考研数学二真题及答案详解.docx
- 文档编号:23524152
- 上传时间:2023-05-17
- 格式:DOCX
- 页数:28
- 大小:189.88KB
考研数学二真题及答案详解.docx
《考研数学二真题及答案详解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考研数学二真题及答案详解.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
考研数学二真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学
(二)试题解析
指定位置上.
、选择题:
1:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题.纸
(1)下列反常积分收敛的是()
(C)有跳跃间断点
(D)有无穷间断点
xcos,x0
(3)
设函数fx
x(0,
0),若f'x在x0处连续则:
()
0,x0
(A)
0
(B)01
(C)
2(D)0
2
答案】(A)
【解析】
x
0时,f
x0f
0
0
1
xcos
0
1
f0
lim
x
lim
x
1
cos
x0
x
x0
x
11
1
1
x0时,
f
xx
cos
1x
sin
1
x
x
x
得:
在x0处连续则:
lim+fx=lim
x0+x0
limx
x0
1cos10得10x
10,答案选择A
(4)设函数f(x)在
(A)0
【答案】
11
cos
x
1
sin=0
x
内连续,其中二阶导数
f(x)的拐点的个数为
f(x)的图形如图所示,则曲线
(B)1(C)2
(C)
根据图像观察存在两点,为2个.
解析】
(5)设函数
fu,v满足f
x
与f
v
1依次是(
1
(A)12,0
【答案】(D)
(B)0,12
(C)12,0
(D)
0,2
解析】此题考查二元复合函数偏导的求解
y,v
,则x
v,y
uv
1v
从而
f(x
y,yx)
x
x2
y2变为
f(u,v)
uv
1
u2(1v).故
1v
2u(1
v),f
v,v
2u2,
2,
(1v)2
因而f
u
u1
v1
0,f
v
u1
v1
1.故选(D).
2
(6)设D是第一象限由曲线
2xy1,4xy
1与直线
x,y
3x围成的平面区域,函
数fx,y在D上连续,则fx,yD
dxdy
1
(A)3dsin12frcos,rsinrdr
(B)
3d
4
1
sin12frcos,rsinrdr
(C)
3d
4
1
sin12frcos,rsindr
2sin2
(D)
3d
4
1
sin12frcos,rsindr
答案】
解析】
(B)
根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为
(r,)
所以
f(x,y)dxdyD
故选B.
(7)设矩阵A
32sin2
r1
sin2
3d
4
1
sin2
1
2sin2
f(rcos,rsin
)rdr
解的充分必要条件为
(A)a
d
(C)a
d
(D)
答案】
(D)
解析】
(A,b)
由r(A)
r(A,b)
b
d2
(B)
d
.若集合
1,2,则线性方程组Axb有无穷多
d
3,故
(8)设二次型fx1,x2,x3
为(
2
(A)2y12
1
d
d2
(a
1
a1
1)(a
2)
(d
1d1
1)(d2),
2,同时
2.故选
D)
在正交变换
xPy下的标准形为2y12
(e1,e2,e3),若Q(e1,e3,e2)则f
22
y2y3
22
(B)2y12y22
22
y2y3,其中
(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形
2
y3
222222
(C)2y1y2y3(D)2y1y2y3
【解析】由
x
Py
,故
f
Tx
Ax
yT(PTAP)y2y12y22y32
2
0
0
且PTAP
0
1
0
0
0
1
1
0
0
由已知可得
Q
P
0
0
1
PC
0
1
0
2
0
0
故QTAQ
CT
(PTAP)C
0
1
0
0
0
1
【答案】(A)
2y12
所以fxTAxyT(QTAQ)y
y22y32.选(A)
答案】2
x2
(x)f(t)dt2x2f(x2),故有
1
(1)0f(t)dt1,
(1)12f
(1)5,则f
(1)2.
yx
答案】e2x2e
解析】由题意知:
y
03,y
00,由特征方程:
20解得11,2
所以微分方程的通解为:
x2x
yC1exC2e2x代入y0
3,y00解得:
C12C2
解得:
y
x2x
2exe2x
(13)若函数
zx,y
由方程ex2y3z
xyz1确定,则dz
0,0
答案】
dx2dy
解析】当
0,y0时
z0,则对该式两边求偏导可得
(3ex2y3z
xy)z
x
yz
x2y3ze
(3ex2y3z
xy)zxzy
x
2ex
2y3z.将
0,0,0)点值代入即有
y(0,0)
则可得dz|(0,0)
1dx2dy
33
13dx
2dy.
(14)若3阶矩阵
A的特征值为2,
2,1,
BA2AE,其中E为3阶单位阵,则行列式
答案】21
解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1.
所以|B|37121.
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答题.纸..指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤
设函数f(x)
xaln(1x)
bxsinx,g(x)
3
kx3.若f(x)与g(x)在x
是等价无
穷小,求
a,b,k的值.
答案】a
1,k
1
13,b
解析】
方法一:
因为ln(1x)
o(x3),sinx
3
x3
o(x),
3!
那么,
1limf(x)
x0g(x)
lxim0
1a
可得:
ba
2
a
3k
方法二:
由题意得
1lxim0gf((xx))
由分母lim3kx2
x0
于是1limf(x)
x0g(x)
kx3
a
1
所以,
b
1.
2
1
k
3
xaln(1
x)
bxsinx
kx3
,得分子
lim(1
a
x0
1x
1
1
bsinx
1
x
aln(1
x)bxsinx
x
0
1
0
0,
0
lxim
x0
3kx2
a2
(1a)x(ba)x2lim23
x0kx3
a3
x
3
(x3)
xb(1x)sinxbx(1x)cosxlimx0
3kx(21x)
xb(1x)sinxbx(1x)cosxlimx0
1absinxbxcosxlxim01x3kx2
bsinxbxcosx)lim(1a)0
x0
求得c;
bxcosx
3kx2
1bsinxb(1x)cosxb(1x)cosxbxcosxlimx0
bx(1x)sinx
6kx
由分母
lxim06kx0,得分子
lim[1
x0
bsinx2b(1
x)cosxbxcosxbx(1x)sinx]lim(12bcosx)0,x0
求得b
进一步,
1;
2;
b值代入原式
f(x)
1lim
x0g(x)
1limx0
11
sinx(1x)cosxxcosx
22
6kx
1
x(1x)sinx
1
cosx
lim2
x0
11
cosx(1x)sinxcosxxsinx
22
6k
111
(1x)sinxxsinxx(1
222
x)cosx
1
2,求得k
6k
(16)(本题满分10分)
设A>0,D是由曲线段y
Asinx(0x)及直线y0,x
所围成的平面区域,V1,
2
V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积,若
V1
V2,求A的值.
8答案】
解析】由旋转体的体积公式,得
V1
2
f2(x)dx
2
(Asinx)dx
A221cos2xdx
02
2A2
4
V2
22xf(x)dx
-2
由题V1V2,求得A
A2xdcosx0
8
2A
(17)(本题满分11分)
已知函数f(x,y)满足fxy"(x,y)2(y
1)ex,fx'(x,0)(x
1)ex,f(0,y)y22y,
求f(x,y)的极值.
答案】极小值f(0,1)
解析】fxy(x,y)2(y
1)ex两边对y积分,得
12xfx(x,y)2(12y2y)ex
(x)(y22y)ex(x),
故fx(x,0)(x)(x1)ex,求得(x)ex(x1),
故fx(x,y)(y22y)exex(1x),两边关于x积分,得
(y2
2y)ex
(1
x)de
x
(y2
2y)ex
(1
x)ex
xe
dx
(y2
2y)ex
(1
x)ex
ex
C
(y2
2y)ex
xex
C
由f(0,y)y
22y
C
y2
2y,
求得C0.
所以f
(x,y)
(y2
2y)ex
xxe.
令fx
(y2
2y)ex
xe
xxe
0,
x0求得.
fy
(2y
2)ex
0
y1
又fxx
(y2
2y)ex
x
2ex
xe
x
fxy
2(y1)
ex,f
yy2ex,
当x
0,y
1时,
Afxx(0,
1)
1,Bfxy(0,1)
AC
B20,
f(0,
1)
1为极
小值
2y)exex(1x)dx
0,Cfyy(0,1)2,
f(x,y)(y2
(18)(本题满分10分)
计算二重积分x(xy)dxdy,其中D
D
答案】
2
45
2
x(xy)dxdyxdxdy
DD
2x2
x2
2x2(2x2x2)dx
解析】
1
2dx
0
12
x
0
x2dy
201x2
2x2d
2
x
x2sint
242
sin2
t2cos2tdt2
0
5
0
5
24sin22tdt
2u2t
2sin2udu
2
2.
0
5
0
5
4
5.
(19)(本题满分11
分)
已知函数fx
x1
t2dt1X
1
tdt,
求fx
零点的个数?
【答案】2个
【解析】f
(x)
1
x22x1
2x
1
x2(2x
1)
1
令f(x)0,得驻点为x,
2
11
在(,),f(x)单调递减,在(,),f(x)单调递增
22
1
故f(21)为唯一的极小值,也是最小值
11t2dt11td121td
224
11
所以函数f(x)在(,)及(,)上各有一个零点,所以零点个数为2.
22
(20)(本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的
温差成正比,现将一初始温度为120C的物体在20C的恒温介质中冷却,30min后该物体降至30C,若要将该物体的温度继续降至21C,还需冷却多长时间?
答案】30min
【解析】设t时刻物体温度为x(t),比例常数为k(0),介质温度为m,则
dxk(xm),从而x(t)Cektm,
dt
kt
x(0)120,m20,所以C100,即x(t)100ekt2011
又x
(1)30,所以k2ln10,所以x(t)1t120
2100t1
当x21时,t1,所以还需要冷却30min.
(21)(本题满分10分)
已知函数fx在区间a,+上具有2阶导数,fa0,fx0,f''x0,设ba,曲线yfx在点b,fb处的切线与x轴的交点是x0,0,证明ax0b.
【证明】根据题意得点(b,f(b))处的切线方程为yf(b)f(b)(xb)
令y0,得x0b
0f(b)
因为f(x)0所以f(x)单调递增,又因为f(a)0所以f(b)0,又因为f(b)0
所以x0bf(b)b
0f(b)
f(b
)f(a)
f
(
),(a,b)
b
a
所以
x0a
b
a
f(b)f(b)
f(b)f()
因为
f(x)
0所以
f(x)单调递增
所以
f(b)
f(
)
所以
x0a
0,
即
x0a,所以a
(22)
(本题满
分
11
分)
a
1
0
设矩阵
A
1
a
1且A3O.
0
1
a
(1)
求a的值;
f(b),而在区间(
f(b)
f(b)f(b)f(b)f()f(b)f(b)f()
x0b,结论得证
(2)若矩阵
【答案】
X满足X
2
XA2
AX
2
AXA2
E为3阶单位阵,求X.
0,X
a10
010
(I)A3O
A
0
1a1
1a2a1
01a
a1a
解析】
3a
EA2
EA2
0
1
1M10
0
1
1
1M0
1
0
1
1
1M01
0
0
1
1M1
0
0
1
1
2M00
1
1
1
2M0
0
1
1
1
1M0
1
0
1
1
1M0
1
0
0
1
1M1
0
0
0
1
1M1
0
0
0
2
1M0
1
1
0
0
1M2
1
1
1
1
0M20
1
1
0
0M3
1
2
0
1
0M11
1
0
1
0M1
1
1
0
0
1M21
1
0
0
1M2
1
1
3
1
2
(23)(本题满分
11
分)
相似于矩阵
答案】
1)a
4,b
5;
2)
解析】
(II)A
(I)A~
0
2
3
1
2
0
1
3
3
0
b
0
1
2
a
0
3
1
1
a
4
3
b
5
2
3
1
0
0
B
tr(A)
tr(B)
B
b
2a
b
0
1
3
3
0
1
0
EC
11
A的特征值A1C:
1,1,5
231
令P(1,2,3)101,
011
1
1
P1AP1
0
设矩阵A1
1
1)求a,b的值;
2)求可逆矩阵P,使P1AP为对角阵.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 数学 二真题 答案 详解