高考数学一轮复习三角函数三角恒等变换题型大全.docx
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高考数学一轮复习三角函数三角恒等变换题型大全
第五节三角恒等变换
突破点
(一)三角函数的化简求值
基础联通
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α-β)
C(α+β)
S(α-β)
S(α+β)
T(α-β)
;变形:
T(α+β)
;变形:
2.二倍角公式
S2α
sin2α=α;变形:
C2α
cos2α=
21+cos2α21-cos2α
变形:
cos2α=2,sin2α=2
T2α
2tanα
tan2α=2
1-tanα
三角函数式的化简
[例1]已知α∈(0,π,)化简:
[例2]
1+sinα+cos
2+2cosα
求值:
(1)
1+cos20°
2sin20°
三角函数的给角求值
tan15-°tan5
);
(2)sin50°(1+3tan10°).
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
2
1-cos210°
1.[考点二]计算:
1-cos10°=(
cos80°1-cos20°
A.22
B.12
C.23
D.-22
2.[考点二](1+tan18°)·(1+tan27°)的值是(
A.3
B.1+2C.2
D.2(tan18°+tan27°)
3.[考点一]化简:
sin2α+cos2α-1sin2α-cos2α+1=
sin4α
4.[考点一]化简:
421
2cosx-2cosx+2πx
4x
2tan4π-xsin24π+
突破点
(二)三角函数的条件求值给值求值问题[例1]已知cos6π+α·cos(3π-α)=-41,α∈3π,2π.
(1)求sin2α的值;
1
(2)求tanα-的值.
tanα
[例2]
(1)设α,β为钝角,且sin
给值求角问题
5,cosβ=-310,则α+β的值为(
510
3π
A.34π
5π
B.54π
7π
C.74π
5π7π
D.54π或74π
11
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=2,tanβ=-7,则2α-β的值为
能力练通
1.[考点一]已知sin2α=31,则cos2α-4π=()
1
A.3
2
B.23
2
C.-3
1
D.-3
2.[考点一]若
α,β都是锐角,且cos
5,sin(α-β)=10,则cosβ=()
510
A.22
B.102
C.22或-102
22
D.22或102
5
3.[考点二]若sin2α=5,
sin(β-α)=1100,且
α∈
π
4,π
β∈
π,
则α+β的值是(
7π
A.74π
9π
B.94π
5π7π
C.4π或4π
5π9π
D.4或4
β=
4.[考点二]若锐角α,β满足(1+3tanα)(1+3tanβ)=4,则α+
5.[考点一]已知α∈2π,π,且sinα2+cosα2=26.
(1)求cosα的值;
(2)若sin(α-β)=-35,β∈2π,π,求cosβ的值.
跟踪练习1、
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()
tanα+tanβ
(3)公式tan(α+β)=1-tanαtanβ可以变形为
β都成立.()
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,
(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.()
2.(2016全·国Ⅲ卷)若tanθ
13,则cos2θ=(
4
A.-5
1
B.-15
1
C.5
4
D.45
11
3.(2015重·庆卷)若tanα=3,tan(α+β)=2,则tanβ等于(
A.17
B.16
C.57
D.56
1
4.(2017广·州调研)已知sinα+cosα=3
2π
1
A.18
17
B.18
C.89
,则sin2-α=(
D.92
5.(必修4P137A13(5)改编)sin347°cos148°+sin77°·cos58°
,sin2θ+π3=
π1
6.(2017宁·波调研)已知cosθ+=-,θ为锐角,则sin2θ
43
7三角函数式的化简
(1)(2017杭·州模拟)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=()
A.sin(α+2β)B.sinαC.cos(α+2β)D.cosα
αα
(1+sinα+cosα)·cos2-sin2
(2)化简:
(0<α<π)=
2+2cosα
8、
(1)2+2cos8+21-sin8的化简结果是
(2)化简:
421
2cosα-2cosα+2
9、三角函数式的求值
(1)[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·2sin280=.
2
π317π7πsin2α+2sinα
(2)已知cos+α=,<α<,则的值为.
451241-tanα
11
(3)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=2,tanβ=-7,则2α-β的值为
10、
(1)4cos50°-tan40°=(
A.2
B.2+3
B.2
C.3
D.22-1
π
(2)已知sinα+3+sinα=
43,
5,
π
-2<α<0,
cosα的值为
,β=
113π
(3)(2017绍·兴月考)已知cosα
=17,cos(α-β)=1143(0<β<α<2),则tan2
突破点(三)三角恒等变换的综合问题
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
[典例]已知向量m=(sinx,1),n=(3Acosx,A2cos2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移1π2个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21倍,纵坐标
不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在0,5π上的值域.
能力练通
f(x)=2sinxsinx+
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈0,2π时,求函数f(x)的值域.
1.已知函数
2.已知函数f(x)=3sinωx-cosωx-1,x∈R(其中ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
π
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2,求函数y=f(x)的单调增区间.
3.已知函数f(x)=2cos2ωx-1+23sinωxcosωx(0<ω<1),直线x=3是函数f(x)的图象的一条对称轴.
3
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知函数y=g(x)的图象是由
y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移23π个
单位长度得到的,若
g2α+3=56,
α∈0,2π,求sinα的值.
[课时达标检测]
[练基础小题——强化运算能力]
1.
sin110°
(2017·丽水模拟)计算cos2155°-
sin20°
2sin2155°
的值为(
3
-1
13
A.
-2
B.2C.2
D
2
2.
(2017临·安中学高三月考)已知
sin2+
α=
1
2,
π
-<
2
1
2
1
A.2
B.3C.-
2
D
.1
)
α<0,则cos
α-3的值是()
3.(2017·江西新余三校联考)已知cos3π-2x=-78,则sinx+3π的值为()
A.4
B.8
D.
±78
4.已知sin(6π-α)=31,则cos23π+α的值是()
7
A.
7
-
D
1
-
C
1
B
5.已知
sin
sinα=453,则sinα+76的值是
[练常考题点
检验高考能力]
、选择题
1.
1
已知sin2α=3,则
cos2
α-4=(
A.
1
B.13
C.-3
2
D.23
2.
已知cosx-6=
33,则cosx+cosx-3π=(
A.
23
3
23
B.±233
C.
-1
D.±1
3.
π
若tanα=2tan5,
cosα-130π
则cosαα--1π0=(
sinα-5
A.
B.2
C.3
D.
4.
已知sin
α-4π=72
,cos2α=7,
1025
则sin
α=(
4
A.45
B.
C.35
D.
5.在斜三角形ABC
中,sinA=-2cosB·cosC,且tanB·tanC=1-2,则角A的值为()
π
A.4π
π
B.3π
π
C.2π
3π
D.4π
6.(2017·浙江金丽衢十二校联考
)已知锐角
α,β满足sinα-cosα=16,tanα+tanβ+3·tanαtanβ=3,
则α,β的大小关系是()
π
A.α<4<β
π
B.β<4<α
ππ
C.4<α<βD.4<β<α
二、填空题
7.函数f(x)=sin2x-4-22sin2x的最小正周期是
8.已知
cos4α-sin4
α=3,
且
2π,则cos2α+
3π
9.已知tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,且α,β∈-2,2,则α+β=
10.若0<α<2π,-2π<β<0,cos4π+α=13,cos(4π-2β)=33,则cosα+β2=.
三、解答题
2
11.已知函数f(x)=cosx+sinxcosx,x∈R.
(2)若sinα=53,且
π,求f
(1)求f6π的值;
2α+2π4.
12.已知函数
f(x)=4tanxsin
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间
π
-4,
4π上的单调性.
答案第五节三角恒等变换
本节主要包括3个知识点:
1.三角函数的化简求值;2.三角函数的条件求值;
3.三角恒等变换的综合问题.
突破点
(一)三角函数的化简求值
基础联通抓主干知识的“源”与“流
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α-β)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C(α+β)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
S(α-β)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
S(α+β)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
T(α-β)
tan(α-β)=tanα-tanβ;变形:
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)1+tanαtanβ
T(α+β)
tanα+tanβ
tan(α+β)=;变形:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)
1-tanαtanβ
考点贯通
2.二倍角公式
S2α
22
sin2α=2sin_αcos_α;变形:
1+sin2α=(sinα+cosα),1-sin2α=(sinα-cosα)
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
C2α
变形:
cos2α=1+cos2α,sin2α=1-cos2α
22
T2α
2tanα
tan2α=2
1-tanα
抓高考命题的“形”与“神
三角函数式的化简
1.三角函数式化简的一般要求:
(1)函数名称尽可能少;
(2)项数尽可能少;(3)尽可能不含根式;(4)次
数尽可能低、尽可能求出值.
2.常用的基本变换方法有:
异角化同角、异名化同名、异次化同次,降幂或升幂,“1的”代换,弦切
互化等.
[例1]已知α∈(0,π,)化简:
1+sinα+cosα·cos2-
2
2+2cosα
因为α∈(0,π,)所以α2∈0,π2,
所以cos2α>0
所以原式=
2α2α
=cos22α-sin2α2=cosα.
[答案]cosα
[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[例2]
求值:
1+cos20°
(1)2sin20°
-sin10
1
tan5
-tan5
三角函数的给角求值
(2)sin50°(1+3tan10°).
[解]
(1)原式=
2
2cos210°
2×2sin10°cos10°
-sin10
cos5°
sin5°
sin5°
cos5°
cos10°
2sin10°
-sin10°
·cos25°-sin25°
·sin5°cos5°
cos10°
2sin10°
-sin10°
cos10
1
2sin10
cos10°
2sin10°
-2cos10°
cos10°-2sin20°
2sin10°
=cos10-°2sin30°-10°
=2sin10°
cos10°-221cos10°-23sin10°
=2sin10°
=3sin10°=3
=2sin10°=2.
(2)sin50°(1+3tan10°)=sin50°(1+tan60°·tan10°)
=sin50°
·cos60°cos10°+sin60°sin10°cos60°cos10°
=sin50°
·cos60°-10°
cos60°cos10°
2sin50°cos50°cos10°
sin100°=cos10°
cos10°cos10°
[方法技巧]
给角求值问题的解题规律
解决给角求值问题的关键是两种变换:
一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关
系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.
能力练通抓应用体验的“得”与“失
1.[考点二]计算:
2
1-cos210°
cos80°1-cos20°
=()
A.22
B.1
2
2
C.23
2
D.-
2
2
解析:
选A
2
1-cos210°
cos80°1-cos20°
2
=sin210°
sin10°1-1-2sin210°
=sin210°=2
2sin210°2.2.[考点二](1+tan18°)·(1+tan27°)的值是()
A.3B.1+2
C.2D.2(tan18°+tan27°)
解析:
选C原式=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+tan45°(1-tan18°tan27°)=2,故选C.
3.[考点一]化简:
sin2α+cos2α-1sin2α-cos2α+1=sin4α
解析:
sin2α+cos2α-1sin2α-cos2α+1
22
sin2α-cos2α-1
2sin2α·cos2α
22
sin2α-cos2α+2cos2α-12sin2α·cos2α
-2cos122α+2cos2α
2sin2α·cos2α
1-cos2αsin2α2sin2α
2sinαcosα
sinα
cosα
=tan
答案:
tanα
4.[考点一]化简:
421
2cosx-2cosx+2
2tan
π4+x
解析:
221
-2sinxcosx+2
12cos22x
答案:
21cos2x
1
2cos2x.
突破点
(二)三角函数的条件求值
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神
给值求值问题
[例1]
(2017合·肥模拟)已知
cos6+α·cosπ3-α=-41,
α∈
α∈
cos6π+α·sinπ6+
[解]
∴sin
3,2,∴2α+3∈
1π1
2sin2α+3=-4,
1
2
6
4ππ,3,
33
∴cos2α+3π=-23,∴sin2α=sin2α+
=sin2α+
α+
π1in3=2.
(2)∵α∈3π,2π,∴2α∈23π,π,
又由
(1)知sin2α=21,∴cos2α=-23.
22
sinαcosαsinα-cosα-2cos2α=-2×sin2α
∴tanα-1
tanαcosαsinαsinαcosα
3
12=23.
2
[方法技巧]
给值求值问题的求解思路
(1)先化简所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
[例2]
(1)设α,β为钝角,且sin
给值求角问题
α=5,cosβ=-310,则α+β的值为()
510
3π
A.34π
5π
B.54π
7π
C.74π
5π7π
D.54π或74π
(2)已知
α,β∈(0,π,)且tan(
11
β)=2,tanβ=-7,则2α-β的值为
[解析]
(1)∵α,β为钝角,sinα=
5310
55,cosβ=-31010,
∴cosα=-255,sinβ=1100,
2
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=2>0.
又α+β∈(π,2π),∴α+β∈32π,2π,
∴α+β=74π.
(2)∵tanα=tan[(α-β)+
tanα-β+tanββ]=1-tanα-βtanβ
11
2-71
11=3>0,1+×1+27
π
∴0<α<2.
又∵tan2α=
1
2×
2×3=3>0,
1-tanα12=4>0,
1-3
2tanα
π
∴0<2α<2,
∴tan(2α-β)=tan2α-tanβ
3+1
47
1+tan2αtanβ1-3×1=1.
1-4×7
∵tanβ=-7
1π
7<0,∴2<β<π,∴-π<α2-β<0,
∴2α-β=-34π.
4
3π
[答案]
(1)C
(2)-4
[方法技巧]给值求角时选取函数的原则和解题步骤
(1)通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:
1已知正切函数值,选正切函数;
2已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,2π,选正、余弦函数皆可;若角的范
围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为-2π,π2,选正弦函数较好.
(2)解给值求角问题的一般步骤:
1求角的某一个三角函数值;
2确定角的范围;
3根据角的范围写出所求的角的大小.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知sin2α=31,则cos2α-4=()
1A.A.3
2
B.23
2
C.-3
1
D.-3
解析:
选Bcos2
α-π=1+
α-4=
π1
-1+
α-21+sin2α1+3=2.
2=3.
2.[考点一](2017·杭州模拟)若α,β都是锐角,且cosα=55,sin(α-β)=1100,则cosβ=()
A.2
A.2
B.102
C.22或-102
D.22或102
解析:
选A∵α,β都是锐角,且cosα=55,sin(α-β)=1100,∴sin
α=255,cos(α-β)=31010,
2
从而cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=2,故选A.
π
4,
3.[考点二](2017台·州模拟)若sin2α=55,sin(β-α)=1100,且α∈π
π,β∈
π,
32π,则α+β的
值是()
9π
B.4
7π
A.4
5π7π
C.4或4
5π9π
D.4或4
解析:
选A因为α∈
π
4,π
,所以2α∈
2,2π,又sin2α=55
π
,所以2α∈π2,
π,α∈
25
故cos2α=-.又β∈
5
π,2
32π,所以β-α∈2π,54π,故cos(β
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- 高考 数学 一轮 复习 三角函数 三角 恒等 变换 题型 大全