1718版 第2章 211 平面.docx
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1718版第2章211平面
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.(难点)
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1 平面
阅读教材P40~P41“思考”以上的内容,完成下列问题.
1.平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
2.平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图211①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图211②.
图① 图②
图211
3.平面的表示法
图211①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
下列说法:
①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100m,宽是90m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.
其中正确的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
【解析】 ①错误,因为平面具有延展性;②错误,平面无厚度;③错误,因为平面无厚度、大小之分;④正确,符合平面的概念.
【答案】 B
教材整理2 平面的基本性质
阅读教材P41“思考”以下至P43“例1”以上的内容,完成下列问题.
公理
内容
图形
符号
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线⇒存在惟一的α使A,B,C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)三点可以确定一个平面.( )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.( )
(3)四边形是平面图形.( )
(4)两条相交直线可以确定一个平面.( )
【解析】
(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.
(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.
(3)错误.四边形不一定是平面图形.
(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.
【答案】
(1)×
(2)× (3)× (4)√
[小组合作型]
文字语言、图形语言、符号语
言的相互转化
根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B∉α;
(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;
(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.
【精彩点拨】 解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”,“∉”,“⊂”,“⊄”,“∩”的意义,在此基础上,由已知给出的符号表示语句,写出相应的点、线、面的位置关系,画出图形.
【自主解答】
(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上;
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图
(1),
(2),(3)所示.
图
(1) 图
(2) 图(3)
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.
3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
[再练一题]
1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
图212
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;
(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.
【解】
(1)点P∈直线AB;
(2)点C∉直线AB;
(3)点M∈平面AC;(4)点A1∉平面AC;
(5)直线AB∩直线BC=点B;
(6)直线AB⊂平面AC;
(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.
点、线共面问题
已知四条直线两两相交,且不共点,求证:
这四条直线在同一平面内.
【精彩点拨】 四条直线两两相交且不共点,可能有两种情况:
一是有三条直线共点;二是任意三条直线都不共点,故要分两种情况.
【自主解答】 已知:
a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:
a,b,c,d四线共面.
证明:
(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,∵O∉d,
∴经过d与点O有且只有一个平面α.
∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点,
∴A、B、C三点在平面α内.
由公理1知a、b、c都在平面α内,
故a、b、c、d共面.
(2)若a、b、c、d无三线共点,如图所示,
∵a∩b=A,
∴经过a、b有且仅有一个平面α,
∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.
同理,d⊂α,从而有a、b、c、d共面.
综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.
证明点线共面常用的方法
1.纳入法:
先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.
2.重合法:
先说明一些直线在一个平面内,另一些直线也在另一个平面内,再证明两个平面重合.
[再练一题]
2.已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:
过a,b,l有且只有一个平面.
【证明】 如图所示,由已知a∥b,所以过a,b有且只有一个平面α.设a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l,∴l⊂α.即过a,b,l有且只有一个平面.
[探究共研型]
点共线与线共点问题
探究1 如图213,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E在平面A1BCD1内?
图213
【提示】 如图,连接BD1,
∵A1C∩平面ABC1D1=E,
∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.
∵A1C⊂平面A1BCD1,
∴E∈平面A1BCD1.
探究2 上述问题中,你能证明B,E,D1三点共线吗?
【提示】 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1,又E∈BD1,根据公理3可知B,E,D1三点共线.
如图214,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:
D,A,Q三点共线.【导学号:
97602006】
图214
【精彩点拨】 欲证D、A、Q三点共线,只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可.
【自主解答】 ∵MN∩EF=Q,
∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,
又∵M∈直线CD,N∈直线AB,
CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD,
∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理,可得EF⊂平面ADD1A1.
∴Q∈平面ADD1A1,
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
点共线与线共点的证明思路
1.点共线的思路:
证明这些点都分别在两个相交的平面内,因此也在两个平面的交线上.
2.线共点的思路:
先由两条直线交于一点,再证明该点在第三条直线上.
[再练一题]3.如图215,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:
E,F,G,H四点必定共线.【导学号:
09960044】
图215
【证明】 ∵AB∥CD,
∴AB,CD确定一个平面β,
又∵AB∩α=E,AB⊂β,
∴E∈α,E∈β,
即E为平面α与β的一个公共点.
同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,
∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,
∴E,F,G,H四点必定共线.
1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是( )
A.A∈l,l∉α B.A∈l,l⊄α
C.A⊂l,l⊄αD.A⊂l,l∉α
【解析】 点与直线,直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”表示.
【答案】 B
2.下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形;②若四边形的两对角线相交于一点,则该四边形是平面图形;③圆心和圆上两点可确定一个平面;④三条平行线最多可确定三个平面.
A.1B.2
C.3D.4
【解析】 ③中若圆心和圆上两点共线时,可以作出无数个平面,故①②④正确,故选C.
【答案】 C
3.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=________.
【解析】 ∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.
【答案】 C
4.有以下三个说法:
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;
②直线l在平面α内,可以用符号“l∈α”表示;
③已知平面α与β不重合,若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交.
其中正确的序号是________.
【解析】 若直线与平面有两个公共点,则这条直线一定在这个平面内,故①正确;直线l在平面α内用符号“⊂”表示,即l⊂α,②错误;由a与b相交,说明两个平面有公共点,因此一定相交,故③正确.
【答案】 ①③
5.如图216,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:
AB,CD,l共点(相交于一点).
图216
【证明】 ∵梯形ABCD,AD∥BC,
∴AB,CD是梯形ABCD的两腰,
∴AB,CD必定相交于一点.
如图,设AB∩CD=M.
又∵AB⊂α,CD⊂β,
∴M∈α,且M∈β,
∴M∈α∩β,
又∵α∩β=l,
∴M∈l,
即AB,CD,l共点.
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