七年级数学轴对称与轴对称图形华东师大版知识精讲.docx
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七年级数学轴对称与轴对称图形华东师大版知识精讲
初一数学轴对称与轴对称图形华东师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容:
轴对称与轴对称图形
二、知识要点
1.知识点概要
(1)轴对称图形概念;掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的性质特征;理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系.
(2)知道线段、角是轴对称图形,掌握线段的垂直平分线、角平分线的定义和性质,并学会应用它们的性质解决相关问题.
(3)熟练画出轴对称图形的对称轴.能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.能设计简单的轴对称图案.
2.重点难点
(1)重点:
轴对称图形的概念;线段垂直平分线、角平分线的性质.
(2)难点:
两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系;运用线段垂直平分线性质和角平分线性质解决问题.
三、考点分析
㈠ 轴对称的有关概念
1.轴对称图形
如果把一个图形沿某条直线对折,对折的两部分完全重合,则该图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴.
说明:
轴对称图形的定义中有两层含义:
①一个图形;②沿某条直线对折,两部分完全重合.
2.轴对称
把一个图形沿着某一条直线翻折过去,若它能够与另一个图形重合,则这两个图形成轴对称.这条直线叫对称轴,两个图形中的对应点叫对称点.
说明:
轴对称的定义中也包含两层含义:
①两个图形;②沿某条直线对折,两个图形能够完全重合.
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系
它们的区别:
①轴对称指两个图形的位置关系,轴对称图形指一个具有特殊形状的图形.②成轴对称的两个图形的对称轴只有一条,两轴对称图形的对称轴最少是一条或更多条.
它们的联系:
①定义中都有一条直线,都要沿这条直线折叠重合.②若将轴对称图形沿对称轴分成两部分,则这两个部分关于这条直线成轴对称;反过来,若把两个成轴对称的图形看成一个整体,则它就是一个轴对称图形.
4.轴对称的性质
①关于某条直线对称的两个图形的形状、大小完全相同.
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
㈡ 简单的轴对称图形
线段和角是简单的轴对称图形.它们的对称轴分别是线段本身所在的直线与线段的中垂线、角的平分线所在的直线.
1.线段的垂直平分线
垂直平分线指垂直并且平分一条线段的直线,又称中垂线.它的性质为:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学符号语言表示该性质为:
如图
(1),因为点M在线段AB的垂直平分线上,所以MA=MB.
(1)
(2)
2.角的平分线
角的平分线将角分成两个相等的角.
角的平分线的性质:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
用数学符号语言表示该性质为:
如图
(2),因为点P在∠AOB的角平分线上,且PD⊥OA,PE⊥OB,所以PD=PE.
3.与轴对称有关的画图题
根据轴对称的性质可以画出轴对称图形的对称轴;也可以画出某个图形关于对称轴对称的图形;还可以按要求画出符合要求的轴对称图形.
【典型例题】
例1.下列图形中,是轴对称图形的是()
分析:
判断一个图形是否是轴对称图形,依据是轴对称图形的定义,一般只要根据定义进行观察,必要时用对折的方法检验.
答案:
D
例2.如图所示,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1关于直线MN对称,图中有许多相等的角和相等的线段,试写出其中5对相等的角和5对相等的线段.
分析:
根据轴对称的定义可知,成轴对称的两个图形能完全重合,这样可以找到对应的角相等、对应的线段相等.
解:
相等的五对角:
∠DAB=∠D1A1B1,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,∠CDA=∠C1D1A1,∠AOB=∠A1O1B1;
相等的五对线段:
AB=A1B1,BC=B1C1,CD=C1D1,DA=D1A1,AC=A1C1.(解决本题的依据是成轴对称的图形的对应线段相等,对应角相等.一般先找对应点,再找对应线段,这里点A、B、C、D、O依次与点A1、B1、C1、D1、O1对应,再找对应角.想想看,你最多能写出多少对?
)
例3.在图中标出点A、B、C关于直线的对称点.
(1)
(2)
分析:
抓住两图形沿着直线l对折后互相重合的点,即为对称点.
答:
见图
(2).
例4.图中哪些是轴对称图形?
是轴对称图形的,画出对称轴.
分析:
判别轴对称图形的方法:
采用折叠思想与轴对称图形的概念.画对称轴通常作对称点连线的垂直平分线,但有时不止一条对称轴,切勿遗漏.
解:
轴对称图形有①②③④⑥,对称轴如图中的虚线.
例5.如图,下列图形都是轴对称图形,其中一个与众不同的是( )
分析:
这四个都是轴对称图形,但A、B、D都不止一条对称轴,唯独C只有一条对称轴.
解:
选C.
例6.如图,已知△ABC和直线l,画出△ABC关于直线l的对称图形.
分析:
画轴对称图形关键是画某些特殊点(如线段的端点,角的顶点,转折点等),因此只要作A、B、C三个特殊点.
解:
①画出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′;②连结A′B′、B′C′、A′C′.
△A′B′C′即为△ABC的关于直线l对称的三角形.
例7.如图,P、Q是∠AOB的边OA上的两点,试画出一个点M,使点M到P、Q两点的距离相等,并且使点M到∠AOB的两边的距离也相等.
分析:
所求的点M要同时满足两个条件,通常可以先画出各自满足一个条件的图形,这两个图形的公共点即为所求.
解:
分别作∠AOB的平分线和线段PQ的垂直平分线,两条直线的交点M即为所求的点.
例8.如图,在直线l上求作一点M,使:
(1)MA=MB;
(2)MA+MB最小.
分析:
(1)要使MA=MB,即M要在AB线段的中垂线上;又要求在直线l上取一点M,故M为直线l与AB线段的中垂线的交点.
(2)要使MA+MB最小,涉及线段之和最小,之差最大,一般用到三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.两点之间,线段最短等知识.
解:
(1)作线段AB的中垂线与l相交于点M.
∵M是线段AB中垂线上的点,∴MA=MB
∵M在l上,∴点M满足要求.如图
(1).
(1)
(2)
(2)作点B关于直线l的对称点B′,连结AB′交l于点M,连结MB,则MA+MB最小.如图
(2).
在直线l上另取一点N,连结AN、BN、B′N,因直线l是点B、B′的对称轴,点M、N在对称轴上.
∴BM=B′M,BN=B′N
∴AM+BM=AM+B′M=AB′
而在△AB′N中,AN+B′N>AB′
即AN+BN>AB′,
∴AN+BN>AM+BM
∴MA+MB最小.
例9.如图,在△ABC中,AB=AC=32,MN是AB的垂直平分线,且有BC=21,求△BCN的周长.
分析:
因为MN是AB的垂直平分线,所以有BN=AN,于是△BCN的周长可转化为线段BC与AC的和.
解:
因为MN是AB的垂直平分线,所以BN=AN.
则△BCN的周长=BC+CN+BN
=BC+CN+AN=BC+AC
=21+32=53.
例10.如下图所示,在△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,交AC于点D,DE⊥AB,垂足为点E,AD=3DE.AD和3DC是什么关系?
为什么?
分析:
可以先用刻度尺测量一下,估计AD和3DC的数量关系:
AD=3DC,然后只要能说明DE=CD就可以了.
解:
AD=3DC.
理由:
因为∠C=90°,即DC⊥BC(垂直的定义)
又因为DE⊥AB,BD是角平分线(已知)
所以DE=DC(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
因为AD=3DE(已知)
所以AD=3DC(等量代换)
例11.某居民小区搞绿化,要在一块矩形(即长方形)空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限),并且使整个矩形场地成轴对称图形,请在下面矩形中画出你的设计方案.
分析:
要设计一个轴对称图形,先作出长方形本身的(所有)对称轴,在其中一条对称轴一侧设计一个图形,根据轴对称性质再画出另一半.
解:
如下图.(仅供参考)
五、本讲数学思想方法的学习
1.在画图形的对称轴时,要充分利用轴对称的特征,已知两图形作对称轴要找一对对称点连结作中垂线;已知图形和对称轴作对称图形要作每个关键点关于对称轴的对称点,再连结对称点得其对称图形;补全图形,有对称轴时和前面的方法一样,没有对称轴时,先找对称轴再作图形;找同时满足两个条件的点,可以先画出各自满足一个条件的图形,这两个图形的公共点即为所求点;设计图案时先画出组成图案的基本图形,再依据对称轴作出它们的对称图形.
2.生活中许多图形美丽的图案都可以通过折叠的方式得到它的对称性,如线段和角等图形的轴对称性.这种通过变换的方法可以用来探索其相关性质.在探索的过程中可以将观察操作和归纳推理相结合,逐步培养逻辑推理能力,另外也有利于培养归纳能力和数学语言表达能力.
【模拟试题】(答题时间:
60分钟)
1.下列图形中是轴对称图形的是()
A.直角三角形;B.长方形;C.任意三角形;D.有一角为60°的直角三角形
2.下列轴对称图形中,对称轴最多的是()
A.圆B.正方形C.等腰直角三角形;D.有一角为60°的等腰三角形
3.如图,给出的虚线是图形的对称轴的是()
A.①③⑤B.②④⑥C.①②④D.②⑤⑥
*4.一图章上刻有
,那么印在纸上的数字是()
A.819B.918C.816D.618
*5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=30,BD:
CD=3:
2,则点D到AB的距离是()
A.18B.12C.15D.不能确定
6.如图,在△ABC中,AD垂直平分BC,AB=10cm,则AC=_______cm.
7.在大写英文字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、J中属于轴对称图形的是______.
8.如图,已知∠O=35°,CD为OA的垂直平分线,则∠ACB的度数为_______.
9.下列各图中,画出你认为是轴对称的图形的对称轴.
10.已知△ABC中,AB A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm *11.已知,如图,点P关于OA、OB的对称点分别是P1,P2,线段P1P2分别交OA、OB于D、C,P1P2=6cm,则△PCD的周长为() A.3cmB.6cmC.12cmD.无法确定 12.如图,已知△ABC,以AC的中垂线为对称轴,作一个三角形与它对称. 13.如图,A、B、C三点表示三个镇的地理位置,随着乡镇工业的发展需要,现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请画出变电站的位置(用P点表示),并简单说明理由. *14.如图,要在两条街道AB、CD上设立两个邮筒,M处是邮局,邮递员从邮局出发,从两个邮筒里取出信件后再回到邮局,则邮筒应设在何方,方能使邮递员所走的路程最短? 15.如图,在△ABC中,AB的中垂线交AC于点E,若AE=2,则B、E两点间的距离是() A.4B.2C.3D.1 16.世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,以下来自现实生活中的图形都有圆,(如图A),它们看上去多么美丽和谐,这正是因为圆具有轴对称的性质,请你在下面的两个圆(如图B)中分别画出与图A不重复的轴对称图形,但要尽可能准确美观. 【试题答案】 1.B2.A3.B4.B5.B 6.10 7.A、C、D、E、H、I 8.70° 9.略 10.B 11.B 12.略 13.略 14.提示: 作M关于AB的对称点M',作M关于CD的对称点M",连结M'M"交AB于P1,交CD于P2,则P1,P2就是邮筒设立处. 15.B 16.略
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