高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图象与性质教师用书理苏教.docx
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高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图象与性质教师用书理苏教
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角函数的图象与性质教师用书理苏教
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠
+kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
在[-
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上递增;
在[
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;
在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减
在(-
+kπ,
+kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x=
+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
当x=-
+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(
+kπ,0)(k∈Z)
(
,0)(k∈Z)
对称轴方程
x=
+kπ(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
【知识拓展】
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=sinx在第一、第四象限是增函数.( × )
(2)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( √ )
(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.( × )
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )
(5)y=sin|x|是偶函数.( √ )
(6)若sinx>,则x>.( × )
1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是________.
答案 π
解析 最小正周期为T===π.
2.(教材改编)函数y=-tanx的单调递减区间是________________.
答案 (-+kπ,+kπ)(k∈Z)
解析 因为y=tanx与y=-tanx的单调性相反,
所以y=-tanx的单调递减区间为(-+kπ,+kπ)(k∈Z).
3.(教材改编)sin11°,cos10°,sin168°的大小关系为________________.
答案 sin11°<sin168°<cos10°
解析 sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,
cos10°=sin(90°-10°)=sin80°,
又y=sinx在[0°,90°]上是增函数,
∴sin11°<sin12°<sin80°,
即sin11°<sin168°<cos10°.
4.(教材改编)y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=的交点个数为________.
答案 2
解析 在同一坐标系中作出函数y=1+sinx,x∈[0,2π]和y=的图象(图略),由图象可得有两个交点.
5.(教材改编)下列满足函数y=tan的条件是________.(填序号)
①在(0,)上单调递增;
②为奇函数;
③以π为最小正周期;
④定义域为{x|x≠+,k∈Z}.
答案 ①②
解析 ①令0 ∴y=tan在(0,)上单调递增; ②tan(-)=-tan,故为奇函数; ③T==2π,故③不正确; ④令≠+kπ(k∈Z),得x≠π+2kπ(k∈Z), ∴定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z}, ∴④不正确. 题型一 三角函数的定义域和值域 例1 (1)函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是____________. (2)(2016·苏州模拟)已知函数f(x)=sin(x+),其中x∈[-,a],若f(x)的值域是[-,1],则实数a的取值范围是________. 答案 (1){x|x≠+,k∈Z} (2)[,π] 解析 (1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z, 所以f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}. (2)∵x∈[-,a],∴x+∈[-,a+], ∵x+∈[-,]时,f(x)的值域为[-,1], ∴由函数的图象知≤a+≤,∴≤a≤π. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用sinx和cosx的值域直接求; ②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域; ③通过换元,转换成二次函数求值域. (1)函数y=lg(sinx)+的定义域为 . (2)函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________. 答案 (1) (2)2- 解析 (1)要使函数有意义必须有 即解得 ∴2kπ<x≤+2kπ(k∈Z), ∴函数的定义域为. (2)∵0≤x≤9,∴-≤-≤, ∴-≤sin(-)≤1, 故-≤2sin(-)≤2. 即函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值为2,最小值为-. ∴最大值与最小值的和为2-. 题型二 三角函数的单调性 例2 (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是________________. (2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________. 答案 (1)(k∈Z) (2) 解析 (1)由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z), 得-<x<+(k∈Z), 所以函数f(x)=tan的单调递增区间为 (k∈Z). (2)由<x<π,ω>0,得 +<ωx+<ωπ+, 又y=sinx的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z, 所以 解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z. 又由4k+-(2k+)≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈[,]. 引申探究 本例 (2)中,若已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递增,则ω的取值范围是____________. 答案 [,] 解析 函数y=cosx的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z, 则 解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z, 又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z, 得k=1,所以ω∈. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间: ①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. (1)函数f(x)=sin的单调减区间为________. (2)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω=________. 答案 (1),k∈Z (2) 解析 (1)由已知函数得y=-sin, 欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故所给函数的单调减区间为(k∈Z). (2)∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点, ∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时, y=sinωx是增函数; 当≤ωx≤,即≤x≤时, y=sinωx是减函数. 由f(x)=sinωx(ω>0)在上单调递增, 在上单调递减,知=, ∴ω=. 题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性 例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为________. (2)若函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足1 答案 (1)①②③ (2)2或3 解析 (1)①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π; ②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π; ③y=cos的最小正周期T==π; ④y=tan的最小正周期T=. (2)由题意得,1<<2, ∴k<π<2k,即 又k∈Z,∴k=2或3. 命题点2 对称性 例4 (2016·盐城模拟)当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则下列关于函数y=f(-x)的说法正确的是________. ①是奇函数且图象关于点(,0)对称; ②是偶函数且图象关于点(π,0)对称; ③是奇函数且图象关于直线x=对称; ④是偶函数且图象关于直线x=π对称. 答案 ③ 解析 ∵当x=时,函数f(x)取得最小值, ∴sin(+φ)=-1,∴φ=2kπ-(k∈Z), ∴f(x)=sin(x+2kπ-)=sin(x-), ∴y=f(-x)=sin(-x)=-sinx, ∴y=f(-x)是奇函数,且图象关于直线x=对称. 命题点3 对称性的应用 例5 (1)已知函数y=2sin的图象关于点P(x0,0)对称,若x0∈,则x0=________. (2)若函数y=cos(ωx+)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(,0),则ω的最小值为________. 答案 (1)- (2)2 解析 (1)由题意可知2x0+=kπ,k∈Z, 故x0=-,k∈Z, 又x0∈,∴-≤k≤,k∈Z, ∴k=0,则x0=-. (2)由题意知π+=kπ+(k∈Z), ∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,∴ωmin=2. 思维升华 (1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义. ②利用公式: y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. (1)(2016·常州模拟)已知函数f(x)=2sin(x+),若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是________. (2)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为________. 答案 (1)2 (2) 解析 (1)由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期, 即==2. (2)由题意得3cos(2×+φ)=3cos(+φ+2π) =3cos(+φ)=0, ∴+φ=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为. 5.三角函数的性质 考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分. 典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为________________. (2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x)成立,且f()=1,则实数b的值为________. (3)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值为________. 解析 (1)由图象知,周期T=2×=2, ∴=2,∴ω=π. 由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=, ∴f(x)=cos. 由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,得2k- (2)由f(x+)=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3. (3)∵ω>0,-≤x≤, ∴-≤ωx≤. 由已知条件知-≤-, ∴ω≥. 答案 (1),k∈Z (2)-1或3(3) 1.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间[,]上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f()=________. 答案 解析 由题意得函数f(x)的周期T=2(-)=π,所以ω=2,此时f(x)=sin(2x+φ),将点(,1)代入上式得sin(+φ)=1(|φ|<),所以φ=, 所以f(x)=sin(2x+), 于是f()=sin(+)=cos=. 2.函数y=的定义域为______________. 答案 [2kπ+,2kπ+π],k∈Z 解析 由2sinx-1≥0,得sinx≥, ∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z. 3.关于函数y=tan(2x-),下列说法正确的是________. ①是奇函数; ②在区间(0,)上单调递减; ③(,0)为其图象的一个对称中心; ④最小正周期为π. 答案 ③ 解析 函数y=tan(2x-)是非奇非偶函数,①错误;在区间(0,)上单调递增,②错误;最小正周期为,④错误. ∵当x=时,tan(2×-)=0, ∴(,0)为其图象的一个对称中心. 4.若函数f(x)=-cos2x,则f(x)的一个递增区间为________. ①(-,0)②(0,) ③(,)④(,π) 答案 ② 解析 由f(x)=-cos2x知递增区间为[kπ,kπ+],k∈Z,故只有②满足. 5.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f()=-2,则f(x)的一个单调递减区间是________. ①[-,]②[,] ③[-,]④[,] 答案 ③ 解析 由f()=-2,得 f()=-2sin(2×+φ)=-2sin(+φ)=-2, 所以sin(+φ)=1. 因为|φ|<π,所以φ=. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 当k=0时,-≤x≤. 6.(2016·南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为________. 答案 解析 由函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,∴ω=k+,∴ω=,从而得函数f(x)的最小正周期为=. 7.函数y=sinx的图象和y=的图象交点的个数是________. 答案 3 解析 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示: 由图可知交点个数是3. 8.函数y=cos2x+sinx(|x|≤)的最小值为________________________________________. 答案 解析 令t=sinx,∵|x|≤, ∴t∈. ∴y=-t2+t+1=-2+, ∴当t=-时,ymin=. 9.函数y=cos(-2x)的单调减区间为______________. 答案 [kπ+,kπ+](k∈Z) 解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-), 得2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z), 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 10.用“五点法”作出函数y=1-2sinx,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题: (1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间. ①y>1;②y<1. (2)若直线y=a与y=1-2sinx,x∈[-π,π]有两个交点,求a的取值范围. 解 列表如下: x -π - 0 π sinx 0 -1 0 1 0 1-2sinx 1 3 1 -1 1 描点连线得: (1)由图象可知图象在y=1上方部分时y>1,在y=1下方部分时y<1, 所以①当x∈(-π,0)时,y>1;②当x∈(0,π)时,y<1. (2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sinx有两个交点时,1<a<3或-1<a<1, 所以a的取值范围是{a|1<a<3或-1<a<1}. 11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<φ<)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值; (2)若f(x)的图象过点(,),求f(x)的单调递增区间. 解 ∵f(x)的最小正周期为π,则T==π, ∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ). (1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x), ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 将上式展开整理得sin2xcosφ=0, 由已知上式对∀x∈R都成立, ∴cosφ=0,∵0<φ<,∴φ=. (2)f(x)的图象过点(,)时, sin(2×+φ)=,即sin(+φ)=. 又∵0<φ<,∴<+φ<π, ∴+φ=,φ=, ∴f(x)=sin(2x+). 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, ∴f(x)的单调递增区间为 [kπ-,kπ+],k∈Z. 12.(2015·北京)已知函数f(x)=sinx-2sin2. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间上的最小值. 解 (1)因为f(x)=sinx+cosx- =2sin-, 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π. 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间上的最小值为f=-. *13.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数a,b的值; (2)设g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间. 解 (1)∵x∈,∴2x+∈, ∴sin∈, ∴-2asin∈[-2a,a], ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由 (1)得f(x)=-4sin-1, g(x)=f=-4sin-1 =4sin-1, 又由lgg(x)>0,得g(x)>1, ∴4sin-1>1,∴sin>, ∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时, g(x)单调递增,即kπ ∴g(x)的单调增区间为,k∈Z. 又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时, g(x)单调递减,即kπ+ ∴g(x)的单调减区间为,k∈Z.
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