新高三暑期作业高考复习方法策略17讲第一阶段 阶段检测.docx
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新高三暑期作业高考复习方法策略17讲第一阶段阶段检测
阶段检测
(一)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.复数z=m-i(i为虚数单位,m∈R),若z2=-2i,则复数z的模为________.
2.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的初相是________.
3.设a>1,集合A=,B={x|x2-(1+a)x+a<0}.若A⊆B,则a的取值范围是________.
4.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10=________.
5.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的__________.(选填“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分也不必要条件”)
6.若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),若m⊥n,则∠C等于__________.
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________.
8.已知cos=,则sin=________.
9.已知f(x)=a-是定义在(-∞,-1]∪[1,+∞)上的奇函数,则f(x)的值域为________.
10.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠-},则(其中a>b)的最小值为________.
11.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是________.
12.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题:
①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β;
②若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;
③若α∥β,l∥α,则l∥β;
④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.
其中真命题是________.
13.点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________.
14.设等差数列{an}满足:
公差d∈N*,an∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.若a1=35,则d的所有可能取值之和为________.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)已知α∈,sinα=.
(1)求sin的值;
(2)求cos的值.
16.(14分)如图,正三棱柱ABC—A1B1C1中,点D是BC的中点.
(1)求证:
AD⊥平面BCC1B1;
(2)求证:
A1C∥平面AB1D.
17.(14分)某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地,市政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别用x表示y和S的函数关系式,并给出定义域;
(2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.
18.(16分)如图,正方形ABCD内接于椭圆+=1(a>b>0),且它的四条边与坐标轴平行,正方形MNPQ的顶点M,N在椭圆上,顶点P,Q在正方形的边AB上,且A,M都在第一象限.
(1)若正方形ABCD的边长为4,且与y轴交于E,F两点,正方形MNPQ的边长为2.
①求证:
直线AM与△ABE的外接圆相切;
②求椭圆的标准方程.
(2)设椭圆的离心率为e,直线AM的斜率为k,求证:
2e2-k是定值.
19.(16分)已知函数f(x)=ax2+2bx-2lnx(a≠0),且f(x)在x=1处取得极值.
(1)试找出a,b的关系式;
(2)若函数f(x)在x∈上不是单调函数,求a的取值范围;
(3)求函数f(x)在x∈的图象上任意一点处的切线斜率k的最大值.
20.(16分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(p,q为常数,n∈N*),且a1=2,a2=1,a3=q-3p.
(1)求p,q的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)是否存在正整数m,n,使<成立?
若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.
阶段检测
(二)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.设U为全集.A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的________条件.
2.已知复数z=(i是虚数单位),则复数z所对应的点位于复平面的第________象限.
3.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8,9,10,10,8,则该组数据的方差是________.
4.定义在R上的函数f(x),对任意x∈R有f(x+2)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=4x,则f(2013)=________.
5.在等差数列{an}中,若a3+a5+a7=6,则其前9项和S9的值为________.
6.已知p:
|x-a|<4;q:
(x-2)(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.
7.将函数y=sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,所得到的图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为________.
8.已知实数x∈[1,8],执行如图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为________.
9.在△ABC中,若9cos2A-5cos2B=4,则的值为______.
10.在菱形ABCD中,AB=2,∠B=,=3,=3,则·=________.
11.已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,则的取值范围是__________.
12.已知0loga(3y-x+2),且λ<2x+y,则λ的最大值为__________.
13.设P(x,y)为函数y=x2-1(x>)图象上一动点,记m=+,则当m最小时,点P的坐标为________.
14.若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是______________________________________________________.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).
(1)若a∥b,求tanθ的值;
(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.
16.(14分)如图,在三棱锥P—ABC中,BC⊥平面PAB.已知PA=AB,点D,E,分别为PB,BC的中点.
(1)求证:
AD⊥平面PBC;
(2)若F在线段AC上,满足AD∥平面PEF,求的值.
17.(14分)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,ABCD(AB>AD)为长方形薄板,沿AC折叠后,AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能,凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.
(1)设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;
(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?
(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
18.(16分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
19.(16分)已知函数f(x)=x3-mx2-x+m,其中m∈R.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f′(x2)|≤4,求实数m的取值范围;
(3)求函数f(x)的零点个数.
20.(16分)已知数列{an}中,a2=a(a为非零常数),其前n项和Sn满足:
Sn=(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a=2,且a-Sn=11,求m,n的值;
(3)是否存在实数a,b,使得对任意正整数p,数列{an}中满足an+b≤p的最大项恰为第3p-2项?
若存在,分别求出a与b的取值范围;若不存在,请说明理由.
阶段检测
(一)
1. 2. 3.a≥3 4.60
5.充要条件 6.60° 7.[2,+∞)
8.- 9.∪
10.6 11.(,+∞) 12.②④
13. 14.364
15.解
(1)因为α∈,sinα=,
所以cosα=-=-.
故sin=sincosα+cossinα
=×+×=-.
(2)由
(1)知sin2α=2sinαcosα
=2××=-,
cos2α=1-2sin2α=1-2×=,
所以cos=coscos2α+sinsin2α
=×+×=-.
16.证明
(1)因为△ABC是正三角形,而D是BC的中点,所以AD⊥BC.
因为ABC—A1B1C1是正三棱柱,
所以,平面ABC⊥平面BCC1B1.
又BC是两个相互垂直的平面ABC与面BCC1B1的交线,且AD⊂面ABC,
所以AD⊥面BCC1B1.
(2)连结A1B,设AB1∩A1B=E,
则E为A1B的中点,连结DE,由D是BC的中点,
得DE∥A1C.
又DE⊂面AB1D,
且A1C⊄面AB1D,
所以A1C∥平面AB1D.
17.解
(1)由已知xy=3000,
∴y=,其定义域是(6,500).
S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,
∵2a+6=y,∴a=-3=-3,
∴S=(2x-10)·=3030-,
其定义域是(6,500).
(2)S=3030-≤3030-2=3030-2×300=2430,
当且仅当=6x,即x=50∈(6,500)时,上述不等式等号成立,
此时,x=50,y=60,Smax=2430.
答 使运动场地宽为50米,长为60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.
18.
(1)①证明 依题意:
A(2,2),M(4,1),E(0,-2),
∴=(2,-1),=(-2,-4),
∴·=0,∴AM⊥AE.
∵AE为Rt△ABE外接圆直径,
∴直线AM与△ABE的外接圆相切.
②解 由
解得椭圆标准方程为+=1.
(2)解 设正方形ABCD的边长为2s,正方形MNPQ的边长为2t,则A(s,s),M(s+2t,t),
代入椭圆方程+=1,
得⇒
∴e2=1-=.
∵k==,
∴2e2-k=2为定值.
19.解
(1)f(x)=ax2+2bx-2lnx,
得f′(x)=2ax+2b-,
因为f(x)在x=1处取得极值,
所以f′
(1)=0,
故2a+2b-2=0,即b=1-a.
(2)因为函数f(x)在x∈上不是单调函数,
所以f′(x)=0在内有解,即ax2+bx-1=0,亦即ax2+(1-a)x-1=0在内有解,
由ax2+(1-a)x-1=0,
得x=1,或x=-,
所以0<-<,解得a<-2.
(3)因为k=f′(x)=2ax+2b-
=2,
①当-4≤a<0或a>0时,
k′=2(a+),
因为x∈,所以k′≥0恒成立,
所以k在x∈上单调递增,
所以x=时,kmax=-a-2;
②当a<-4时,有0<<,
所以-ax+≥2,
所以ax-≤-2,当且仅当x=时,等号成立.
所以k=2≤2(1-a-2)=2-2a-4,
综上所述:
kmax=
20.解
(1)由题意,知
即解之得
(2)由
(1)知,Sn+1=Sn+2,①
当n≥2时,Sn=Sn-1+2,②
①-②得,an+1=an(n≥2),
又a2=a1,所以an+1=an(n∈N*),
所以{an}是首项为2,公比为的等比数列,所以an=.
(3)由
(2)得,Sn==4,
由<,得<,
即<,即>,
因为2m+1>0,所以2n(4-m)>2,
所以m<4,且2<2n(4-m)<2m+1+4,(*)
因为m∈N*,所以m=1或2或3.
当m=1时,由(*)得,2<2n×3<8,所以n=1;
当m=2时,由(*)得,2<2n×2<12,所以m=1或2;
当m=3时,由(*)得,2<2n<20,所以n=2或3或4.
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为:
(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).
阶段检测
(二)
1.充要 2.四 3.
4. 5.18 6.[-1,6] 7. 8.
9. 10.-4 11.[0,2] 12.-3
13.(2,3) 14.(1,2]
15.
(1)tanθ=
(2)θ=或θ=
16.
(1)证明 ∵BC⊥平面PAB,
AD⊂平面PAB,∴BC⊥AD.
∵PA=AB,D为PB中点,
∴AD⊥PB.
∵PB∩BC=B,
∴AD⊥平面PBC.
(2)解 连结DC,交PE于G,连结FG.
∵AD∥平面PEF,AD⊂平面ADC,
平面ADC∩平面PEF=FG,
∴AD∥FG.
∵D为PB中点,E为BC中点,连结DE,则DE为△BPC的中位线,
△DEG∽△CPG.
∴==,∴==.
17.解
(1)由题意,AB=x,BC=2-x.
因x>2-x,故1 设DP=y,则PC=x-y. 因△ADP≌△CB′P,故PA=PC=x-y. 由PA2=AD2+DP2, 得(x-y)2=(2-x)2+y2 ⇒y=2,1 (2)记△ADP的面积为S1, 则S1=(2-x) =3-≤3-2, 当且仅当x=∈(1,2)时,S1取得最大值. 故当薄板长为米,宽为2-米时,节能效果最好. (3)记凹多边形ACB′PD的面积为S2,则 S2=x(2-x)+(2-x) =3-,1 于是,S′2=-(2x-)==0⇒x=. 关于x的函数S2在(1,)上递增,在(,2)上递减. 所以当x=时,S2取得最大值. 故当薄板长为米,宽为2-米时,制冷效果最好. 18.解 (1)由题意得 解得b=. 所以椭圆C的方程为+=1. (2)由 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), x1+x2=,x1x2=. 所以MN ==. 又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=, 所以△AMN的面积为 S=MN·d=. 由=,解得k=±1. 19.解 (1)f′(x)=x2-2mx-1, 由f′(x)≥0,得x≤m-, 或x≥m+;故函数f(x)的单调增区间为(-∞,m-),(m+,+∞),减区间为(m-,m+). (2)“对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f′(x2)|≤4”等价于“函数y=f′(x),x∈[-1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”. 对于f′(x)=x2-2mx-1,对称轴x=m. ①当m<-1时,f′(x)的最大值为f′ (1),最小值为f′(-1),由f′ (1)-f′(-1)≤4,即-4m≤4,解得m≥-1,舍去; ②当-1≤m≤1时,f′(x)的最大值为f′ (1)或f′(-1),最小值为f′(m), 由 即 解得-1≤m≤1; ③当m>1时,f′(x)的最大值为f′(-1),最小值为f′ (1),由f′(-1)-f′ (1)≤4,即4m≤4,解得m≤1,舍去. 综上,实数m的取值范围是[-1,1]. (3)由f′(x)=0,得x2-2mx-1=0, 因为Δ=4m2+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值. 设f′(x0)=0,即x-2mx0-1=0, 则f(x0)=x-mx-x0+m =-mx-x0+m. 所以极大值f(m-)=-(m-)(m2+1)>0, 极小值f=-(m+)(m2+1)<0, 故函数f(x)有三个零点. 20.解 (1)由已知,得a1=S1==0, ∴Sn=,则有Sn+1=, ∴2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan, 即(n-1)an+1=nan,n∈N*, ∴nan+2=(n+1)an+1, 两式相加得,2an+1=an+2+an,n∈N*, 即an+2-an+1=an+1-an,n∈N*, 故数列{an}是等差数列. 又a1=0,a2=a,∴an=(n-1)a. (2)若a=2,则an=2(n-1), ∴Sn=n(n-1). 由a-Sn=11, 得n2-n+11=(m-1)2, 即4(m-1)2-(2n-1)2=43, ∴(2m+2n-3)(2m-2n-1)=43. ∵43是质数,2m+2n-3>2m-2n-1,2m+2n-3>0, ∴ 解得m=12,n=11. (3)由an+b≤p,得a(n-1)+b≤p. 若a<0,则n≥+1,不合题意,舍去; 若a>0,则n≤+1. ∵不等式an+b≤p成立的最大正整数解为3p-2, ∴3p-2≤+1<3p-1, 即2a-b<(3a-1)p≤3a-b,对任意正整数p都成立. ∴3a-1=0,解得a=, 此时,-b<0≤1-b,解得 故存在实数a、b满足条件,a与b的取值范围是a=,
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