等差数列常考题型归纳总结很全面.docx
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等差数列常考题型归纳总结很全面
等差数列及其前n项和教学目标:
1、熟练掌握等差数列定义;通项公式;中项;前n项和;性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量,证明数列是等差数列,解决与等差数列有关的简单问题。
知识回顾:
1.定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
用递推公式
(2)或
表示为
ann
a1dn
an1an
d(n1)。
(证明数列是等差数列的关键)
2.通项公式:
等差数列的通项为:
a条直线上自然数的点的集合。
推广:
a1(n
1)d,a
当d0时,an是关于n的一次式,它的图象是一am(nm)d
3.中项:
如果a,A,b成等差数列,那么
A叫做a与b的等差中项;其中A。
2
4.等差数列的前
n项和公式
n(aa
1
n(n
1)
na
1
d可以整理成
d2
Sn=2n
+ad)n
(1。
当d≠0时是n2
的一个常数
项为0的2二次函数。
5.等差数列项的性质
(1)在等差数列
2
p,
m,n,
qN且
别的,若m,
an中,若
n
qN且
q,则am
an
apaq;特
2mp
q,则2am
apaq。
2)
已知数列a
bn为等差数列,
Sn,Tn为其前
项和,
S1
2n
T1
2n
3)
若等差数列的前n项和为Sn,则
n,SS,S
S
也成等差数列,
公差dnd
'2
2n
3n
2n
S,(n
1
1)
Sn
n也是等差数列,且公差为
第1页共7页
4)
(n2)
1
若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列
快乐每一天,收获多一点。
考点分析考点一:
等差数列基本量计算例1、等差数列{an}中,a13a8a15120,则3a9a11的值为
a2=3,a6=11,则S7等于
练习
1)设Sn是等差数列a的前n项和.已知n
A.-2
1
B.-2
3)在等差数列
a中,已知n
A.10
B.16
C.49
D.63
aa,
a30,则公差d=
7241
1
C.2
D.2
a32,则该数列的前5项之和为
C.20
D.32
A.13B.35
2)数列an为等差数列,且
4)若等差数列
{an}的前
5项和S5=
25,且a2=3,则a7等于()
A.12
B.13
C.14
D.15
5)记等差数列
{a
1
2,S4=20,则S6等于(
)
例1、等差数列
13项的和是(
A.16
n}的前n项和为Sn,若a1=
B.24
C.36
D.48
6)a的前n
n
项和为S,
n
若a12,
S312,则a等于(
6
)
A.8
B.10
C.12
D.14
考点二:
等差数列性质应用
a中,3(a3a5)2(a7a10a13)24,则该数列前n
A.13练习
B.26C.52
D.156
a3+a4+a5=12,则a1+a2+?
+a7等于(
1、在等差数列
an中,a1a9
10,
则
a5的值为
A.5
B.6
C.
8
D.
64
2、在等差数列
{a}中,aa
a
,则a(
)
n12,3
5
10
7
A.5
B.8C.
10
D.14
3、设数列{an}是等差数列,若
快乐每一天,收获多一点。
第2共页7页
A.14B.21C.28D.35
例2、设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a
9等于()
A.63B.45C.36D.27
练习、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=.
例3、已知Sn是等差数列
=6,则S2016=
2008
S2014S2008
{an}的前n项和,若a1=-2014,
2014
练习、
(1)已知等差数列
{an}的前
S3S2项和为S-n,且满足=1,
32
则数列{an}的公差是
A.
B.1
C.2
D.3
例4、设Sn,Tn分别是等差数列
an
bn的前
Sn项和,S
T
7n
例5、已知等差数列a的公差为2,
n
和为25,则这个数列的项数为
3
项数是偶数,所有奇数项之和为
a
,则5
b
5
15,所有偶数项之
练习1、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()
A.13项B.12项C.11项D.10项
2、等差数列a的公差d
n
2,a1a4a7
a9750,那么a3a6a9
a99
A.-78B.-82
C.-148
D.-
182
考点三:
等差数列的证明
例1:
在数列{an}中,a11,
a111,
b2,
其中nN*.
n4a
n2a1
n
n
1)求证:
数列{bn}是等差数列;
2)求证:
在数列{an}中对于任意的
练习1、数列a满足a11,a22,an22an1an2。
n
(1)设b1,证明bn是等差数列;
naa
nn
(2)求数列a的通项公式。
n
2、已知数列
{an}中,a
3
1=5
,an=2-
1
(n≥2,n∈N*),数列{b
n}满足b
(n∈an-1
an
-1
}是等差数列;
*).求证:
数列{b
3、数列an满足:
a12,
an
1是等差数列;a
n
2an
nN。
求证:
a2
n
小结与拓展:
1)定义法:
an1a
d(n
N,d是常数)
an是等差数列;
2)中项法:
2an1a
an2(n
N)an是等差数列;
3)通项公式法:
knb
k,b是常数)
an是等差数列;
4)前n项和法:
Sn=
2
kn+bn(k,b是常数)
考点四:
等差数列前n项和的最值快乐每一天,收获多一点
是等差数列
第4页共7页
n
A.S10S11
B.
S10
S11
2.设an(nN
)是等差数列,
Sn是其前
误.的是()
A.d0
B..
a7
0
a
(n
考点五:
等差数列和项转换
a
1
n
S
S
n
n
2
例1、已知数列
an的前n
项和为S
n
n
练习1、设数列a是等差数列,且a2
1)a10,d0时,Sn有最大值;a10,d0时,Sn有最小值;
(2)Sn最值的求法:
①若已知Sn,可用二次函数最值的求法(nN);②找到正负项
分界的是第几项。
例1、数列a中,an2n49,当数列an的前n项和Sn取得最大值时,
n
n
练习1、设等差数列a的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时n
n等于()
A.6B.7C.8D.9
2、若等差数列an满足a7a8a90,a8a90,则当n时an的前n项和
最大。
例2、在等差数列a中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得n
最大值,则d的取值范围为。
例3、等差数列a中,a10,前n项和为Sn,且仅当S5S12,则当n时,Sn取最大
n
值。
8,a155,Sn是数列an的前n项和,则()
C.S9S10D.S9S10
n项的和,且S5S6,S6S7S8则下列结论错.
C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值
1)
(n
1
2)
1a。
,求n
n
2
2,求an。
练习1、已知数列an的前n项和为nS
快乐每一天,收获多一点。
第5页共7页
,则a8的值为(
2、设数列{an}的前n项和Snn
A.15B.16C.49
D.64
习题15.2
1、在等差数列an中,
1)已知a12,d3,n10,求a;n
2)已知aan21,d2,求n
3,
3)已知a12,a27,求d
1
6
2、
4)
已知
在等差数列
1)
已知S8
2)
已知a6
S8
3)
4)
5)
1d,a7
{an}中,
8,求a
1
48,S12168,求a1,和
10,S55,求a8和
a120,an
5
d
54,Sn599,求d及n;
1
n37,Sn629,求a1及
1
Sn5,求n及an
2,n15,an10,求a1及
。
30,a2050。
3、等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10
(1)求通项公式{an};
2)若S242,求n。
n
4、设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S33,S624,则a9
5、等差数列{an}的前n项和Sn,若a12,S312,则a6()
A.8B.10C.12D.14
6、已知道单调递增的等差数列an的前三项和为21,前三项积为231,则an
7、在等差数列an中,a5120,则a2a4a6a8
8、数列a中,an2n49,当数列a的前n项和Sn取得最大值时,nnn
9、数列an是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负
(1)求数列的公差;
(2)求前n项和Sn的最大值;
(3)当S0时,求n的最大值。
n
快乐每一天,收获多一点。
第7页共7页
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