二次微分方程的通解教学资料.docx

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二次微分方程的通解教学资料

二次微分方程的通解

第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：

使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：

二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程:

方程

y''+py'+qy=0

称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.

我们看看,能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程

y''+py'+qy=0

得

（r2+pr+q）erx=0.

由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.

特征方程:

方程r2+pr+q=0叫做微分方程y''+py'+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式

求出.

特征方程的根与通解的关系:

（1）特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数

、

是方程的两个线性无关的解.

这是因为,

函数

、

是方程的解,又

不是常数.

因此方程的通解为

.

（2）特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数

、

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.

这是因为,

是方程的解,又

所以

也是方程的解,且

不是常数.

因此方程的通解为

.

（3）特征方程有一对共轭复根r1,2=α±iβ时,函数y=e（α+iβ）x、y=e（α-iβ）x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eαxcosβx、y=eαxsinβx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.

函数y1=e（α+iβ）x和y2=e（α-iβ）x都是方程的解,而由欧拉公式,得

y1=e（α+iβ）x=eαx（cosβx+isinβx）,

y2=e（α-iβ）x=eαx（cosβx-isinβx）,

y1+y2=2eαxcosβx,

y1-y2=2ieαxsinβx,

.

故eαxcosβx、y2=eαxsinβx也是方程解.

可以验证,y1=eαxcosβx、y2=eαxsinβx是方程的线性无关解.

因此方程的通解为

y=eαx（C1cosβx+C2sinβx）.

求二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解的步骤为:

第一步写出微分方程的特征方程

r2+pr+q=0

第二步求出特征方程的两个根r1、r2.

第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.

例1求微分方程y''-2y'-3y=0的通解.

解所给微分方程的特征方程为

r2-2r-3=0,即（r+1）（r-3）=0.

其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为

y=C1e-x+C2e3x.

例2求方程y''+2y'+y=0满足初始条件y|x=0=4、y'|x=0=-2的特解.

解所给方程的特征方程为

r2+2r+1=0,即（r+1）2=0.

其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为

y=（C1+C2x）e-x.

将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而

y=（4+C2x）e-x.

将上式对x求导,得

y'=（C2-4-C2x）e-x.

再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为

x=（4+2x）e-x.

例3求微分方程y''-2y'+5y=0的通解.

解所给方程的特征方程为

r2-2r+5=0.

特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,

因此所求通解为

y=ex（C1cos2x+C2sin2x）.

n阶常系数齐次线性微分方程:

方程

y（n）+p1y（n-1）+p2y（n-2）+⋅⋅⋅+pn-1y'+pny=0,

称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2,⋅⋅⋅,pn-1,pn都是常数.

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.

引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:

L（D）=Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+⋅⋅⋅+pn-1D+pn,

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

（Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+⋅⋅⋅+pn-1D+pn）y=0或L（D）y=0.

注:

D叫做微分算子D0y=y,Dy=y',D2y=y'',D3y=y''',⋅⋅⋅,Dny=y（n）.

分析:

令y=erx,则

L（D）y=L（D）erx=（rn+p1rn-1+p2rn-2+⋅⋅⋅+pn-1r+pn）erx=L（r）erx.

因此如果r是多项式L（r）的根,则y=erx是微分方程L（D）y=0的解.

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:

L（r）=rn+p1rn-1+p2rn-2+⋅⋅⋅+pn-1r+pn=0

称为微分方程L（D）y=0的特征方程.

特征方程的根与通解中项的对应:

单实根r对应于一项:

Cerx;

一对单复根r1,2=α±iβ对应于两项:

eαx（C1cosβx+C2sinβx）;

k重实根r对应于k项:

erx（C1+C2x+⋅⋅⋅+Ckxk-1）;

一对k重复根r1,2=α±iβ对应于2k项:

eαx[（C1+C2x+⋅⋅⋅+Ckxk-1）cosβx+（D1+D2x+⋅⋅⋅+Dkxk-1）sinβx].

例4求方程y（4）-2y'''+5y''=0的通解.

解这里的特征方程为

r4-2r3+5r2=0,即r2（r2-2r+5）=0,

它的根是r1=r2=0和r3,4=1±2i.

因此所给微分方程的通解为

y=C1+C2x+ex（C3cos2x+C4sin2x）.

例5求方程y（4）+β4y=0的通解,其中β>0.

解这里的特征方程为

r4+β4=0.

它的根为

.

因此所给微分方程的通解为

.

二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程:

方程

y''+py'+qy=f（x）

称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解y=Y（x）与非齐次方程本身的一个特解y=y*（x）之和:

y=Y（x）+y*（x）.

当f（x）为两种特殊形式时,方程的特解的求法:

一、f（x）=Pm（x）eλx型

当f（x）=Pm（x）eλx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q（x）eλx,将其代入方程,得等式

Q''（x）+（2λ+p）Q'（x）+（λ2+pλ+q）Q（x）=Pm（x）.

（1）如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根,则λ2+pλ+q≠0.要使上式成立,Q（x）应设为m次多项式:

Qm（x）=b0xm+b1xm-1+⋅⋅⋅+bm-1x+bm,

通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,bm,并得所求特解

y*=Qm（x）eλx.

（2）如果λ是特征方程r2+pr+q=0的单根,则λ2+pλ+q=0,但2λ+p≠0,要使等式

Q''（x）+（2λ+p）Q'（x）+（λ2+pλ+q）Q（x）=Pm（x）.

成立,Q（x）应设为m+1次多项式:

Q（x）=xQm（x）,

Qm（x）=b0xm+b1xm-1+⋅⋅⋅+bm-1x+bm,

通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,bm,并得所求特解

y*=xQm（x）eλx.

（3）如果λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则λ2+pλ+q=0,2λ+p=0,要使等式

Q''（x）+（2λ+p）Q'（x）+（λ2+pλ+q）Q（x）=Pm（x）.

成立,Q（x）应设为m+2次多项式:

Q（x）=x2Qm（x）,

Qm（x）=b0xm+b1xm-1+⋅⋅⋅+bm-1x+bm,

通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,bm,并得所求特解

y*=x2Qm（x）eλx.

综上所述,我们有如下结论:

如果f（x）=Pm（x）eλx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f（x）有形如

y*=xkQm（x）eλx

的特解,其中Qm（x）是与Pm（x）同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.

例1求微分方程y''-2y'-3y=3x+1的一个特解.

解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f（x）是Pm（x）eλx型（其中Pm（x）=3x+1,λ=0）.

与所给方程对应的齐次方程为

y''-2y'-3y=0,

它的特征方程为

r2-2r-3=0.

由于这里λ=0不是特征方程的根,所以应设特解为

y*=b0x+b1.

把它代入所给方程,得

-3b0x-2b0-3b1=3x+1,

比较两端x同次幂的系数,得

-3b0=3,-2b0-3b1=1.

由此求得b0=-1,

.于是求得所给方程的一个特解为

.

例2求微分方程y''-5y'+6y=xe2x的通解.

解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f（x）是Pm（x）eλx型（其中Pm（x）=x,λ=2）.

与所给方程对应的齐次方程为

y''-5y'+6y=0,

它的特征方程为

r2-5r+6=0.

特征方程有两个实根r1=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为

Y=C1e2x+C2e3x.

由于λ=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为

y*=x（b0x+b1）e2x.

把它代入所给方程,得

-2b0x+2b0-b1=x.

比较两端x同次幂的系数,得

-2b0=1,2b0-b1=0.

由此求得

b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为

.

从而所给方程的通解为

.

提示:

y*=x（b0x+b1）e2x=（b0x2+b1x）e2x,

[（b0x2+b1x）e2x]'=[（2b0x+b1）+（b0x2+b1x）⋅2]e2x,

[（b0x2+b1x）e2x]''=[2b0+2（2b0x+b1）⋅2+（b0x2+b1x）⋅22]e2x.

y*''-5y*'+6y*=[（b0x2+b1x）e2x]''-5[（b0x2+b1x）e2x]'+6[（b0x2+b1x）e2x]

=[2b0+2（2b0x+b1）⋅2+（b0x2+b1x）⋅22]e2x-5[（2b0x+b1）+（b0x2+b1x）⋅2]e2x+6（b0x2+b1x）e2x

=[2b0+4（2b0x+b1）-5（2b0x+b1）]e2x=[-2b0x+2b0-b1]e2x.

方程y''+py'+qy=eλx[Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx]的特解形式

应用欧拉公式可得

eλx[Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx]

其中

.而m=max{l,n}.

设方程y''+py'+qy=P（x）e（λ+iω）x的特解为y1*=xkQm（x）e（λ+iω）x,

则

必是方程

的特解,

其中k按λ±iω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.

于是方程y''+py'+qy=eλx[Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx]的特解为

=xkeλx[R

（1）m（x）cosωx+R

（2）m（x）sinωx].

综上所述,我们有如下结论:

如果f（x）=eλx[Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx],则二阶常系数非齐次线性微分方程

y''+py'+qy=f（x）

的特解可设为

y*=xkeλx[R

（1）m（x）cosωx+R

（2）m（x）sinωx],

其中R

（1）m（x）、R

（2）m（x）是m次多项式,m=max{l,n},而k按λ+iω（或λ-iω）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.

例3求微分方程y''+y=xcos2x的一个特解.

解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,

且f（x）属于eλx[Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx]型（其中λ=0,ω=2,Pl（x）=x,Pn（x）=0）.

与所给方程对应的齐次方程为

y''+y=0,

它的特征方程为

r2+1=0.

由于这里λ+iω=2i不是特征方程的根,所以应设特解为

y*=（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x.

把它代入所给方程,得

（-3ax-3b+4c）cos2x-（3cx+3d+4a）sin2x=xcos2x.

比较两端同类项的系数,得

b=0,c=0,

.

于是求得一个特解为

.

提示:

y*=（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x.

y*'=acos2x-2（ax+b）sin2x+csin2x+2（cx+d）cos2x,

=（2cx+a+2d）cos2x+（-2ax-2b+c）sin2x,

y*''=2ccos2x-2（2cx+a+2d）sin2x-2asin2x+2（-2ax-2b+c）cos2x

=（-4ax-4b+4c）cos2x+（-4cx-4a-4d）sin2x.

y*''+y*=（-3ax-3b+4c）cos2x+（-3cx-4a-3d）sin2x.

由

得

b=0,c=0,

.