中考数学复习指导《图形的相似》专题复习指导.docx
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中考数学复习指导《图形的相似》专题复习指导
《图形的相似》专题复习指导
图形的相似是集中研究图形形状的内容.在探索图形相似的条件和重要性质的过程中,不仅可以使我们更好的认识、描述物体的形状,体会相似图形在刻画现实世界中的重要作用,而且也可以通过解决实际生活中的具体问题,提高我们应用数学的意识和能力.相似知识有着非常重要的实用价值,如建设某项工程或制造某种产品,先要设计模型或制作图纸,这种模型{或图形}与实物一般是相似形,看地形、搞测绘,进一步学习和实际工作都需要懂得相似形的有关知识.因此,我们很有必要对图形的相似这部分知识内容进行回顾与总结.
一、课标要求
1、进一步了解线段的比、成比例线段的概念和比例的基本性质,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割的意义.
2、通过具体实例认识图形的相似,知道相似与轴对称、平移、旋转一样,也是图形之间的一种变换;确认相似图形的特征,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例以及面积比的关系;探索两个三角形相似的条件及其主要性质.
3、了解图形的位似,能利用位似的方法,将一个图形放大或缩小.
4、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,能利用相似图形的特征和性质解决一些实际问题(如利用相似知识测量高度、宽度等).
5、在观察、操作、推理、归纳等探究过程中,发展我们的合情推理能力,进一步培养我们数学说理的习惯与能力,形成一定的推理格式.
二、知识网络结构
三、重点、难点及知识要点
本章重点熟练掌握相似三角形的定义、判定方法及其性质.
本章难点线段成比例问题,找准相似三角形的对应元素,灵活选择不同的判定方法与性质去解决相似三角形的相关问题和实际问题.
知识要点
1、相似图形:
形状相同、大小不一定相同的图形,叫做相似图形.
2、相似多边形:
对应角相等、对应边成比例的两个多边形,叫做相似多边形.相似多边形的定义也是判别两个多边形相似的重要依据.
3、成比例线段:
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即
=
(或a∶b=c∶d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
4、比例的基本性质:
若
=
,则ad=bc;利用比例的基本性质,可以将任何一个比例式进行多种变式.
5、相似三角形的定义:
对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比,也叫相似系数,通常用字母k表示;全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形.
6、相似三角形的判定方法
(1)定义:
对应角相等,对应边成比例的三角形相似.(这种方法一般不常用)
(2)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
(4)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
(5)如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似(此知识常用,但用时需要证明).
7、相似三角形的性质
(1)对应角相等,对应边成比例.
(2)对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比.
(3)周长的比等于相似比.
(4)面积的比等于相似比的平方.
8、相似三角形的应用
相似三角形的知识在实际中应用非常广泛,主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度.
9、黄金分割就是把一条线段分成两部分,其中较长线段与较短线段之比,恰好等于整条线段与较长线段的比,其数字比为1.618∶1或1∶0.618;黄金分割是一个古老的数学方法,在现实中恰当的运用它,往往能收到意想不到的效果.艺术家们应用它创造出更加令人神奇的艺术珍品;设计师们应用它,设计出巧夺天工的建筑;有人曾断言:
“宇宙万物,凡符合黄金分割的,总是最美的物体.”
10、位似图形作为一种特殊的相似图形,是最重要的图形之一.但相似图形未必都能够成位似关系.所谓位似图形,是指两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,此时的这个点叫做位似中心,相似比又称为位似比.位似图形具有相似图形的所有性质,利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小.
与相似图形相比,位似图形的最大特点就在于,它可以通过方格纸、橡皮筋等简单的工具作出来.比如将一个图形上的各个点的坐标(x,y)同时放大3倍,即变为(3x,3y),那么此时得到的图形就是原来图形的位似图形,位似比为3.在位似变换下每一对位似对应点的连线与位似中心共线;位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.决定一个图形的位似图形位置的主要因素是位似中心和位似似比.画一个图形的位似图形,关键在于画出图形的特殊点经过变换后的对应点,然后顺次连接这些对应点即可.在复习中,我们要亲手实践、经历将一个图形放大或缩小的过程,这样对培养我们的动手操作能力和进一步提高对图形的认识很有帮助.
四、数学思想方法小结
1、类比思想:
本章的相似三角形是在全等三角形及相似多边形的基础上演变而来的,由相似多边形的定义通过类比可联想到相似三角形的定义,由全等三角形的判别通过类比可联想到相似三角形的判别,还可以利用类比思想掌握相似三角形的性质.
2、转化思想:
平行线与比例线段之间在证题中的相互作用,可促使图形的位置关系和数量关系之间互相转化;利用比例线段可以解决许多与日常生活联系密切的实际问题,因此要善于根据条件通过判别相似三角形,将各种类型的应用问题化归为比例问题来解决;另外,研究相似多边形的方法一般是将多边形的问题,经过有限分割,使之转化为三角形的问题,这种将多边形分割转化的思想方法是数学中的一种重要思想方法.
3、分类讨论思想:
当问题含有多种可能情况时,就必须按所有情况进行分类讨论.由于三角形相似条件的多样性和相似三角形知识的综合性,与其相关的问题存在多种情况的现象比较普遍(如两个相似三角形的边、角的对应方式不确定等),这就需要对各种情况进行一一讨论.
4、数形结合思想:
如果把图形的变换放在直角坐标系或网格中进行研究,或者将一个图形放大或缩小,数形结合思想就起着十分重要的作用.
5、一般到特殊的思想:
从图形相似到位似的认识过程本身就是一个从一般到特殊的过程,从下面图形的转化中也可以看到相似三角形中由一般到特殊的认识规律.
6、变换思想:
现实世界中的物体本来就是运动和变化的,它们的位置和运动形式不断在改变,而变换成为处理图形问题的有力工具.相似和位似都是图形之间的一种变换,在位似变换下每一对位似对应点与位似中心共线.
五、应注意的几个问题
1、线段的比是线段长度的比,是关于线段比值的运算结果,是一个没有单位的正数,其实质就是
=k,它表示a是b的k倍,k是正数.比与所选线段的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位要一致.
2、线段a、b、c、d成比例是有顺序的,表示为a∶b=c∶d,判断四条线段是否成比例,应先将四线段的长度单位统一,然后再将四线段按大小顺序排列好,再判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比.
3、在证两个三角形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边,如图所示的两个
三角形中,若∠A=∠A′,∠B=∠B′,这时可记作△ABC
∽△A′B′C′,从而得∠C=∠C′,且
.
4、对于相似比这个概念,应注意顺序问题和对应问题,即若△ABC∽△DEF的相似比为k,则△DEF∽△ABC的相似比为
;还要注意防止出现“面积比=相似比“的错误,在由相似比求面积时,面积比=相似比的平方;反之,在由面积比求相似比时,相似比=
.
5、在运用相似多边形的特征解题时,要特别注意它们是对应边才成比例,是对应角才相等.即就是说:
不是对应边不成比例,不是对应角不相等.
6、在判别两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角,公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用;寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形(或构造成比例的线段);或利用特征图形(如公共边、角的两个三角形)找相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形;或利用分别等于中间比的两个比相等实现对等比进行转移;判别三角形相似的方法有时单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可.
7、应用相似三角形的性质求解实际问题时,往往都会与实际事物联系在一起,因此为了研究问题的方便,通常应根据题意,发挥丰富的想象,画出合乎题意的几何图形,从而将已知与未知有机地结合起来,使问题的求解得以顺利进行.
六、典例解析
例1下列语句错误的是().
A、相似图形不一定是位似图形B、位似图形一定是相似图形
C、同一底片冲洗出的两张照片是位似图形
D、放幻灯时,底片上的图形和银幕上的图形是位似图形
分析:
本题考查两个相近概念的识别.根据位似图形的定义知:
(1)位似图形一定是相似图形;
(2)每组对应点所在直线经过同一点的相似图形是位似图形;(3)每组对应点所在直线不经过同一点的相似图形不是位似图形.
解:
选项A用“不一定是”来概括,无疑是正确的;由于选项B符合
(1),B正确;而C中同一底片冲洗出的两张照片尽管是相似图形,它既可能符合
(1),又可能符合
(2),但却用“是”来概括,显然是错误的;因为沿直线传播的光线,把底片上的图形照射在银幕上,发出光线的光源就是每组对应点所在直线的会聚点,即都“经过同一点”,所以D是正确的.故答案选C.
评注:
正确理解和掌握概念是学习数学的基础.概念不清,就容易陷入思维混乱,导致判断、推理或理解错误.此题是一道概念辨析题,解答时,必须分清相似图形和位似图形的区别与联系,抓住其本质特征,否则,就易出错.
例2如图,已知△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条
件中:
①∠ACP=∠B,②∠APC=∠ACB,③AC2=AP·AB.
④AB·CP=AP·CB.能使△APC∽△ACB的条件是().
A、①②④B、①③④C、②③④D、①②③
分析:
此题探索三角形相似的条件.由于∠A为公共角,可以考虑利用两对对应角相等或两边对应成比例且夹角相等来判定,因此应选D.
评注:
熟练应用相似三角形的判定方法,关键抓住两点:
(1)判定两个三角形相似的常规思路:
①先找两对对应角相等;②若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;③若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.
(2)借助图形找三角形相似的环节:
①有平行线的可围绕平行线找相似;②有公共角或相等角的可围绕角做文章,再找其他相等的角或对应边成比例;③有公共边的可将图形旋转,观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边.
例3一个钢筋三角架边长分别是30cm,75cm,90cm,现在要做一个与其相似的三角形钢筋架,而只有长为45cm和75cm的两根钢筋,要求以其中一根为边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有______种.
分析:
由“三角形任意两边的和大于第三边”知,长为75cm的钢筋不能作为三角形钢筋架的一边,即必须将75cm长的钢筋截成两段;另外,长为45cm的钢筋不可能作为三角形钢筋架的最短边(因为
<45),但它既可以作最长边,也可以作次长边.因此要分类讨论.
解:
(1)当长为45cm的钢筋作最长边时,可设另外两边长为xcm,ycm,于是对应边的比为:
.解得x=15,y=37.5.(x+y<75)
(2)当长为45cm的钢筋作次长边时,可设另外两边长为mcm,ncm,于是对应边的比为:
.解得m=18,n=54.(m+n<75).
综上,符合该题的不同截法有2种.
评注:
当涉及到三角形相似,未指明对应顶点、对应边、对应角时,需分情况讨论.分类讨论既是一种数学思想,又是一种解题方法.当问题含多种可能情况时,就必须按所有情况进行分类讨论.正确运用分类讨论解题,可有效地防止漏解或失误,培养思维的严密性.
例4如图
(1),在一个3×5的正方形网格中,
△ABC的顶点A,B,C在单位正方形顶点上,请你
在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似
不为1),而且A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.
分析:
这是一道利用相似三角形的判定方法作图的开放题,满足条件的图形较多,不要盲目地去画图,关键要抓住已知图形△ABC的特征,如∠ABC=135°,这样就容易找到解题的突破口.
解:
如图
(1)知∠ABC=150°,不妨设单位正方
形的边长为1个单位,则AB∶BC=1∶
,由此推断,
所画三角形必有一角为135°,且夹该角的两边之比为
1∶
,也可以把这一比值看作
∶2,2∶2
等,
以此为突破口,在图中连出
和2,2和2
等线段,即得△EDA∽△AMN∽△GFC∽△ABC,如图
(2)所示.
评注:
此题答案有多种.解此题的关键是认真分析图形,找准切入点,利用所学的知识解决;在判定三角形相似时,要灵活应用定理,如本题若用“两角对应相等,两三角形相似”则较难;通过本题可加强我们对数学素质和数学能力的培养.
例5如图所示,已知平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2.
(1)求△AEF与△CDF的周长之比;
(2)如果S△AEF=6cm2,求S△CDF.
分析:
由
(1)问,欲求△AEF与△CDF的周长比,可找其中
一组对应边之比,结合已知条件,可求对应边AE与CD之比,而
平行四边形ABCD中,CD=AB,因此可先求AE与AB之比.
解:
(1)∵AE∶EB=1∶2,∴AE∶AB=1∶3.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD.∴AE∶CD=AE∶AB=1∶3.又∵平行四边形ABCD中,AB‖CD,∴△AEF∽△CDF,∴△AEF的周长∶△CDF的周长=1∶3.
(2)∵△AEF∽△CDF,∴S△AEF∶S△CDF=1∶9.∵S△AEF=6,∴S△CDF=6×9=54(cm2).
评注:
本题主要考查了相似三角形的“周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方”这两个重要性质.在求相似比时,巧妙地运用了平行四边形的特征把已知线段的比转化成相似三角形对应边的比.
例6在湖的两岸A、B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A、B两点的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计测量方案.
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)计算AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示).
分析:
此题要求设计测量“不能直接达到的两点间的距离”的方
案.若用相似形的知识解决,关键是构造相似三角形,构造的相似形
可以为“A”字形的,也可以构成“X”型的,并测量出必要的数据,
然后根据相似形的性质定理求出所要求的两点间的距离.
解:
利用相似三角形的知识求解,图案如右图.步骤为:
①在地
上找一个可以直接到达A、B的一点P;②找到AP、BP的中点M、
N,③测出MN=a,由MN∥AB,则△MNP∽△ABP,得AB=2a.
评注:
这是一道方案设计题,又是一道策略开放题,其开放程度较大,解题策略较多,可利用相似三角形、全等三角形、三角函数、解直角三角形、三角形中位线等知识和方法来设计方案并加以解决.它将书本知识与现实生活有机结合,既反映了数学来源于生活实践,又有利于激发学生的学习热情,培养学生的创新能力.
例7某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去.例如,可以定义:
“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质:
弧长比等于半径比,面积比等于半径比的平方.
请你协助他们探索这个问题.
(1)写出判定扇形相似的一种方法;若,则两个扇形相似.
(2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半径为a、弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为.
(3)左图是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB长为30cm,现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇(右图),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径.
分析:
本题是以研究性学习小组研究、发现、拓展相似形问题为素材编拟的一道阅读理解题.解题时,需联想相似三角形的定义、判定和性质,结合利用阅读材料中所给相似扇形的定义与性质的示例,类比求解所考查的问题.
解:
(1)答案不唯一,例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”.
(2)2m.
(3)∵两个扇形相似,∴新扇形的圆心角为120°.设新扇形的半径为r,
则(
)2=
.解得r=15
,即新扇形的半径为15
cm.
评注:
本题是运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移,从而掌握符合问题的条件及其性质的运用,这类题型既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力,又能考查学生的自学能力,信息的收集、迁移和应用能力,这种渗透着新课程理念的创新题,应引起大家的关注.
例8如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿
AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D
开始向点A以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)
表示移动的时间(0≤t≤6),那么,
(1)当t为何值时,△QAP为等
腰直角三角形;
(2)求四边形QAPC面积,并提出一个与计算结果.
有关的结论;(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
分析:
这是一道富有创意、综合性较强、集点动型与线动型于一体的动态几何探究题.对于动点问题,都是假设动点运动到某一位置时的静态下来研究的.许多相似形问题中常常渗透函数知识、方程知识,要注意它们的综合运用.
解:
(1)对任何时刻t,有AP=2t,DQ=t,QA=6-t,当QA=AP时,△QAP为等腰直角三角形,即6-t=2t,解得t=2(s).
(2)在△QAC中,S△QAC=
QA·DC=
(6-t)·12=36-6t,
在△APC中,S△APC=
·AP·BC=
·2t·6=6t,
∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36(cm2).
由计算结果知,在P、Q两点移动过程中,四边形QAPC面积不变.
(3)根据题意,可分两种情况来研究,在矩形ABCD中,
①当
时,△QAP∽△ABC,则
,解得t=1.2s.
所以t=1.2s时,△QAP∽△ABC.
②当
时,△PAQ∽△ABC,则
,解得t=3(s).
所以t=3s时,△PAQ∽△ABC.
评注:
本题将“函数——几何——动点”相结合,它要求我们具有较扎实的数学功底和良好的探究心理,把握几何图形的运动过程,关注运动变化中的特殊位置,利用“动”与“静”相互结合、相互转化的规律,分析、解决问题.
例9有一块直角三角形木板如图所示,已知∠C=90°,AB=
5cm,BC=3cm,AC=4cm,根据需要,要把它加工成一个面积最
大的正方形木板,设计一个方案,应怎样裁,才能使正方形木板面
积最大?
并求出这个正方形木板的边长.
分析:
这道实际操作应用题,可用相似形知识加以解决.要
在三角形内裁出正方形,且使其面积最大,则此正方形的四个顶点
均应在△ABC的三边上,一般地,这四个顶点中必有两个顶点落在
△ABC的同一边上,另外两个顶点则分别落在其余两边上;又因为
此题中有∠C=90°,所以裁剪方案有两种:
一种是正方形的两个顶
点在直角△ABC的斜边上,另两个顶点分别在两条直角边上,如图
(1);另一种是借助直角△ABC的直角∠C,使正方形的直角与三角
形的直角∠C重合,正方形的第四个顶点在斜边上,如图
(2).只
要计算出两种方案中正方形的边长,再比较大小即可得出最佳方案.
解 :
如图
(1)所示,设正方形DEFG的边长为xcm,过点C作CM⊥AB于M,交DE于N.∵S△ABC=
AC·BC=
AB·CM,
∴AC·BC=AB·CM,即3×4=5×CM,∴CM=
.
∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,
∴
,即
,∴x=
.
如图
(2)所示,设正方形CDEF的边长为ycm,
∵EF∥AC,∴△BFE∽△BCA,
∴
=
,即
,
∴y=
,∵x=
,y=
=
,
∴x<y.
∴当按图
(2)的方案裁剪时,正方形的面积最大,其边长为
cm.
评注:
这是一道实际背景下的应用题,具有一定的开放性,运用三角形的有关知识解决这种实际问题时,首先应读懂题意,通过分析,画出从实际问题中抽象出来的几何图形,然后构思可能的方案,再利用相似的知识进行计算、比较,从中选出最佳的设计方案,在进行计算时,用到了相似三角形对应高的比等于相比和相似三角形的对应边成比例的性质.从本题可以看出,相似三角形知识在实际生产、生活中有非常重要的应用.
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