2)
(1)、
(2)联立,解得:
N1
38.571kN
(压);
N2
32.143kN
(拉)
N1
38.571kN
故可记作:
;N2
32.143kN
强度校核:
N1
A
38571N
400mm2
96.4275MPa
170MPa
|
|
|
|
[
]
,符合强度条件;
1
1
N2
A1
32143N
160.715MPa
170MPa
[
]
,符合强度条件;
2
2
200mm
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第5页,共27页
[习题6-6]试求图示结构地许可荷载
[F];已知杆
AD,CE,BF地横截面面积均为
A,杆材料
地许用应力为[
],梁AB可视为刚体;
解:
以AB杆为研究对象,则:
Y
0
N1
N2
N3
F
0
N1
N2
N3
F
(1)
M
0
A
N2
2a
N3
a
F
a
0
2N2
N3
F
(2)
变形协调条件:
2
l3
l1
l2
2N3
EA
2l
N1l
EA
N2l
EA
4N3
N1
N2
.(3)
联立,解得:
(1)
(2)(3)
2F
5
F
5
N
N
N
;
1
2
3
强度条件:
2F
5A
[]
1
2
5A[
2
]
]A
F
2.5[
F
5A
[]
3
F
5A[
]
故:
[F]
2.5[
]A
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第6页,共27页
250mm
250mm地短木柱,用四根
40mm
40mm
5mm地等边
[习题6-7]横截面积为
角钢加固,并承受压力
160MPa
F,如图所示;已知角钢地许用应力
[
]s
Ew
,弹性模量
Es
200GPa;木材地许用应力[
]w
12MPa
10GPa
,弹性模量
;试求短木柱地
许可荷载[F];
解:
(1)木柱与角钢地轴力由盖板地静力平衡条件:
(1)
由木柱与角钢间地变形相容条件,有
(
2)
由物理关系:
(3)
式(3)代入式
(2),得
(4)
解得:
代入式
(1),得:
(2)许可载荷
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第7页,共27页
由角钢强度条件
由木柱强度条件:
故许可载荷为:
[习题6-8]水平刚性横梁
AB上部由于某
1杆与2杆悬挂,下部由铰支座
C支承,如图所示;
1.5mm;已知两杆地材料与横截面面积均相同,且
A;试求装配后两杆地应力;
由于制造误差,杆
1与长度短了
E1
E2
200GPa,A1
A2
解:
以AB梁为研究对象,则:
MC
0
0
N1
2
N2sin45
1
0
2
4
N1
N2
(1)
变形协调条件:
l1
AA1
2
2
l
BB
2
1
AA1
BB1
2
1
l1
l2
2
l1
2
2
l2
Nl
N
2l
1
EA
2
EA
2
2
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第8页,共27页
N1l
EA
4N2l
EA
...
(2)
(1)、
(2)
联立,解得:
2EA
4EA
N
;
N
1
2
(
2
16)l
(
2
16)l
3
2E
2
20010MPa
1.5mm
16.242MPa
1
(
2
16)l
(
2
16)
1500mm
3
4E
2
4
200
10MPa
1.5mm
45.939MPa
2
(
16)l
(
2
16)
1500mm
1mm;已知上、下两段杆地
210GPa;试作图示荷载作
[习题6-9]
图示阶梯状杆,其上端固定,下端与支座距离
22
600mm与300mm,材料地弹性模量
横截面面积分别为
用下杆地轴力图;
E
解:
设装配后,支座
B地反力为
RB
(↓),则:
NBC
RB
NCD
RB
40
(D为
60kN集中力地作用点)
NAD
RB
100
变形协调条件:
n
li
i1
RBkN1.2m
(RB40)2.4
(RB100)1.2
3
1
10
m
6
2
6
2
6
6
6
6
210
10kN/m
300
10m
210
10
600
10
21010
600
10
2.4RB
2.4RB
96
1.2RB
120
126
6RB
90
RB
15(kN);故:
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第9页,共27页
NBC
15kN
NCD
25kN
NAD
85kN
;
;
;轴力图如下图所示;
4.8
x(m)
4
3.2
2.4
1.6
0.8
N(kN)
0
-1
5
-1
0
-5
0
5
10
1520
25303540
45
50
55606570
758085
轴力图
[习题6-10]两端固定地阶梯状杆如图所示;已知
AC段与
BD段地横截面面积为
A,CD段地
106(0C)
1
E
210GPa,线膨胀系数
横截面面积为
2A;杆地弹性模量为
12
;试求
l
300C后,该杆各部分产生地应力;
当温度升高
解:
变形协调条件:
l0
lN
lt
0
2Na
EA
N2a
E(2A)
t
4a
0
l
3Na
EA
t
4a
0
l
3N
EA
t4
0
l
4
3
4
3
106(c0)
1
300C
106kN/m2
Am2
N
tEA
12
210
100800A(kN)
l
N
A
kPa
MPa
100800(
)
100.8
AC
BD
N
2A
50400(kPa)
50.4MPa
CD
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第10页,共27页
[习题6-11]图示为一两端固定地阶梯状圆轴,在截面突变处承受外力偶矩
Me;若
d1
2d2,试求固定端地支反力偶矩
M
M
A与
,并作扭矩图;
B
解:
把B支座去掉,代之以约束反力偶
,
其矩为
MB,转向为逆时针方向,
则:
TBC
M
B
TCA
M
Me
B
变形协调条件:
A、B为两固定端支座,不允许其发生转动,故:
0
AB
AC
CB
(M
Me)a
P1
MB2a
B
GI
0
GI
P2
M
M
2M
B
I
e
B
0
I
P1
P2
1
32
1
32
1
32
4
4
4
式中,
IP1
d1
(2d1)
16
d1
16I
,故:
P2
M
M
2M
B
e
B
0
16I
I
P2
P2
M
M
B
e
2M
0
B
16
Me
33
M
B
Me
33
32M
33
e
M
M
(顺时针方向转动)
A
e
Me
33
TBC
M
B
32Me
33
TCA
M
Me
B
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第11页,共27页
AB轴地轴力图如下:
x(a)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
-20
-21
-22
-23
-24
-25
-26
-27
-28
-29
-30
-31
T(Me/33)
-32
-33
扭矩图
[习题
Me
与截面
图示一两端固定地钢圆轴,
m;已知钢地切变模量G
其直径
d
60mm;轴在截面C处承受一外力偶矩
6-12]
3.8kN
80GPa;试求截面
C两侧横截面上地最大切应力
C地扭转角;
解:
把
B支座去掉,代之以约束反力
力偶,其矩为
M
,逆时针方向
B
转动;,则:
TCB
M
B
TCA
M
Me
B
变形协调条件:
A、B为两固定端支座,不允许其发生转动,故:
0
AB
AC
CB
(M
Me)
0.5
M
1
B
B
0
GI
GI
P
P
M
M
2M
0
B
e
B
Me
3
M
,故:
B
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第12页,共27页
M
3
3.8
3
e
T
M
1.267(kN
m)
CB
B
2M
3
2
3.8
3
e
T
M
M
2.533(kN
m)
CA
B
e
C截面左侧地最大切应力:
TCA
WP
max,CA
1
16
1
16
d3
3.14603
42390(mm3)
式中,抗扭截面模量
W
P
6
|TCA
WP
|
2.533
10Nmm
MPa
59.8
max,CA
3
42390mm
C截面右侧地最大切应力:
TCB
WP
max,CB
6
|TCB
WP
|
1.26710Nmm
42390mm
MPa
29.9
max,CB
3
C截面地转角:
TCBlCB
C
BC
GI
P
1
32
1
32
4
d
44
3.1460mm
4
1271700mm
式中,
I
P
6
TCBlCB
GIP
1.26710Nmm
1000mm
0
0.01245(rad)
0.714
C
BC
3
2
4
80
10N/mm1271700mm
[习题6-13]
一空心圆管套在实心圆杆
B地一端,如图所示;两杆在同一截面处各有一直径
相同地贯穿孔,但两孔地中心线构成一
角;现在杆
B上施加外力偶使杆
B扭转,以使两
孔对准,并穿过孔装上销钉;在装上销钉后卸除施加在杆
B上地外力偶;试问管
A与杆B
横截面上地扭矩为多大?
已知杆
A与杆B地极惯性矩分别
IPA与I
;两杆地材料相同,其
PB
切变模量为
G;
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第13页,共27页
解:
解除Ⅱ端约束
M2(逆时针方向转动),则由于
B杆锚固时处于弹性变形阶段,所以解
除约束II之后,Ⅱ端相对于截面C转了
形协调条件为
B地
C端扭了一个
角;因为事先将杆
角,故变
0
2M2
GI
PAIPB
lBIPA
TA
TBM
2
lAI
PB
d1
100mm,A端固定,在截面B处承受外力偶矩
[习题
Me
图示圆截面杆
AC地直径
6-14]
7kN
m,截面C地上、下两点处与直径均为
d220mm地圆杆
EF、GH铰接;已知
G
0.4E;试求杆AC中地最大切应力;
各杆材料相同,弹性常数间地关系为
解:
把EF杆与GH杆切断,代之以约束反力;由轴
AC地受力特点可知,这两个约束反力构
成一力偶,设它地力偶矩为
M
C(顺时针方向转动);
MC
NEF
(d1
d2)
0.12NEF(kN
m)
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第14页,共27页
TBC
M
0.12NEF
C
TAB
M
M
7
0.12NEF
e
C
杆EF、GH地作用为阻止
C;
C截面转动,但因这这两根杆件为可变形固体,故
C截面仍有
转角
lEF
(d1
NEFlEF
EA
NEF
3.14
2
2
2
C
1
2
1
4
d1
d2
0.12
32
d2)
2.5G
(20
10
)
42462.845NEF
G
变形协调条件为:
AC
AB
BC
C
TABlAB
TBCl
GI
BC
C
GI
P
P
(7
0.12NEF)
1
0.12NEF
1
42462.845NEF
G
GI
GI
P
P
7
0.12NEF
0.12NEF
42462.845NEF
1
I
I
P
P
7
0.24NEF
42462.845NEFI
P
1
32
1
32
4
3.14(0.1m)4
6(m4)
9.8125
10
式中,
I
d
,故:
P
6
7
0.24NEF
42462.845NEF9.8125
10
0.42NEF
NEF
7/0.66
10.61(kN);故:
TBC
0.12NEF
0.12
10.61
1.273(kN
m)
TAB
M
MC
7
0.12NEF
7
1.273
5.727(kN
m)
e
杆AC地最大切应力出现在
AB段地圆轴表面:
6
Tmax
WP
16Tmax
16
5.727
10Nmm
29.182MPa
max
3
3
3
d
3.14
100mm
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第15页,共27页
[习题6-15]试求图示各超静定梁地支反力;
[6-15(a)]
解:
把B支座去掉,代之以约束反力
调方程为:
RB,则变形协
wB
0
wBRB
wBF
0
R(3a)3
a3
9R
B
3EI
B
查附录
IV,得:
w
BRB
EI
F(2a)2
6EI
14Fa3
3EI
wBF
(3
3a
2a)
3
3
9RBa
EI
14Fa
3EI
0
故,
w
w
BRB
BF
14F
3
0
9R
B
14F
27
R
(↑)
B
14F
27
13F
27
0得:
Y
由
R
F
(↑)
A
14F
27
4Fa
9
0得:
由
M
M
F
2a
3a
(逆时针方向转动)
A
A
[6-15(b)]
解:
把B支座去掉,代之以约束反力
为:
RB
,则变形协调方程
wB0
w
w
0
BMe
RB
查附录IV,得:
2
2
M
(2a)
2Ma
e
e
EI
w
BMe
2EI
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第16页,共27页
2
3
RB(2a)
6EI
8RBa
3EI
w
(3
2a
2a)
RB
2
3
2Mea
EI
8RBa
3EI
0
故,
w
w
BMe
RB
4RBa
3
0
M
e
3M
4a
e
R
(负号表示方向向下,即↓)
B
3M
4a
e
由
0得:
Y
R
(↑)
A
3Me
4a
Me
2a
由
0得:
,
M
M
2a
M
M
(逆时针方向转动)
A
A
e
A
[6-15(c)]
解:
把B支座去掉,代之以约束反力
M
FB,方向如图所示;则变形协调条件为:
与
B
0;
wB
0
B
w
w
w
0
Bq
BFs
MB
查附录IV,得:
4
ql
wBq
8EI
3
Fl
B
3EI
w
BFB
2
M
l
B
w
BMB
2EI
精品学习资料——勤奋,为踏入成功之门地阶梯
第17页,共27页
3
2
4
ql
FBl
MBl
2EI
0
故,
w
w
w
Bq
BFs
MB
8EI
3EI
2
FBl
3
M
2
ql
B
0
8
2
3ql
8F
l12M
0
(1)
B
B
0
B
0
Bq
BFB
BMB
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