可口可乐易拉罐.ppt
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可口可乐易拉罐.ppt
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可口可乐罐头为什么是这种样子可口可乐罐头为什么是这种样子问题问题可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐料罐(易拉罐易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少的高之比为多少?
为什么为什么?
它们的形状为什它们的形状为什么是这样的么是这样的?
知识准备体积给定的圆柱体体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸其表面积最小的尺寸(半径和高半径和高)为多少为多少?
表面积用表面积用S表示表示,体积用体积用V表示表示,则有则有:
它顶盖的直径和从顶它顶盖的直径和从顶盖到底部的高盖到底部的高:
约为约为6厘米和厘米和12厘米厘米.中间胖的部分的直径中间胖的部分的直径约为约为6.6厘米,胖的部厘米,胖的部分高约为分高约为10.2厘米厘米.可口可乐饮料罐上标可口可乐饮料罐上标明净含量为明净含量为355毫升毫升(即即355立方厘米立方厘米).简化模型简化模型分析和假设:
分析和假设:
首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的定合理性的.要求饮料罐内体积一定时要求饮料罐内体积一定时,求求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比直径和从顶盖到底部的高之比.实际上,饮料罐的形状是绕其中轴线旋转实际上,饮料罐的形状是绕其中轴线旋转而成的立体图形。
而成的立体图形。
用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬其他的材料要硬(厚厚,因为要使劲拉因为要使劲拉),假设假设除易拉罐的顶盖外除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同罐的厚度相同,记作记作,顶盖的厚度为顶盖的厚度为.想象一下想象一下,硬度体现在同样材料的厚度上硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过有人测量过,顶盖厚度大约是其他部分的顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的材料厚度的3倍倍).因此因此,我们可以进行如我们可以进行如下的数学建模下的数学建模.这时必须考虑所用材料的体这时必须考虑所用材料的体积积.设饮料罐的半径为设饮料罐的半径为r(因此,直径为(因此,直径为d=2r),罐的高为罐的高为h.罐内罐内体积为体积为V.b为除顶盖为除顶盖外的材料的厚度外的材料的厚度.其中其中r,h是自变量是自变量,所用材所用材料的体积料的体积SV是因变量是因变量,而而b和和V是固定参数是固定参数,是待定参数是待定参数.饮料罐侧面所用材料的体积为饮料罐侧面所用材料的体积为饮料罐顶盖所用材料的体积为饮料罐顶盖所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为所以,SV和和V分别为分别为,因为因为br,所以带所以带的项可以忽略可以忽略因此因此:
记记建立以下的数学模型:
建立以下的数学模型:
其中其中S是目标函数,是目标函数,是约束条件是约束条件,V是已知的是已知的(即罐内体即罐内体积一定积一定),即要在体积即要在体积一定的条件下一定的条件下,求罐的求罐的体积最小的体积最小的r,h和和使得使得r,h和测量结果吻和测量结果吻合合.这是一个求条件极这是一个求条件极值的问题值的问题.模型的求解:
模型的求解:
一种解法一种解法(从约束中解出一个变量,化条件从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题极值问题为求一元函数的无条件极值问题)从从解解,代入代入S,使原问题化为:
求使原问题化为:
求d:
h使使S最小最小,即即,求求r使使最小最小.求临界点求临界点:
令其导数为零得令其导数为零得解得临界点为解得临界点为因此因此测量数据为测量数据为h/d=2,即即,即顶即顶盖的厚度是其他材料厚度的盖的厚度是其他材料厚度的3倍倍.为验证这个为验证这个r确实使确实使S达到极小。
计算达到极小。
计算S的二阶导数二阶导数所以所以,这个这个r确实使确实使S达到局部极小达到局部极小,因为因为临界点只有一个临界点只有一个,因此也是全局极小因此也是全局极小.验证和进一步的分析:
验证和进一步的分析:
有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的度的3倍倍.如果易拉罐的半径为如果易拉罐的半径为3厘米厘米,则其体积为则其体积为即装不下那么多饮料,为什么?
模型到底对即装不下那么多饮料,为什么?
模型到底对不对不对?
按照按照,V=365立方厘米立方厘米,可以算可以算得得r=3.074厘米厘米.一种可能的考虑一种可能的考虑.粗略的计算粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部可以把饮料罐的体积看成两部分分,一是上底半径为一是上底半径为3厘米,下底半径为厘米,下底半径为3.3厘米厘米,高为高为1厘米的锥台厘米的锥台,二是半径为二是半径为3.3厘米厘米,高为高为10.2厘米的圆柱体厘米的圆柱体.它们的它们的体积分别为体积分别为31.2立方厘米和立方厘米和349立方厘米立方厘米总共为总共为380.2立方厘米立方厘米.验证验证通过测量重量或容积来验证通过测量重量或容积来验证.我们可以认为我们可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是立方厘米的水和饮料的重量都是1克克.测量结果为测量结果为:
未打开罐时饮料罐的重量为未打开罐时饮料罐的重量为370克克,倒出来的可乐确实重倒出来的可乐确实重355克克,空的空的饮料罐重量为饮料罐重量为15克克,装满水的饮料罐重量装满水的饮料罐重量为为380克克.这和我们的近似计算这和我们的近似计算380.2立方立方厘米十分接近!
饮料罐不能装满饮料厘米十分接近!
饮料罐不能装满饮料,而是而是留有留有10立方厘米的空间余量立方厘米的空间余量.探讨更有意思的是更有意思的是,计算饮料罐的胖的部分的直计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为径和高的比为6.6/10.2=0.647,非常接近黄非常接近黄金分割比金分割比0.618.这是巧合吗这是巧合吗?
还是这样的比还是这样的比例看起来最舒服例看起来最舒服,最美最美?
探讨此外此外,诸如底部的形状诸如底部的形状,上拱的底面上拱的底面,顶盖实际上顶盖实际上也不是平面的也不是平面的,略有上拱略有上拱,顶盖实际上是半径为顶盖实际上是半径为3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料冲压而成的平方厘米的材料冲压而成的,从从顶盖到胖的部分的斜率为顶盖到胖的部分的斜率为0.3,这些要求也许保证这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合粘合)很牢固、耐很牢固、耐压压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求的要求,必须要有有关方面的实际工作者或专家必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定来确定.因此因此,我们可以体会到真正用数学建模的我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程方法来进行设计是很复杂的过程,只依靠数学知只依靠数学知识是不够的识是不够的,必须和实际工作者的经验紧密结合必须和实际工作者的经验紧密结合.考虑实际所用材料的模型考虑实际所用材料的模型实际上实际上,顶盖的半径为顶盖的半径为r+0.6厘米厘米,而正圆而正圆柱的高为柱的高为h+0.6厘米厘米.因此因此问题化为问题化为:
当当V固定时固定时,求求d:
h使使S最小最小.我们从约束中解出一个变量我们从约束中解出一个变量,化条件极值问化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题题为求一元函数的无条件极值问题,即即现尽管三次方程求根有公式现尽管三次方程求根有公式,但是很繁琐但是很繁琐,而且最终还是要数值求解而且最终还是要数值求解.还不如直接把数还不如直接把数值代入值代入,用数学软件用数学软件(例如例如,Mathematica,Matlab)来求数值解来求数值解.由于由于V=365立方厘米立方厘米.即,即,r2.9,,所以,所以,h:
d2.4,高是直径的高是直径的2.4倍倍!
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