十一笔画和迷宫.docx
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十一笔画和迷宫
十一笔画和迷宫
1.一笔画
(1)一笔画就是指能一笔画成的图形。
注意,这里要求:
①下笔后笔不能离开纸;②每条线都只能画一次而不许重复;③画时,任何两条线不许交叉而过。
下面两图都是一笔画,其中右图是一种较特殊的一笔画,它最后又画回到起始点。
下面几个图形,你能一笔画成吗?
(2)一笔画问题是由十八世纪的大数学家欧拉提出并解决的。
原苏联有个城市加里宁格勒,旧称哥尼斯堡,城中有一条河,河上有两个岛,两岸与两岛之间共架有七座桥(下图)。
当时的居民热衷于讨论这样一个问题:
一个散步者怎样才能不重复地一次走遍所有的七座桥,而回到出发点?
这个问题似乎不难,所以谁都愿意试一试,但结果谁也下不了结论。
问题提到了欧拉那里。
千百人的失败使欧拉想到,也许那样的走法根本就不存在。
后来,他用数学方法证实了自己的猜想。
欧拉把七桥问题中的岛A、C,陆地B、D当作4个点,于是上图就变成了下图。
七桥问题也就变成了能否一笔画出下图的问题。
经过欧拉的研究,终于找到了鉴别一个图形能否一笔画成的简便方法。
下面就简要地介绍一下这个方法的基本思想。
可以想象,凡是一笔画,一定有一个起点、一个终点,还有一些其他的中间点。
起点可以由几条线汇合,但是画图时,总是先从它画出去,然后进来出去几次(进出一次,得到两条线:
进来是一条线,出去也是一条线),而最后一次是出去的,所以集中在起点的线只能是一条、三条、五条,……,即是奇数条。
终点是先画进去,然后出去进来几次,而最后一次是进来的,所以集中在终点的线也只能是奇数条。
至于中间各点,则应是进去出来的次数相等,即每一点上都只能有偶数条线。
如果起点与终点重合,即最后又画回到起点,那么所有的点上就都有偶数条的线了。
这样一分析就可以知道,能一笔画的图形,其中有奇数条线的顶点的个数只能是0或2。
上图中有4个顶点,每个顶点都有奇数条线,因此它不能一笔画,也就是要不重复地一次走遍哥尼斯堡七桥是不可能的。
现在请你想一想:
①在七桥问题中,如果允许你再架一座桥,那么你能否不重复地一次走遍这八座桥?
这座桥应架在哪里?
②下图中哪些能一笔画?
哪些不能一笔画?
能一笔画的,怎样画?
(3)下图是两个花园的平面图,其中有不少小路,你能分别走遍这两个花园的小路,而线路既不重复又不交叉吗?
(4)下图表示一座彩牌,它是用一根彩绳扎成的,且线路没有一处重复。
试问这彩绳从哪里开始,到哪里结束?
中间的线路又是怎样的(允许线路交叉)?
(5)有座房屋,沿街有甲、乙两扇门,里面每间房间又各有两扇门,小李从甲门进去,欲通过每个房间一次,然后从乙门出来,能做到吗?
(6)下左图是一个展览馆的平面图,每个房间都有一扇门通往馆外,每相邻两个房间之间各有一门相通。
能不能无重复地一次穿过每一扇门?
如能,请画出它的行进路线;如不能,关闭哪扇门后,就能无重复地一次穿过每一扇门了?
(7)一个邮递员送信件的街道如上右图所示。
如果每一小段街道长1千米,那么他从邮局出发,走遍所有街道,再回到邮局,最少要走多少千米路?
2.迷宫
迷宫(也叫迷阵)游戏流行于世界各国。
国外著名的有英国伦敦汉普顿公园中的汉普顿迷宫(下左图),法国凡尔赛迷宫(下右图)等。
我国著名古典小说《三国演义》中有这么一段故事:
东吴大将陆逊大败刘备蜀军。
直追至长江边上(据考证,在今四川奉节市城东约一千米的大江边),只见乱石八、九十堆,其间隐藏杀气。
陆逊进入石阵,只见“飞沙走石,遮天盖地,怪石嵯峨,横沙立土,重叠如山;……”他要想回去,竟无路可走。
幸有一老者指引,才得脱身。
这就是诸葛亮布下的“八阵图”。
实际上这也就是一个迷阵。
苏州著名园林狮子林,它的主体是一座曲折盘旋的假山,你如不熟悉它的路径,走来兜去,会在原地转圈子。
这是一座典型的中国庭园迷宫。
它建于元代至正二年(公元1342年),比汉普顿迷宫还早三百年呢!
要走通迷阵,一般可用下面的方法(有时可能要多走一些路,但总能走得通):
(1)走到死路,马上折回。
(2)走到交叉口做个记号,向另一条新路走。
(3)走到已做记号的交叉口,可作如下处理:
①如果来路只走过一回,就沿原路折回;
②如果来路是走过两回的,则沿未曾走过的路前进;
③如果来路是走过两回的,而未曾走过的路又没有,则沿只走过一回的路前进。
因为对于任何一个图形,只要每条线重复画两次,就可以一笔画成,所以上面这样的走法总可以走到迷宫的任何一个角落,包括所要去的地点。
下面一些迷宫,请你试着来走一走。
(1)视察油田一个小组要视察下图所示的油田。
他们从进口处进去,从出口处出来,一路上要视察遍所有的宿营地和各座油井,所走的路线要无一处重复。
你知道他们是怎样走的吗?
(2)参观展览会科技展览馆展出新型电脑,一位青年技术员前去学习。
下图是展览馆以及周围地区的地图。
他应怎样走才能进入展览馆?
(3)游园会甲、乙、丙三人去参加游园会,如下图。
他们分别从三个入口处进去,不能重复走别人走过的路,各该怎样走?
(4)牛栏的门下面的牛栏中共有36扇门。
晚上,牛的主人只要堵住了一扇门,两头牛就无法跑出来了。
请你仔细观察,应堵住几号门呢?
(5)火柴棒迷宫下图是用火柴摆成的迷宫,沿火柴棒由B到A,规定火柴首尾相接的才能通行。
而两头或两尾相接的不能通行,那么该怎么走呢?
(6)走向平顶台下图是一个立体的迷宫。
有人要从最下面到平顶台上去乘直升飞机,但他只能一阶一阶地往上走或往下走,不能跳越。
他应该怎样走?
(7)修水箱楼顶上的水箱坏了,修理工要从底楼走到屋顶上去修理。
他该怎么走?
(8)看电影下图是电影放映厅的迷宫。
你要去看电影,可从迷宫的四个角中的任何一个入口进去,进入迷宫,到达放映厅。
这个迷宫下面有地道,凡是相同的字母是相通的,例如走到E处,可以经过地道从另一个E处出来。
请试着走一走,它有几条路线可通电影放映厅?
(9)数字旅行下面是一张填有数字的方格图。
请你从左上方的1开始走到右下方的9为止,进行一次数字旅行。
但必须从一个数字走向另一个数字,只准向右和向下走,不能斜走;并要使所经过的数加起来的总和等于100。
请找出拐弯最少和拐弯最多的两条路线。
(10)按1997走下图的方格里分别有数字1、9、9、7。
请你从起点开始,按1→9→9→7→1→9→9→7…顺序走到终点,不能斜走,也不能向上走,更不能跳格。
该怎么走?
(11)和是2000在下图中,从A地到B地必须经过5个写有数的方块地。
请问共有多少种不同的走法?
如果要你选择一种走法,使通过5个方块上5个数的和是2000,该怎么走?
(12)和是200请你在下图中找出由1~24的路线,使所经过的各数之和正好是200。
所经过的路线可上、可下,但不能交叉,也不能重复。
如1+2+3+7+8+13+14+18+17+12+16+20+22+23+24=200。
你能找出几条路线?
(13)结果是1下图是一座数学迷宫,请你由入口进去,按经过的数与运算符号计算,到出口时,其最后结果必须是1,走时可上、可下、可横,但不能返回。
你选择怎样的一条路线?
(14)从0走向0在下面的5×5方格中,每格都有一个数。
请你从0进入,再从0出来,使中间所经过的数之和等于100。
要求只能横走或上、下直走,不能斜走或跳越,且经过的数至少要包含0~12各1个。
该怎么走?
(15)按能整除走在下面的数字迷宫中,有五个入口和一个出口。
只有相邻两个数字之和能被3整除时,才能从它们中间通过。
你知道从哪个入口进去,走怎样的路才能走出迷宫?
答案
1.
(1)a.下左图。
c.下右图。
b、d不可能。
(2)①如下图所示,只要在C、B两点间再架设一座桥,就可按1,2,3,4,5,6,7,8的顺序,不重复地一次走遍这八座桥。
②
d、e、j不能一笔画。
(3)
(4)图中只有A、C两点有奇数条线。
把A、C一个作起点,一个作终点,这是关键所在。
中间的线路变化较多,下面是答案之一:
A→C→G,绕五角星回到G,再绕圆回到G,G→H→I→M→N,绕小圆回到N,N→O→U→T→S→R→Q→P→J→K,绕小圆回到K,K→L→F→C→H→M→T→Y→X→S→H→D→A→B→F→R→W→V→Q→L→E→F→G→B→c→D→G。
(5)能够做到。
例如:
(6)我们把每间房间作为一个点,并编上序号①~⑤,用⑥表示馆外,两个数码之间用线连接,表示一扇门(下左图)。
于是问题便转化为这图能否一笔画?
从图中可看出,③、④、⑤、⑥都有奇数条线,所以这图不能一笔画出,也就是说,要想无重复地穿过这个展览馆的每一扇门是不可能的。
要使能无重复地穿过每一扇门,至多只能有两个有奇数条线的顶点。
因此,如果关闭③、④之间的一扇门,如上右图,就只剩下⑤、⑥两点有奇数条线,问题就解决了。
当然,也可以关闭④、⑤,⑤、⑥,③、⑥之间的任一扇门。
(7)图中有8个顶点有奇数条线,因此不能一笔画出。
要使一笔画出,最少的路是在这8个顶点中,相邻最近的两点再连一线,即重走一次,如右图。
这样,要走1×28=28(千米)。
2.
(1)
(2)按X→U→E→X→I→D→I→A→N→N→A→O→H→A→O的次序进宫。
这些拼音字母连起来可写成:
Xuexidiannaohao
学习电脑好
(3)如下左图。
(4)堵住12号门。
(5)如上右图。
(6)从下面偏左的一阶开始,沿着底线向右走(其中有上有下),走到右边向上走,即可到达平顶点上。
(7)如下图。
(8)甲→B→B→G→G→厅,丙→E→E→F→F→A→A→厅两条路线。
(9)
(10)
(11)共有50种不同的走法。
A→26→338→562→922→152→B。
(12)1+6+7+8+13+14+18+17+16+15+19+20+22+24;
1+2+3+7+6+5+10+11+12+13+14+18+17+16+19+22+24;
1+2+6+7+8+13+17+20+16+11+5+4+10+15+19+22+24;
1+6+5+10+11+12+17+16+15+19+20+21+23+24。
(13)[(1+9+5)×3÷5+6-7+2]÷10=1。
(14)见下左图。
(15)见下右图。
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