学而思初一数学暑假班第1讲有理数与数轴教师版.docx
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学而思初一数学暑假班第1讲有理数与数轴教师版.docx
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学而思初一数学暑假班第1讲有理数与数轴教师版
模块
有理数基本概念
定义
示例剖析
正数:
像3、1、0.33等的数,叫做正数.在小学学
正数
4
:
1,2.5,,⋯⋯
过的数,除0外都是正数.正数都大于0.
3
负数:
像1、3.12、17、2008等在正数前加上
5
负数
:
1,5,1,⋯⋯,⋯⋯2
”(读作负)号的数,叫做负数.负数都小于0.
一个数字前面的“”,“”
0既不是正数,也不是负数.
号叫做它的符号.
正数前面的“”可以省略,注
意3与3表示是同一个正数.
用正、负数表示相反.意.义.的.量..:
如果正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意
譬如:
用正数表示向南,那么向
义,
反之亦然.
北3km可以用负数表示为3km.
“相反意义的量”包括两个方面的含意:
一是相反意
义;
二是相反意义的基础上要有量.
有理数:
整数与分数统称有理数.
正整数
自然数
正整数:
整数零
1,2,10,⋯⋯
有理数(按定义分类)负整数
正分数
负整数:
3,6,15,⋯⋯
分数
负分数
2
,1.5,0.3&,⋯⋯
正整数
正分数:
正有理数正整数
3
正分数
有理数(按符号分类)零
负分数:
1,3.25,1.62&,⋯⋯
负整数
5
负有理数负整数
负分数
注
:
⑴正数和零统称为非负数;⑵负数和零统称为非正数;
⑶正整数和零统称为非负整数;⑷负整数和零统称为非正整数
A.节约汽油10升和浪费粮食10kg
B.向东走8公里和向北走8公里
C.收入300元和支出100元
D.身高180cm和身高90cm
⑵规定向前、收入为正,后退、支出为负,那么下面四个语句中错误的是()A.前进18米的意义是后退18米
B.4万元的意义是亏损4万元
C.收入的相反意义是支出
D.后退4米的意义是前进4米
⑶如果零上5℃记作5℃,那么零下5℃记作()
A.5B.10C.5℃D.10℃
⑷如果水位升高4m时水位变化记作4m,那么水位下降3m记作m,水位不
升不降时水位变化记作m.
⑸甲,乙两地的海拔高度分别为200米,150米,那么甲地比乙地高出().
A.200米B.50米C.300米D.350米
⑹学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)”字样,请问“60030ml”是什么含义?
质检局对该产品抽查5瓶,容量分别为603ml,611ml,
589ml,573ml,627ml,问抽查产品的容量是否合格?
⑺在下表适当的空格里打上“√”号.
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
0
1.5
1
4
0.62
3
0.31&
π
9
8
解析】⑴C;⑵B;⑶C;⑷3,0;⑸D;
⑹“60030ml”表示每瓶饮料容量最小可以是60030ml,最大可以是
600+30ml,抽出的5瓶容量均在60030ml与60030ml之间,因此合格.
⑺
整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数
0
√
√
√
1.5
√
1
4
√
√
√
√
0.62
√
√
√
√
3
√
√
0.31&
√
√
√
√
π
√
√
√
9
8
√
能力提升
不超过米,最小不小于米.
(北京师范大学附属实验中学)⑵1是()
A.最小的整数B.最小的正整数C.最小的自然数D.最小的有理数
⑶4.5,6,0,2.4&,π,1,0.31&3&,3.14,11,以上各数中
2
属于负数,属于非正数,属于非负有理数
⑷
在15,3,
0.15,
22
30,12.8,
中,负分数的个数是(
)
8
5
A.1
B.2
C.3
D.
4
人大附中期中)
解析】⑴
20.0519.95
⑵B
⑶属于负数的有:
4.5,1,
2
0.31&3&,1
;属于非正数的
有:
4.5,0,
1,
2
0.31&3&,11;属于非负有理数:
6,0,2.4&,
3.14⑷B.
定义
示例剖析
数轴:
规定了原.点.、正.方.向.和单.位.长.度.的直线.
-101
⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,
画数轴的常见错误:
三者缺一不可.
⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念,前
23
没有原点
者指所取度量单位的长度,后者指所取度量单位的
名称,即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线
段,这条线段可长可短,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变.
⑶数轴的画法
0
1
2
①画一条水平的直线;
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原
没有正方向
点:
2
3
4
③确定向右的方向为正方向,用箭头表示;
没有原点
④选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,
单位长度不统一
并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致.
0
没有单位长度
有理数与数轴的关系:
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.注意:
数轴上的点不都代表有理数,如π.
-10
1
234
利用数轴比较有理数的大小:
数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所
b
0
1a
对应的数.因此,正数总大于零,负数总小于零,正数大于负数.
b
0
1a
例3】⑴画出数轴,在数轴上表示下列各数,并把数用“”连接.
11
5,3.5,,1,4,0,2.5
22
(北京101中学期中)
⑵4和0.9的大小关系是:
40.9
55
⑶数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是.
(北京四中期中)⑷数轴上点A对应的数为3,那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是
⑸数轴上的点A、B分别表示数3和1,点C是AB的中点,则点C所表示的数是
(人大附中单元测试)⑹如右图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为.
⑺在数轴上任取一条长度为19991的线段,
则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为.
解析】⑴先画出数轴,在数轴上标注所有的数(如图所示),在数轴上,右边的数总比左边的数大,故3.511012.545.
22
11
-1
-3.52022.54+5
-4-3-2-1012345
⑵;⑶3;⑷4或2;⑸1;⑹1,0,1,2;⑺2000
例4】⑴在数轴上,一个点从原点开始,先向右移动了2个单位长度,再向左移动3个单位长度后到达终点,此时这个点表示的数是()
A.5B.1C.1D.5
⑵一个点从数轴上表示2的点开始,先向右移动1个单位长度,再向左移动2个单位长度,则终点表示的数是.
⑶数轴上的点A对应的数是1,一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后,用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖,又沿原路以原速度返回A点,共用去6秒,则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度?
B点与A点的距离是多
少个单位长度?
B点对应的数是多少?
解析】⑴C;⑵3;
⑶蚂蚁6s共爬行12个单位长度;B点到A点的距离为6个单位长度;B点对应的数
是5.
例5】⑴已知数轴上有A、B两点,它们之间的距离为1,点A与原点的距离为3,那么点B所对应的数为.
⑵在数轴上,N点和O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍,那么N点表示的数是.
⑶已知下图中数轴上线段MO(O是原点)的七等分点A、B、C、D、E、F中,只有两点对应的数是整数,点M对应的数m>10,那么m可以取的不同值有个,m的最小值为.
EF
MA
解析】⑴4或2或2或4.
⑵N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍.
1若N点在数0和30之间,设N点到O点的距离为x,则5x=30,x=6.所以N=24.
2若N点在30右边,设N点到O点的距离为x,那么N点到30所对应的点的距离即为x,O点到30所对应的点的距离为3x,则3x=30,x=10.所以4x=40.N=40.
N点表示的数是24或40.
⑶七等分点A、B、C、D、E、F中,只有两点对应的数是整数,故可分以下几种情况讨论:
1若点F为整数,则有点A、B、C、D、E均为整数,不符合题意;
2若点E为整数,则有点A和点C都为整数,也不符合题意;
3若点D为整数,则点A为整数,符合题意;
4若点A或点B或点C为整数,则都只有一点为整数,不符合题意.
通过以上的分析,可以发现只有点A和点D对应的数为整数
由题意得:
对应的数为整数的两点为点A和点D,
3m为整数,且m和2m都不为整数,又0>m>10,
7
77
解得:
m
28147或或.
333
拓展】如图,已知数轴上A、B、C、D四点对应的实数都是整数,每相邻两个点相距1个
单位,如果A对应的实数为a,B对应的实数为b,且b2a9,那么数轴上的原点应该是A、B、C、D中的哪一点?
ABCD
解析】从数轴上可以看出:
ba,且ba4,由于b2a9,所以a5,所以比a大5的c是原点。
定义
示例剖析
例如:
5和5互为相反数,或者说5是
相反数:
只有.符.号.不.同..的两个数互称为相反
5的相反数,5是5的相反数;
数.特别地,0的相反数是0.
例如:
3与3互为相反数,而3与2虽
相反数必须成对出现,不能单独存在.
然符号不同,但它们不是相反数.
求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添
例如:
3的相反数为3
上“”号即可.
一般地,数a的相反数是a;这里以a表示任意
3的相反数为(3)
一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个
代数式.注意a不一定是负数.
0的相反数为0
当a0时,a0;当a0时,a0;当a0
时,a0.
(3)0
互为相反数的两个数的和为零,即若a与b互为
相反数,则ab0;
例如:
3与3互为相反数,则3+(3)=0
反之,若ab0,则a与b互为相反数.
一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且
-404
到原点的距离相等.
多重符号的化简:
一个正数前面不管有多少个
“”号,都可以全部去掉;
例如:
++66
一个正数前面有偶数个“”号,也可以把
“”号全部去掉;
66
一个正数前面有奇数个“”号,则化简后只保
留一个“”号,即“奇负偶正”(其中“奇偶”是
指正数前面的“”号的个数的奇偶数,“负正”是
(-5)5
指化简的最后结果的符号)
倒数:
乘积为1的两个数互为倒数.a,b互为
例如:
311,3与1互为倒数.
倒数,则ab1;反之亦然.
33
负倒数:
乘积为1的两个数互为负倒数.若a,
若311,则3与1互为负倒数.
b互为负倒数,则ab1.反之亦然.
33
倒数是成对出现的,单独一个数不能称为倒数;
互为倒数的两个数的乘积一定是1;0没有倒数;
求一个非零有理数的倒数,把它的分子和分母颠倒位置即可.
例6】⑴7的相反数()
⑶如果a0,化简下列各数的符号,并说出是正数还是负数
①
(a);②
(a);③
(a);④(a);⑤
a
⑷
3的倒数是
(
)
A.
1
B.
1
C.3
D.3
3
3
(北京市中考题)
解析】⑴
D
⑵C
⑶
①
a
a
,正数;
②
aa,负数;③
a
a,负数;
④
a,正数;
⑤
a=a,正数
⑷选A
例7】⑴3与互为相反数;1a是的相反数.72
⑵2的相反数是;b4是的相反数.⑶4
互为相反
⑷5与互为相反数,ab与数,7bc与互为相反数.
31
解析】⑴
,a;⑵2,b4;⑶4;⑷5,ab,7bc
72
例8】⑴若a与2a7互为相反数,则a.
33
⑵若x、y都是有理数,且使得四个两两不相等的数x4、2x、2y7、y能分成两组,每组的两个数是互为相反数,则xy的值等于
解析】⑴7;
3;
⑵有两对相反数,初看没法确定4个数中谁是谁的相反数,但是从整体考虑,由于互
为相反数的两个数的和为0,所以这4个数的和仍为0,即x4+2x2y7y0,
得到xy1
例9】
⑴已知有理数a、b在数轴上表示如图,
现比较a、b、a、b的大小,
正确的是()
a
0
b
A.ab
ab
B.
ab
b
a
C.ba
ab
D.
ab
b
a
⑵已知a,b为有理数,且a0,
b0,
ab
0,
将四个数a,b,a,
b按由小到大的顺
序排列是
解析】
⑴C
⑵借助数轴标出
a,b的大概位置,
知b
aa
b
探究数字黑洞:
“黑洞”原指非常奇怪的天体,体到了它那里都别想再“爬”出来.无独有偶,数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数通过一种运算,都能被它“吸”进去,无一能逃脱它的魔掌.比如:
任意找一个3的倍数的数,先把这个数的每个数位上的数字都立方,再相加得到一个新数,然后把这个新数的每个数位上的数字再立方,求和,⋯⋯,重复运算下去,就能得到一个固定不变量的数T,我们称它为数字“黑洞”,T为何具有如此魔力?
通过认真观察、分析,你一定能发现它的奥秘.请问,数字“黑洞”
所以结果T153.
例11】电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4⋯⋯,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是
19.94,试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数.
解析】30.06.设K0点表示的有理数为x,则K1,K2,⋯K100点所表示的有理数分别为x1,x12,x123,⋯x123499100,由题意得:
x12349910019.94,解得x30.06.
例12】动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时,动点B也从原点出发向数轴正方向运动,
3秒后,两点相距15个单位长度.已知动点A,B的速度比是1:
4,(速度单位:
单位长度/秒)
-12-9-6-3036912x
1求出两个动点运动的速度,并在数轴上标出A,B两点从原点出发运动3秒时的位置.
2若A,B两点从①中的位置同时向数轴负方向运动,几秒时,原点恰好处在两个动点的正中间?
3若A,B两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时,另一动点C也同时从B点
位置出发向A点运动,当遇到A点后,立即返回向B点运动,遇到B点后又立即返回向A点运动,如此往返,直到B追上A时,点C立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动,那么点C从开始运动到停止运动,行驶的路程是多少个单位长度?
(北京东城区期末)解析】①设A的速度为x单位长度/秒,B的速度为4x单位长度/秒
依题意,3(x4x)15
x1
即:
A的速度为1单位长度/秒,B的速度为4单位长度/秒.
3秒时,A的位置在3,B的位置在12.
②设x秒时,原点恰好处在两个动点的正中间?
124x3x
x1.8
3设y秒后B追上A,依题意,
4yy15
y5
205100
点C从开始运动到停止运动,行驶的路程是100个单位长度.
知识模块一有理数基本概念课后演练
演练1】⑴一天早上的气温是7℃,中午上升了11℃,半夜又下降了9℃,那么半夜的气温是()
A.5℃B.5℃C.13℃D.13℃
(八中期中)⑵如果节约16吨水记作+16吨,则浪费6吨水记作.
⑶下列说法正确的是()
A.有最小的负整数,没有最小的正整数B.有最小的负数,没有最大的正数C.有最大的负数,没有最小的正数D.有最大的负整数,没有最大的正整数
(十一学校期中)
⑷把下列各数填入表示它所在的数集的大括号:
10
2.4,3,2.008,10,
3
114,0.1&5&,0,
2,3.14
正有理数数集合:
{
}
非负整数集合:
{
}
负分数集合:
{
}
解析】⑴
A;⑵
6吨;⑶D;
⑷
正有理数:
1
3,2.008,1,2,3.14
4
非负整数:
3,0,2;
负分数:
2.4,10,0.1&5&
3
演练2】检验5个排球,其中超过标准的克数记为正数,
记数分别为:
1号球,+5;2号球,+0.7;3号球,轻重的角度看,最轻的球是号球,最接近标准的球是号球.
八中期中)
解析】4;3.
知识模块二数轴课后演练
演练3】数轴上,点A,B分别表示3和5,则线段AB的中点所表示的数是
解析】1
演练4】有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示:
则()
a
-1
A.ab0B.ab0解析】A
C.ab
0D.ab0
知识模块三相反数,倒数课后演练
演练5】⑴
6的相反数是
4
24的倒数是
7
,4的倒数的相反数是
解析】⑴6,
a的相反数为2,则a
7
18
1;
;
4
演练6】如图所示,
若点
A是有理数
解析】a1a
(北京师范大学附属实验中学)
;ab的相反数
a在数轴上对应的点,则
a、
a、1的大小关系是
01
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