高考全国一卷理科数学答案及解析.docx
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高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学
参考答案与解析
一、选择题:
本题有12小题,每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由题可得z(-i)2ii,所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x
2-x-2>0},则A=
A、{x|-1 B、{x|-1x2} C、{x|x<-1}∪{x|x>2} D、{x|x-1}∪{x|x2} 【答案】B 【解析】由题可得CRA={x|x 2-x-2≤0},所以{x|-1x2} 【考点定位】集合 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是: A、新农村建设后,种植收入减少。 B、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。 C、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。 D、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。 【答案】A 【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60,% 【考点定位】简单统计 4、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 【答案】B 【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得: 2d+3a1=0;d=-3∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考点定位】等差数列求和 5、设函数f(x)=x3+(a-1)x 3+(a-1)x 2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为: A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 【答案】D 【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得: f(x)+f(-x)=2*(a-1)x 2=0∴a=1 f(x)=x3+x 求导f‘(x)=3x2+1 f‘(0)=1所以选D 【考点定位】函数性质: 奇偶性;函数的导数 6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= A、-- B、-- C、-+ D、- 【答案】A 11 【解析】AD为BC边∴上的中线AD=ABAC 22 111 E为AD的中点∴AE=ADABAC 244 1131 AB-ABACAB EB=AB-AE=()AC 4444 【考点定位】向量的加减法、线段的中点 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M在正视图上的对 应点为11A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N 的路径中,最短路径的长度为 A、 B、 C、3 D、2 【答案】B 【解析】将圆柱体的侧面从A点展开: 注意到B点在 1 4 圆周处。 AA B ∴最短路径的长度为AB=22+42 【考点定位】立体几何: 圆柱体的展开图形,最短路径 8.设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点, 则·= A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】 抛物线C: y2=4x的焦点为F(1,0) 2 直线MN的方程: y(x2) 3 2-6y+8=0∴y=2或y=4 消去x整理得: y M、N的坐标(1,2),(4,4) 则·=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8 【考点定位】抛物线焦点向量的数量积 如果消去X,计算量会比较大一些,您不妨试试。 9.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的 取值范围是 A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 【答案】C 【解析】 根据题意: f(x)+x+a=0有两个解。 令M(x)=-a, N(x)=f(x)+x= ? ? ? ? +? ? ? ? ≤0 ? ? +? ? ? ? ≤0 ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? >0 ? ? ? ? +1>0? ? ≤0 分段求导: N‘(x)=f(x)+x= 1 说明分段是增函数。 考虑极限位置,图形如下: ? ? +1>0? ? >0 M(x)=-a在区间(-∞,+1]上有2个交点。 ∴a的取值范围是C.[-1,+∞) 【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。 此图由三个半圆构成,三个半圆 的直径分别为。 直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域 记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 【答案】A 【解析】 整个区域的面积: S1+S半圆BC=S 半圆AB+S半圆AC+S △ABC 根据勾股定理,容易推出S 半圆BC=S半圆AB+S 半圆AC ∴S1=S△ABC故选A 【考点定位】古典概率、不规则图形面积 11.已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条 渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则∣MN∣= A. B.3 C. D.4 【答案】B 【解析】N 右焦点,OF=3+1==2, F o 渐近线方程y=± 3 x∴∠NOF=∠MOF=30° 3 M 在Rt△OMF中,OM=OF*co∠sMOF=2*cos=3°03 在Rt△OMN中,MN=O? Mtan∠? ? ? ? ? =? 3*tan(30°+30°)=3 【考点定位】双曲线渐近线、焦点 概念清晰了,秒杀! 有时简单的“解三角”也行,甚至双曲线都不用画出来。 如果用解方程, 计算量很大。 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所 得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 2 如图平面α截正方体所得截面为正六边形,此时,截面面积最大,其中边长GH= 2 截面面积S=6× 3 ×( 4 2 ) 2 2= 【考点定位】立体几何截面 【盘外招】交并集理论: ABD交集为3,AC交集为 3 4 ,选A 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为. 【答案】6 【解析】 当直线z=3x+2y经过点(2,0)时,Zmax=3*2+0=6 【考点定位】线性规划(顶点代入法) 14.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=. 【答案】-63 【解析】 S1=2a1+1=a1∴a1=-1 n>1时,Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1两式相减: Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1 an=a1×2n-1=(-1)×2n-1 ∴S6=(-1)×(26-1)=-63 【考点定位】等比数列的求和 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法 共有种.(用数字填写答案) 【答案】16 【解析】 C21C42+C22C14=2×6+1×4=16 【考点定位】排列组合 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是. 【答案】 -33 2 【解析】 f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx) 考虑到f(x)为奇函数,可以求f(x)最大值.将f(x)平方: 2(x)=4sin f 2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)×((3-3cosx) +3(1+cosx))/4) 4= 4 3 ×( 6 4 )4= 4= 27 4 当3-3cosx=1+cosx即cosx= 1 2 时,f2(x)取最大值 2(x)取最大值 -33f(x)min= 2 【考点定位】三角函数的极值,基本不等式的应用 【其他解法】: 1.求导数解答 2.f(x)=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。 三.解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共60分。 17.(12分) 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=,求BC. 【答案】 【解析】 (1)在△ABD中,由正弦定理得 BD sin∠? ? = AB sin∠? ? ? ? ? ? 2 ∴sin∠ADB=ABsin∠ADB/BD= 5 由题设可知,∠ADB<90°∴cos∠? ? ? ? =? ? 1- 2 = 25 23 5 2 (2)由题设及 (1)可知cos∠BDC=sin∠AD=B 5 在△BCD中,由余弦定理得 BC 2=BD2+DC2-2BD×DC×cos∠BDC =25+8-2×5×× 2 5=25 ∴BC=5 【考点定位】正弦定理余弦定理 18.(12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕 把? DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明: 平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 【答案】 【解析】 (1)由已知可得PF⊥BF,BF⊥EF∴BF⊥平面PEF 又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD (2)PH⊥EF,垂足为H,由 (1)可得,PH⊥平面ABFD∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH. CD 2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+(EF-HF)2+PH2 2222 CF=PF=HF+PH 设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是: 2=12+(2-HF)2+PH 2 2 2=HF2+PH 2 1 1 ∴解方程得HF= 2 PH= 3 2 3 在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=/2= 2 3 . 4 【考点定位】立体几何点、直线、面的关系 17.(12分) 设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点, 点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明: ∠OMA∠=OMB. 【答案】 【解析】 (1)由已知可得F(1,0),直线l的方程为x=1 由已知可得,点A的坐标为(1, 2 )或(1,— 2 2 ) 2 ∴直线AM的方程为y=— 2 x+2或y= 2 2 x—2 2 0 (2)当l与x轴重合,.∠OMA∠=OM=B0 当l与x轴垂直,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA∠=OMB 当l与x轴不重合且不垂直,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0) 点A(x1,y1),B(x2,y2),x1<2,X2<2,则直线MA、MB的斜率之和 ? ? 1? ? 2? ? (? 1? -1)? ? (? 2? -1)2? ? ? 1? ? 2? -3? ? ? ? 1+? 2? +4? ? KMA+KMB= ? ? 1-2+? ? 2-2=? 1? -2+? ? 2-2= (? ? 1-2)(? ? 2-2) 将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得: (2k2+1)x2-4k 2+1)x2-4k 2x+(2k2-2)=0 4? ? 2 x1∴+x2= 2? ? 2+1,x 2? ? 2-2 2? ? 2+1 1x2= 4? ? 3-4? ? -12? ? 3+8? ? 3+4? ? 2? ? ? 1? ? ? 2-3? ? ? ? 1+? ? 2+4? ? =2? ? 2+1=0 从而KMA+KMB=0MA、MB的倾斜角互补,∴∠OMA∠=OMB 综上所述,∠OMA∠=OMB 【考点定位】圆锥曲线 20、(12分) 某工厂的某、种、产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验, 如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再 根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的k概率都为P (0 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P),f(P)求f(P)的最大值点 。 (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的作为P的 值,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格 品支付25元的赔偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的 和记为X,求EX: (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的 所有产品作检验? 【答案】 【解析】 (1)f(P)=C202P2(1-P) 2P2(1-P) 18=12(9P) 2(9P) 81C20 2(1-P) 1(9P? 2+(1-P)? 18) 18 2×{ ≧ 81C20 } 20 20=1 81C20 2× 9 } { 10 20 19×918 当9P=1-P,即f(P)的最大值点P0=0.1.f(0.1)= 1019 (2)令Y表示余下的180件产品中不合格品件数,依题意可知Y-B(180,0.1), X=20*2+25Y=40+25Y ∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=490 (ii)如果开箱检验,检验费=200*2=400元 EX>400,∴应该对这箱余下的所有产品作检验。 【考点定位】随机变量及分布: 二项分布最值(基本不等式)、数学期望 21、(12分) 已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若存在两个极值点,,证明: . 【答案】 【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞) f’(x)=- 1 ? ? 2-1+ ? ? =- ? ? ? ? 2-? ? ? ? +1 ? ? 2 △=a2-4 (i)若a≤2,则f’(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f’(x)=0,∴f(x)在(0,+∞)单调递 减。 (i)若a>2,令f’(x)=0得到,? ? = ? ? ±? ? 2-4 2 ? ? -? ? 2-4 当x∈(0,)∪( 2 ? ? +? ? 2-4 2 ,+∞)时,f’(x)<0 当x∈( ? ? -? ? 2-4 2 ? ? +? ? 2-4 2 )时,f’(x)>0 ? ? -? ? 2-4 2 ∴f(x)在x∈(0, ? ? +? ? 2-4 ),(,+∞)单调递减,在( 2 ? ? -? ? 2-4 2 ? ? +? ? 2-4 2 )单调递增。 (2)由 (1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a>2 由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0所以x1x2=1不妨设x1 fx1-f(x2) x1-x2 = 1 x1x2 ? ? ? ? 1? -? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 1? ? -? ? ? ? ? 2? ? -2? ? ? ? 2? ? -1+? ? =-2+? ? =-2+? ? x1-x2x1-x21/x2-x2 等价于 1 x2-? ? 2+2? ? ? 2? ? 0 设g(x)= 1 x-? ? +2? ? ? 由? ? ? (1)可知g(x)在(0,+∞)单调递减,又g (1)=0,从而当x∈(1,+ ∞)时g(x)<0 1 ∴ x2 -? 2? +2? ? ? ? 2? 0即 【考点定位】函数导数的应用 (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答。 如果多做,则按所做的第 一题计分。 18.[选修4-4: 坐标系与参数方程]、(10分) 在直角坐标系xOy中,曲线C? 的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为 极轴建立极坐标系,曲线C? 的极坐标方程为p2+2p-3=0. (1)求C? 的直角坐标方程: (2)若C? 与C? 有且仅有三个公共点,求C? 的方程. 【答案】 【解析】 (1)由x=cosθ,y=sinθ得到C? 的直角坐标方程: x2+y2+2x-3=0即(x+1) 2+y2+2x-3=0即(x+1) 2+y2=4 (2)由 (1)可知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆。 由题设可知,C1是过点B(0,2)且关于Y轴对称的两条射线,且 C1: = ? ? ? +? 2? ? >0 -? ? ? ? +2? ? ≤0 显然,K=0时,C1与C2相切,只有一个交点。 K>0时,C1与C2没有交点。 ∴C1与C2有且仅有三个交点,则必须满足K<0且y=kx+2(x>0)与C2相切,圆心到射线的距离 |-? ? +2| d= ? ? 2+1=2故K=-4/3或K=0. 经检验,因为K<0,所以K=-4/3。 综上所述,所求C? 的方程y=- 4 3 ∣x∣+2. 【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系 19.[选修4-5: 不等式选讲](10分) 已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣. (1)当a=1时,求不等式f(x)﹥1的解集; (2)当x∈(0,1)时不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范围. 【答案】 -2? ? ≤-1【解析】 (1)当a=1时,f(x)=∣x+1∣-∣x-1∣= 2? ? -1 ? <1 2? ? >1 ∴不等式f(x)﹥1的解集为{x|x> 1 2 } (2)当x∈(0,1)时不等式f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等价于∣ax-1∣<1成立 若a≤0,当x∈(0,1)时∣ax-1∣≧1 若a>0,当x∈(0,1)时∣ax-1∣<1的解集为0 2 ∴ ? ? 2
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