如何证明极限不存在精选多篇.docx

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如何证明极限不存在精选多篇

如何证明极限不存在（精选多篇）

　　证明极限不存在　　二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:

lim→x4y2x6+y6;lim→x2y2x2y2+2.证明一般地,对于选择当沿直线y=kxy=kx趋近于时,有lim→x4y2x6+y6=limx→0k2x6x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛物线y=kx2+x→趋近于,则有l..

　　2

　　是因为定义域d={|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

　　沿着两条直线y=2x

　　y=-2x趋于时

　　极限分别为-3和-1/3不相等

　　极限存在的定义要求延任何过直线求极限时极限都相等

　　所以极限不存在

　　3

　　lim趋向于无穷大/

　　证明该极限不存在

　　lim/

　　=lim/-8y_/

　　=1-lim8/

　　因为不知道x、y的大校

　　所以lim趋向于无穷大/

　　极限不存在

　　4

　　如图用定义证明极限不存在~谢谢!

!

　　反证法

　　若存在实数l，使limsin=l，

　　取ε=1/2，

　　在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，

　　①记x1=1/∈x，有sin=1，

　　②记x2=1/∈x，有sin=-1，

　　使|sin-l|　　和|sin-l|　　同时成立。

　　即|1-l|　　这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。

　　所以，使limsin=l成立的实数l不存在。

　　如何证明极限不存在　　反证法

　　若存在实数l，使limsin=l，

　　取ε=1/2，

　　在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，

　　①记x1=1/∈x，有sin=1，

　　②记x2=1/∈x，有sin=-1，

　　使|sin-l|　　和|sin-l|　　同时成立。

　　即|1-l|　　这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。

　　所以，使limsin=l成立的实数l不存在。

　　反证法：

　　一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在

　　假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在

　　矛盾

　　所以原命题成立

　　令y=x,lim趋于xy/x+y

　　=limx_/=0

　　令y=x_-x,lim*b…

　　因此二项式定理

　　下面用二项式定理计算这一极限：

　　用二项式展开得：

=1

++*_+*_+…+*—*—*

　　由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。

因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。

余下分母。

于是式一化为：

=1+1+1/2!

+1/3!

+1/4!

+1/5!

+1/6!

+…+1/n!

　　当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。

这一数值定义为e。

　　证明二重极限不存在　　如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f不存在,通常的方法是:

找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。

例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-=0→时,所得的结论就不同→1）。

为什么会出现这种情况呢?

仔细分析一下就不难得到答案

　　2

　　若用沿曲线，一g=0趋近于来讨论，一0g，y。

。

可能会出现错误，只有证明了不是孤立点后才不会出错。

o13a1673-38780l__0l02__02如何判断二重极限不存在。

是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。

只是略谈一下在判断二重极限不存在时。

一个值得注意的问题。

由二重极限的定义知，要讨论limf不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：

找几条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这些曲线趋于时，f趋于不同的值，则可判定二重极限limf不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f一g：

0，这样做就很容易出错。

　　3

　　当沿曲线y=-x+x_趋于时，极限为lim/x_=-1;

　　当沿直线y=x趋于时，极限为limx_/2x=0。

故极限不存在。

　　4

　　x-y+x_+y_

　　f=————————

　　x+y

　　它的累次极限存在：

　　x-y+x_+y_

　　limlim————————=-1

　　y->0x->0x+y

　　x-y+x_+y_

　　limlim————————=1

　　x->0y->0x+y

　　当沿斜率不同的直线y=mx,->时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。

　　不如何证明极限不存在

　　一、归结原则

　　原理:

设f在u0内有定义，limf存在的充要条件是：

对任何含于

　　x?

x0

　　u且以x0为极限的数列?

xn?

极限limf都存在且相等。

　　’

　　n?

?

　　例如：

证明极限limsin

　　x?

0

　　1x

　　不存在

　　12n?

?

　　证：

设xn?

?

　　1n?

　　?

xn?

　　?

　　2

　　，则显然有

　　xn?

0,xn?

0，si由归结原则即得结论。

　　?

?

　　?

0?

0,si?

1?

1?

?

xnxn

　　二、左右极限法

　　原理：

判断当x?

x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。

例如：

证明f?

arctan

　　当x

　　?

0

　　时的极限不存在。

　　1x）?

　　1x

　　）?

?

　　?

　　2

　　x=0，limarctan?

lim?

arctan，

　　所以当x?

0时，arctan的极限不存在。

　　三、证明x?

?

时的极限不存在

　　原理：

判断当x?

　　?

　　时的极限，只要考察x?

?

?

与x?

?

?

时的极限，如果两者

　　相等，则极限存在，否则极限不存在。

例如：

证明f?

ex在x?

　　x?

?

?

　　?

　　时的极限不存在

　　x?

?

?

　　x?

?

?

　　xxxx

　　因为lime?

0，lime?

?

?

；因此，lime?

lime

　　x?

?

?

　　所以当x?

　　四、柯西准则

　　?

　　时，ex的极限不存在。

　　0’

　　原理：

设f在u内有定义，limf存在的充要条件是：

任给?

　　x?

x0

　　?

0

　　，存

　　在正数?

，使得对任何x?

x?

?

?

u0，使得f?

f?

?

0。

例如：

在方法一的例题中，取?

0?

1，对任何?

?

0，设正数n?

　　x?

?

1

　　n?

x?

?

?

1

　　n?

?

1?

，令?

　　2即证。

　　五、定义法

　　原理：

设函数f在一个形如的区间中有定义，对任何a?

r，如果存在

　　?

0?

0，使对任何x?

0都存在x0?

x,使得f?

a?

?

0,则f在x?

?

?

　　x?

?

?

时没有极限。

例如：

证明limcosx不存在

　　设函数f?

cosx，f在中有定义，对任何a?

r，不妨设a?

取?

0?

120,，于是对任何?

?

0，取?

0?

0反证法数学归纳法

　　极限证明

　　1.设f在上无穷次可微，且f?

?

，求证当k?

n?

1时，?

x，limf?

0．x?

?

?

　　2.设f?

?

0sinntdt，求证：

当n为奇数时，f是以2?

为周期的周期函数；当n为

　　偶数时f是一线性函数与一以2?

为周期的周期函数之和．x

　　f?

0．?

{xn}?

3.设f在上无穷次可微；ff?

?

0xlim求证：

n?

1，?

?

?

　　?

n，0?

xn?

xn?

1，使f?

0．

　　sin）?

1．求证limf存在．4.设f在上连续，且xlim?

?

?

x?

?

?

　　5.设a?

0,x1?

2?

a,xn?

1?

2?

xn,n?

1,2?

证明权限limn?

?

xn存在并求极限值。

　　6.设xn?

0,n?

1,2,?

.证明：

若limxn?

1?

x,则limxn?

x.n?

?

xn?

?

n

　　7.用肯定语气叙述：

limx?

?

?

f?

x?

?

?

?

.

　　8.a1?

1,an?

1?

1,求证：

ai有极限存在。

an?

1

　　t?

x9.设函数f定义在?

a,b?

上，如果对每点x?

?

a,b?

极限limf?

t?

存在且有限。

证明：

函数f在?

a,b?

上有界。

　　10.设limn?

?

an?

a,证明：

lima1?

2a2?

?

?

nana?

.n?

?

2n2

　　11.叙述数列?

an?

发散的定义，并证明数列?

cosn?

发散。

　　12.证明：

若?

?

?

　　af?

x?

dx收敛且limx?

?

?

f?

x?

?

?

，则?

?

0.

　　11?

an?

收敛。

?

n?

1,2,?

.求证：

22an?

1an13.a?

0,b?

0.a1?

a,a2?

b,an?

2?

2?

　　n

　　14.证明公式?

k?

11k?

2n?

c?

?

n，其中c是与n无关的常数，limn?

?

?

n?

0.

　　15.设f?

x?

在上连续，且

　　f?

0,记fvn?

f,?

n?

　　?

exp{

　　b?

a

　　，试证明：

n

　　1b

　　lnfdx}并利用上述等式证明下?

ab?

a

　　式

　　2?

　　?

　　2?

　　lndx?

2lnr

　　f?

f

　　?

k

　　b?

a

　　34.设f‘?

k,试证明lim

　　a?

0?

b?

0?

　　35.设f连续，?

?

?

0fdt，且lim

　　x?

0

　　论?

’在x?

0处的连续性。

　　f

　　，求?

’，并讨?

a

　　x

　　36．给出riemann积分?

afdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

　　i1

　　lim?

s。

n?

?

ni?

0n

　　?

x322

　　,x?

y?

0?

2

　　37.定义函数f?

x?

?

?

x?

y2.证明f?

x?

在?

0,0?

处连续但不可微。

　　?

0,x?

y?

0?

　　n?

1

　　b

　　38.设f是?

0,?

?

上有界连续函数，并设r1,r2,?

是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?

使得：

limn?

?

?

f?

xn?

rn?

?

f?

xn?

?

?

0.

　　39.设函数f?

x?

在x?

0连续，且limx?

0

　　f?

2x?

?

f?

x?

?

a,求证：

f’?

0?

存在且等于a.

　　x

　　1n

　　40.无穷数列?

an?

?

bn?

满足limn?

?

an?

a,limn?

?

bn?

b,证明:

lim?

aibn?

1-i?

ab.

　　n?

?

ni?

1

　　41.设f是?

0,?

?

上具有二阶连续导数的正函数，且f’?

x?

?

0,f’’有界，则limt?

?

f’?

t?

?

0

　　42.用?

?

?

分析定义证明limt?

?

1

　　x?

31

　　?

x2?

92

　　43.证明下列各题

　　?

1?

设an?

?

0,1?

，n?

1,2,?

试证明级数?

2nann?

1?

an?

n收敛；

　　n?

1

　　?

　　?

2?

设?

an?

为单调递减的正项数列，级数?

n2014an收敛，试证明limn2014an?

0;

　　n?

?

　　n?

1

　　?

　　?

3?

设f?

x?

在x?

0附近有定义，试证明权限limx?

0f?

x?

存在的充要条件是：

对任何趋于0的数列?

xn?

?

yn?

都有limn?

?

?

f?

xn?

?

f?

yn?

?

?

0.

　　?

1?

44.设?

an?

为单调递减数列的正项数列，级数?

anln?

1?

an?

0?

?

?

收敛，试证明limn?

?

n?

n?

1?

　　a?

1。

45.设an?

0，n=1,2，an?

a?

0,,证limn

　　n?

?

　　?

　　46.设f为上实值函数，且f＝1，f?

＝〔1，＋?

〕

　　limf存在且小于1＋。

　　x?

＋?

4

　　，证明x?

1）2

　　x2＋f

　　?

　　47.已知数列{an}收敛于a，且

　　a?

a?

?

?

asn?

，用定义证明{sn}也收敛于a

　　n

　　48.若f?

x?

在?

0,?

?

?

上可微，lim

　　n?

?

　　f

　　?

0，求证?

0,?

?

?

内存在一个单

　　x?

?

x

　　调数列{?

n}，使得lim?

n?

?

?

且limf?

?

0

　　n?

?

　　x?

?

e?

sinx?

cosx?

x?

0

　　49.设f?

x?

?

?

2,确定常数a,b,c,使得f’’?

x?

在?

?

?

?

?

处处存在。

　　?

?

ax?

bx?

c,x?

0