高中数学第一章三角函数15第二课时函数yAsinωx+φ的性质学案新人教A版必修406082113.docx
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高中数学第一章三角函数15第二课时函数yAsinωx+φ的性质学案新人教A版必修406082113
第二课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
预习课本P54~55,思考并完成以下问题
(1)在简谐运动中,y=Asin(ωx+φ)的初相、振幅、周期分别为多少?
(2)函数y=Asin(ωx+φ)有哪些性质?
1.函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
[点睛] 当A<0或φ<0时,应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数,再确定初相φ.如函数y=-sin的初相不是φ=-.
2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[-A,A]
周期性
T=
对称性中心
(k∈Z)
对称轴
x=+(k∈Z)
奇偶性
当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数
当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+,k∈Z,解得
单调递增区间
由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+,k∈Z,解得单调递减区间
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的值域为[-,].( )
(2)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A.( )
(3)函数y=3sin(2x-5)的初相为5.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)×
2.函数y=sin的周期、振幅、初相分别是( )
A.3π,, B.6π,,
C.3π,3,-D.6π,3,
答案:
B
3.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为5,则A=( )
A.5B.-5
C.4D.-4
答案:
C
4.函数f(x)=sin的图象的对称轴方程是________________________.
答案:
x=kπ+,k∈Z
函数y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义
[典例] 指出下列函数的振幅A、周期T、初相φ.
(1)y=2sin,x∈R;
(2)y=-6sin,x∈R.
[解]
(1)A=2,T==4π,φ=.
(2)将原解析式变形,得y=-6sin=6sin,则有A=6,T==π,φ=π.
首先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的形式,再求振幅、周期、初相.应注意A>0,ω>0.
[活学活用]
已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A.T=6,φ= B.T=6,φ=
C.T=6π,φ=D.T=6π,φ=
解析:
选A T===6,
∵图象过(0,1)点,∴sinφ=.
∵-<φ<,∴φ=.
由图象确定函数的解析式
[典例] 如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,求此函数的解析式.
[解] [法一 逐一定参法]
由图象知A=3,
T=-=π,
∴ω==2,
∴y=3sin(2x+φ).
∵点在函数图象上,
∴0=3sin.
∴-×2+φ=kπ,得φ=+kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=.
∴y=3sin.
[法二 待定系数法]
由图象知A=3.∵图象过点和,
∴解得
∴y=3sin.
[法三 图象变换法]
由A=3,T=π,点在图象上,可知函数图象由y=3sin2x向左平移个单位长度而得,
所以y=3sin2,即y=3sin.
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)第一零点法:
如果从图象可直接确定A和ω,则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法:
通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.
(3)图象变换法:
运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asinωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.
[活学活用]
如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
的图象的一部分,试求该函数的解析式.
解:
由图可得:
A=,T=
2|MN|=π.从而ω==2,
故y=sin(2x+φ),
将M代入得sin=0,
取φ=-,得y=sin.
三角函数图象的对称性
[典例] 在函数y=2sin的图象的对称中心中,离原点最近的一个中心的坐标是________.
[解析] 设4x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z)
∴函数y=2sin图象的对称中心坐标为(k∈Z).
取k=1得满足条件.
[答案]
[一题多变]
1.[变条件,变设问]将本例中对称中心改为对称轴,其他条件不变,求离y轴最近的一条对称轴方程.
解:
由4x+=kπ+,得x=-,
取k=0时,x=-满足题意.
2.[变条件]将本例中“sin”改为“cos”,其他条件不变,结果如何?
解:
由4x+=kπ+,得x=kπ-,
取k=0时,x=-.
则所求对称中心为.
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y=Asin(ωx+φ)
令ωx+φ=kπ+(k∈Z)
令ωx+φ=kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y=Acos(ωx+φ)
令ωx+φ=kπ(k∈Z)
令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求对称中心横坐标
y=Atan(ωx+φ)
无
令ωx+φ=(k∈Z)求对称中心横坐标
层级一 学业水平达标
1.简谐运动y=4sin的相位与初相是( )
A.5x-, B.5x-,4
C.5x-,-D.4,
解析:
选C 相位是5x-,当x=0时的相位为初相即-.
2.最大值为,最小正周期为,初相为的函数表达式是( )
A.y=sinB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
解析:
选D 由最小正周期为,排除A、B;由初相为,排除C.
3.函数y=sin的图象的一条对称轴是( )
A.x=-B.x=
C.x=-D.x=
解析:
选C 由x-=kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,令k=-1,得x=-.
4.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
解析:
选D 设y=Asin(ωx+φ),显然A=1,又图象过点,,所以解得ω=2,φ=.所以函数解析式为y=sin=cos.
5.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于直线x=对称B.关于点对称
C.关于直线x=对称D.关于点对称
解析:
选A 依题意得T==π,ω=2,故f(x)=sin,所以f=sin=sin=1,f=sin=sin=,因此该函数的图象关于直线x=对称,不关于点和点对称,也不关于直线x=对称.故选A.
6.y=-2sin的振幅为________,周期为________,初相φ=________.
解析:
∵y=-2sin
=2sin=2sin,
∴A=2,ω=3,φ=,
∴T==.
答案:
2
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω=________.
解析:
由题意设函数周期为T,
则=-=,∴T=.
∴ω==.
答案:
8.函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)在一个周期内,当x=时,函数f(x)取得最大值2,当x=时,函数f(x)取得最小值-2,则函数解析式为______________________.
解析:
由题意可知A=2.=-=,
∴T=π,∴=π,即ω=2.
∴f(x)=2sin.
答案:
f(x)=2sin
9.求函数y=sin图象的对称轴、对称中心.
解:
令2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z).
令2x+=kπ,得x=-(k∈Z).
即对称轴为直线x=+(k∈Z),对称中心为(k∈Z).
10.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一个周期内的图象.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相.
解:
(1)由图,知A=2,T=7-(-1)=8,
∴ω===,∴f(x)=2sin.
将点(-1,0)代入,得0=2sin.
∵|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)由
(1),知f(x)的最小正周期为=8,
频率为,振幅为2,初相为.
层级二 应试能力达标
1.设f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的定义域为R,周期为,初相为,值域为[-1,3],则函数f(x)的解析式为( )
A.y=2sin+1
B.y=2sin-1
C.y=-2sin-1
D.y=2sin+1
解析:
选A ∵-A+B=-1,A+B=3,
∴A=2,B=1,
∵T==,
∴ω=3,又φ=,
故f(x)=2sin+1.
2.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图,则f(2017)=( )
A.-1 B.1
C.D.-
解析:
选B 由题图可知,=2,所以T=8,所以ω=.由点(1,1)在函数图象上可得f
(1)=cos=1,所以+φ=2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ-(k∈Z),又φ∈[0,2π),所以φ=.故f(x)=cos,f(2017)=cos=cos506π=cos(253×2π)=1.
3.已知函数f(x)=2sin,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选B ∵f(x)≥1,即2sin≥1,
∴sin≥,
∴+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z.
解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
4.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则( )
A.f(x)的图象过点
B.f(x)在上是减函数
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(x)的最大值是A
解析:
选C ∵周期T=π,∴=π,∴ω=2.
又∵f(x)的图象关于直线x=对称,
∴2×+φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.
∴f(x)=Asin.
∴f(x)图象过点.
又当x=时,2x+=π,即f=0,
∴是f(x)的一个对称中心.
5.在函数y=-2sin的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是________.
解析:
当y=0时,sin=0,
∴4x+=kπ,k∈Z,
∴x=π-,k∈Z,
取k=0,则x=-,取k=1,则x=,
∴离原点最近的交点坐标.
答案:
6.若函数y=sin(ω>0)图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴方程为x=,则实数ω的值为________.
解析:
令ωx+=+kπ,k∈Z,得函数图象的对称轴方程为x=π+,k∈Z.
根据题意得k=0,所以=,解得ω=.
答案:
7.已知函数f(x)=2sin+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
解:
(1)∵f(x)为偶函数,
∴φ-=kπ+(k∈Z),
∴φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=2sin+1=2cosωx+1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,
∴T==2×,
∴ω=2,∴f(x)=2cos2x+1,
∴f=2cos+1=+1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图象,
所以g(x)=f=2cos2+1
=2cos+1.
当2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.
∴函数g(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
解:
(1)A=3,==5π,ω=.
由f(x)=3sin过,
得sin=0,又|φ|<,故φ=-,
∴f(x)=3sin.
(2)由f(x+m)=3sin=
3sin为偶函数(m>0),
知-=kπ+,即m=kπ+,k∈Z.
∵m>0,∴mmin=.
故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.
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