一元二次方程的应用1导学案新版新人教版.docx
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一元二次方程的应用1导学案新版新人教版
一元二次方程的应用
(1)导学案(新版新人教版)
第8课时一元二次方程的应用
一、学习目标会列出一元二次方程解应用题;
学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题;
通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
二、知识回顾1.解一元二次方程有哪些方法?
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
.列一元一次方程解应用题的步骤是什么?
审:
弄清题意和题目中的数量关系;
设:
用字母表示题目中的一个未知数;
找:
找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系;
列:
根据这个等量关系列出代数式,从而列出方程;
解:
解所列的方程,求出未知数的值;
验:
检验方程的解是否符合题意;
答:
写出答案.
三、新知讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤
审:
指读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系;
设:
指设元,即设未知数,设元分直接设元和间接设元,直接设元就是问什么设什么,间接设元是间接地设一个与所求的量有关系的量作为未知数,进而求出所求的量;
列:
指列一元二次方程,这是非常重要的步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程;
解:
指解方程,即求出所列方程的解;
验:
指检验方程的解能否保证实际问题有意义,符合题意,应注意的是,一元二次方程的解有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%,等等.
答:
写出答案.
列一元二次方程解应用题的常见题型
传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等.
四、典例探究
.一元二次方程的应用——传播问题
【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒,传染性极强,一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒,经过两轮传染后,共有121人受到感染,
问每轮传染中平均一个人传染了几个人?
如果得不到控制,按如此的传播速度,经过三轮后将有多少人受到感染?
总结:
传播问题的基本特征是:
以相同速度逐轮传播.
解决此类问题的关键是:
明确每轮传播中的传染源个数,以及这一轮被传染的总数.
练1.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:
将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n的值是多少?
.一元二次方程的应用——增长率问题
【例2】白溪镇XX年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,XX年达到82.8公顷.
求该镇XX至XX年绿地面积的年平均增长率;
若年增长率保持不变,XX年该镇绿地面积能否达到100公顷?
总结:
增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率.
若平均增长百分率为x,增长前基数为a,增长n次后的最后产量是b,则它们的数量关系可表示为an=b,其中增长取“+”,降低取“-”,注意1与x的位置不能调换.
增长率问题中,解方程一般用直接开平方法,注意方程根的取舍问题.
练2.一种药品经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,平均每次降价的百分率是多少?
.一元二次方程的应用——与图形有关的问题
【例3】如图,在宽为20,长为32的矩形耕地上,修筑宽度一样的三条道路,把耕地分成大小相等的6块作为试验田,要使试验田面积为5042,求每条道路的宽度为多少米.
总结:
解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式,并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.
对于不规则图形的面积问题,往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形,运用规则图形的面积公式列出方程.
练3.某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABcD.
当矩形草坪面积为120平方米时候,求该矩形草坪Bc边的长.
怎样围能得到面积最大的草坪?
五、课后小测一、选择题
.九班同学毕业的时候,每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照,全班共照相片780张,则九班的人数是
A.39B.40c.50D.60
.有一人患了流感,经过两轮穿然后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人,则x的值为
A.5B.6c.7D.8
.某工厂第二季度的产值比季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比季度增长了
A.2x%B.1+2x%c.•x%D.•x%
.为提高民生,让人民更好的享受经济和社会发展的成果,今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价,其中某种药品经过再次降价,每盒下降了36%.假设每次降价的百分率相同,降价前的药品价格为100元,则次降价后的价格为
A.18元B.36元c.64元D.80元
.如图,矩形ABcD是由三个矩形拼接成的.如果AB=8,阴影部分的面积是24,另外两个小矩形全等,那么小矩形的长为
A.7B.6c.5D.4
二、填空题
.有一人患了流感,经过两轮传染后共有81人患了流感,如果不及时控制,第三轮将又有
人被传染.
.甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜,由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜,造成这种蔬菜滞销.甲菜农为加快销售,减少损失,对这种蔬菜的价格经过两次下调,最后以每千克3.2元的单价对外批发销售,则他平均每次下调的百分率是
.
.如图,某广场一角的矩形花草区,其长为40,宽为26,其间有三条等宽的路,一条直路,两条曲路,路以外的地方全部种上花草,要使花草的面积为8642,求路的宽度为
.
三、解答题
.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
10.有一人患流感,经过两轮传染后,共有49人患了流感.
求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
1.某公司一月份营业额为100万元,季度总营业额为331万元,问:
该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少?
.前一阶段,我校成功的举办了首届数学节,某种活动所需材料经过两次降价后,从原来的20元减少到12.8元,若两次降价的百分率相同,请你求出降价的百分率.
3.据媒体报道,我国XX年公民出境旅游总人数约5000万人,XX年公民出境旅游总人数约7200万人,若XX年、XX年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答如下问题:
求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
如果XX年仍保持相同的年平均增长率,请你预测XX年我国公民出境旅游总人数约多少万人?
.如图,在长为80米,宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为4524米2,则道路的宽应为多少米?
.如图,为了给小区居民增加锻炼场所,物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路,阴影部分用作绿化.当阴影部分面积为800平方米时,小路宽x为多少米.
.如图,中间用相同的白色正方形瓷砖,四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面,请观察图形并解答下列问题.
问:
依据规律在第6个图中,黑色瓷砖有 28 块,白色瓷砖有 42 块;
某新学校教室要装修,每间教室面积为682,准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面.按照此图案方式进行装修,瓷砖无须切割,恰好完成铺设.已知白色瓷砖每块20元,黑色瓷砖每块10元,请问每间教室瓷砖共需要多少元?
典例探究答案:
【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒,传染性极强,一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒,经过两轮传染后,共有121人受到感染,
问每轮传染中平均一个人传染了几个人?
如果得不到控制,按如此的传播速度,经过三轮后将有多少人受到感染?
分析:
设每轮传染中平均每人传染了x人,根据经过两轮传染后共有121人患病,可求出x,
进而求出第三轮过后,又被感染的人数.
解答:
解:
设每轮传染中平均每人传染了x人,
+x+x=121,
x=10或x=﹣12.
答:
每轮传染中平均一个人传染了10个人;
1+121×10=1331.
答:
第三轮后将有1331人被传染.
点评:
本题考查了一元二次方程的应用,先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键.
练1.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:
将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n的值是多少?
分析:
设邀请了n个好友转发倡议书,轮传播了n个人,第二轮传播了n2个人,根据两轮传播后,共有111人参与列出方程求解即可.
解答:
解:
由题意,得
n+n2+1=111,
解得:
n1=﹣11,n2=10.
故n的值是10.
点评:
本题考查了一元二次方程的应用,解答时先由条件表示出轮增加的人数和第二轮增加的人数,根据两轮总人数为111人建立方程是关键.
【例2】白溪镇XX年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,XX年达到82.8公顷.
求该镇XX至XX年绿地面积的年平均增长率;
若年增长率保持不变,XX年该镇绿地面积能否达到100公顷?
分析:
设每绿地面积的年平均增长率为x,就可以表示出XX年的绿地面积,根据XX年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可;
根据求出的年增长率就可以求出结论.
解答:
解:
设绿地面积的年平均增长率为x,根据意,得
52=82.8,
解得x1=0.2,x2=﹣2.2.
答:
增长率为20%;
由题意,得82.8=99.36
答:
XX年该镇绿地面积不能达到100公顷.
点评:
本题考查了增长率问题的数量关系的运用,关键是运用增长率的数量关系建立一元二次方程求解.
练2.一种药品经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,平均每次降价的百分率是多少?
分析:
设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格,则次降价后的价格是60,第二次后的价格是602,据此即可列方程求解.
解答:
解:
设平均每次降价的百分率是x,依题意得:
02=48.6,
解方程得:
x1=0.1=10%,x2=1.9,
答:
平均每次降价的百分率是10%.
故答案为:
10%.
点评:
此题主要考查了一元二次方程的应用﹣﹣增长率问题,关键是读懂题意,掌握公式:
“an=b”,理解公式是解决本题的关键.
【例3】如图,在宽为20,长为32的矩形耕地上,修筑宽度一样的三条道路,把耕地分成大小相等的六块作为试验田,要使试验田面积为5042,求每条道路的宽度为多少米?
分析:
试验田的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积.如果设道路宽x,可根据此关系列出方程求出x的值,然后将不合题意的舍去即可.
解答:
解:
设道路为x米宽,
由题意得20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=504,
整理得x2﹣36x+68=0,
解得x=2,x=34,
经检验x=2,x=34都是原方程的解,但是x=34>20,因此不合题意舍去.
答:
每条道路的宽度为2.
点评:
此题主要考查了一元二次方程的应用,对于面积问题应熟记各种图形的面积公式.另外应熟悉以下关系:
整体面积=各部分面积之和;剩余面积=原面积﹣截去的面积.本题也可通过平移,把分散的小路集中到一起,得到的试验田为一个矩形,由此可得出方程=504,并求解.
练3.某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABcD.
当矩形草坪面积为120平方米时候,求该矩形草坪Bc边的长.
怎样围能得到面积最大的草坪?
分析:
可设矩形草坪Bc边的长为x米,则AB的长是,根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解;
根据配方法即可得到怎样围能得到面积最大的草坪.
解答:
解:
设矩形草坪Bc边的长为x米,则
x•=120,
解得x1=12,x2=20.
故该矩形草坪Bc边的长为12米,.
s=x•=﹣x2+16x=﹣2+128,
故当矩形草坪长为16米,宽为8米的时候,所围的草坪面积最大.
点评:
本题考查了一元二次方程的应用,注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键.
课后小测答案:
一、选择题
.九班同学毕业的时候,每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照,全班共照相片780张,则九班的人数是
A.39B.40c.50D.60
解:
设九班共有x人,根据题意得:
x=780,
解之得x1=40,x2=﹣39,
答:
九班共有40名学生.
故选B.
.有一人患了流感,经过两轮穿然后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人,则x的值为
A.5B.6c.7D.8
解:
根据题意得:
1+x+x=49,
解得:
x=6或x=﹣8,
则x的值为6.
故选:
B.
.某工厂第二季度的产值比季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比季度增长了
A.2x%B.1+2x%c.•x%D.•x%
解:
根据题意得:
第三季度的产值比季度增长了•x%,
故选D
.为提高民生,让人民更好的享受经济和社会发展的成果,今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价,其中某种药品经过再次降价,每盒下降了36%.假设每次降价的百分率相同,降价前的药品价格为100元,则次降价后的价格为
A.18元B.36元c.64元D.80元
解:
∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%,
∴降价后的药品价格为100=64元,
设平均每次降价的百分率是x,依题意得:
002=64,
解方程得:
x1=0.2=20%,x2=1.8,
次降价的价格为100×=80元.
故选D.
.如图,矩形ABcD是由三个矩形拼接成的.如果AB=8,阴影部分的面积是24,另外两个小矩形全等,那么小矩形的长为
A.7B.6c.5D.4
解:
设小矩形的长为x,则小矩形的宽为8﹣x,
根据题意得:
x[x﹣]=24,
解得:
x=6或x=﹣2,
故选B.
二、填空题
.有一人患了流感,经过两轮传染后共有81人患了流感,如果不及时控制,第三轮将又有 648 人被传染.
解:
设一个患者一次传染给x人,由题意,得
x+x+1=81,
解得:
x1=8,x2=﹣10,
第三轮被传染的人数是:
81×8=648人.
故答案为:
648.
.甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜,由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜,造成这种蔬菜滞销.甲菜农为加快销售,减少损失,对这种蔬菜的价格经过两次下调,最后以每千克3.2元的单价对外批发销售,则他平均每次下调的百分率是 20% .
解:
设平均每次下调的百分率是x.
由题意,得52=3.2.
解得x1=0.2,x2=1.8,
符合题目要求的是x1=0.2=20%.
答:
平均每次下调的百分率是20%.
故答案为:
20%.
.如图,某广场一角的矩形花草区,其长为40,宽为26,其间有三条等宽的路,一条直路,两条曲路,路以外的地方全部种上花草,要使花草的面积为8642,求路的宽度为 2 .
解:
设路的宽度是x.根据题意,得
=864,
x2﹣46x+88=0,
=0,
x=2或x=44.
答:
路的宽度是2.
三、解答题
.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:
设每个支干长出的小分支的数目是x个,
根据题意列方程得:
x2+x+1=91,
解得:
x=9或x=﹣10;
∴x=9;
答:
每支支干长出9个小分支.
0.有一人患流感,经过两轮传染后,共有49人患了流感.
求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
解:
设每轮传染中平均每人传染了x人,
+x+x=49
x=6或x=﹣8.
答:
每轮传染中平均一个人传染了6个人;
×6=294.
答:
第三轮将又有294人被传染.
1.某公司一月份营业额为100万元,季度总营业额为331万元,问:
该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少?
解:
设该公司二、三月份营业额平均增长率是x.
根据题意得100+100+1002=331,
解得x1=0.1,x2=﹣3.1.
答:
该公司二、三月份营业额平均增长率是10%.
.前一阶段,我校成功的举办了首届数学节,某种活动所需材料经过两次降价后,从原来的20元减少到12.8元,若两次降价的百分率相同,请你求出降价的百分率.
解:
设平均每次降价的百分率为x,根据题意得:
02=12.8
解得:
x1=0.2,x2=1.8.
答:
每次降价的百分率为:
20%.
3.据媒体报道,我国XX年公民出境旅游总人数约5000万人,XX年公民出境旅游总人数约7200万人,若XX年、XX年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答如下问题:
求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
如果XX年仍保持相同的年平均增长率,请你预测XX年我国公民出境旅游总人数约多少万人?
解:
设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.
根据题意得:
50002=7200,
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2.
答:
这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.
如果XX年仍保持相同的年平均增长率,
则XX年我国公民出境旅游总人数为7200=7200×=8640.
答:
预测XX年我国公民出境旅游总人数约8640万人次.
.如图,在长为80米,宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为4524米2,则道路的宽应为多少米?
解:
设道路的宽应为x米.由题意得:
=4524,
化简得:
x2﹣140x+276=0,
解得:
x1=2,x2=138.
答:
道路的宽应为2米.
.如图,为了给小区居民增加锻炼场所,物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路,阴影部分用作绿化.当阴影部分面积为800平方米时,小路宽x为多少米.
解:
设小路的宽为x米,根据题意得:
=800,
解得:
x=10或x=40
答:
小路的宽为10米.
.如图,中间用相同的白色正方形瓷砖,四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面,请观察图形并解答下列问题.
问:
依据规律在第6个图中,黑色瓷砖有 28 块,白色瓷砖有 42 块;
某新学校教室要装修,每间教室面积为682,准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面.按照此图案方式进行装修,瓷砖无须切割,恰好完成铺设.已知白色瓷砖每块20元,黑色瓷砖每块10元,请问每间教室瓷砖共需要多少元?
解:
通过观察图形可知,当n=1时,黑色瓷砖有8块,白瓷砖2块;
当n=2时,黑色瓷砖有12块,白瓷砖6块;
当n=3时,黑色瓷砖有16块,用白瓷砖12块;
则在第n个图形中,黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4,白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n,
当n=6时,黑色瓷砖的块数有4×=28块,白色瓷砖有6×=42块;
故答案为:
28,42;
设白色瓷砖的行数为n,根据题意,得:
0.52×n+0.5×0.25×4=68,
解得n1=15,n2=﹣18,
白色瓷砖块数为n=240,
黑色瓷砖块数为4=64,
所以每间教室瓷砖共需要:
20×240+10×64=5440元.
答:
每间教室瓷砖共需要5440元.
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