相交线与平行线讲义OK.docx
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相交线与平行线讲义OK
相交线与平行线讲义
【知识框图】
例题分析:
【知识点一】相交线的性质:
两条直线相交,有且只有一个交点。
例1、(河南)两条直线相交所成的四个角中,下列说法正确的是( )
A、一定有一个锐角B、一定有一个钝角
C、一定有一个直角D、一定有一个不是钝角
例2、(绵阳)在一个平面上任意画3条直线,最多可以把平面分成的部分是( )
A、4个B、6个C、7个D、8个
例3、(鄂州)在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是( )
A、2个B、3个C、4个D、5个
例4、(宿迁)一块长方体橡皮被刀切了3次,最多能被分成块.
例5、在一个平面内,任意四条直线相交,交点的个数最多有( )
A、7个B、6个C、5个D、4个
例6、平面内6条直线两两相交,但仅有3条通过同一点,则截得不重叠线段共( )
A、24条B、21条C、33条D、36条
例7、如右图,两条非平行的直线AB,CD被第三条直线EF所截,交点为PQ,那么这3条直线将所在平面分成( )
A、5个部分B、6个部分
C、7个部分D、8个部分
【知识点二】对顶角、邻补角:
对顶角定义:
两个角有一个公共的顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种关系的两个角互为对顶角。
邻补角定义:
两个角有一个公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角互为邻补角。
对顶角的性质:
对顶角相等。
邻补角的性质:
邻补角互补。
例1、(漳州)如右图,直线
相交于点
,若∠1等于40°,则∠2等于( )
A、50°B、60°C、140°D、160°
例2、(辽宁)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=100°,
则∠BOD的度数是( )
A、20°B、40°C、50°D、80°
例3、(湘西州)如图,直线AB,CD相交于O点,若∠1=30°,
则∠2,∠3的度数分别为( )
A、120°,60°B、130°,50°C、140°,40°D、150°,30°
例4、如右图,图中有对对顶角.
例5、
(1)延长射线OM;
(2)平角是一条射线;(3)线段、射线都是直线的一部分;(4)锐角一定小于它的余角;(5)大于直角的角是钝角;(6)一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°;(7)相等的两个角是对顶角;(8)若∠A+∠B+∠C=180°,则这三个角互补;(9)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.以上说法正确的有( )
A、2个B、3个C、4个D、5个
例6、命题①邻补角互补;②对顶角相等;③同旁内角互补;④两点之间线段最短;⑤直线都相等;⑥任何数都有倒数;⑦如果
,那么
;⑧如果∠A+∠B=90°,那么∠A与∠B互余.其中真命题有( )
A、3个B、4个C、5个D、6个
【知识点三】垂线:
垂线的定义:
当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
垂线的性质一:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质二:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,即垂线段最短。
例1、(宁波)如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠AOD内一点,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是( )
A、125°B、135°C、145°D、155°
例2、(郴州)如图,直线
与
相交于点
,OM⊥
,若
=44°,则β=( )
A、56°B、46°C、45°D、44°
例3、(贺州)在直线AB上任取一点O,过点
作射线OC,OD,使OC⊥OD,
当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是( )
A、60°B、120°C、60°或90°D、60°或120°
例5、用3根火柴棒最多能拼出( )
A、4个直角B、8个直角C、12个直角D、16个直角
例6、已知,OA⊥OC,且∠AOB:
∠AOC=2:
3,则∠BOC的度数为( )
A、30°B、150°C、30°或150°D、90°
例7、(台州)如右图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是( )
A、2.5B、3C、4D、5
例8、体育课上,老师测量跳远成绩的依据是( )
A、平行线间的距离相等B、两点之间,线段最短
C、垂线段最短D、两点确定一条直线
例9、如右图,要从小河引水到村庄A,请设计并作出一最佳路线,理由是.
【知识点四】点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
例1、(湖南)下列说法中,正确的是( )
A、一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫做这个角的平分线
B、P是直线
外一点,A,B,C分别是
上的三点,已知PA=1,PB=2,PC=3,则点P到
的距离一定是1
C、相等的角是对顶角
D、钝角的补角一定是锐角
例2、(江西)在测量跳远成绩时,从落地点拉向起跳线的皮尺,应当与起跳线.
例3、如图,在△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则图中能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )
A、2条B、3条C、4条D、5条
例4、如图,在平面内,两条直线
相交于点
,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线
的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有( )个.
A、1个B、2个C、3个D、4个
例5、若点A到直线
的距离为7cm,点B到直线
的距离为3cm,则线段AB的长度为( )
A、10cmB、4cmC、4cm或10cmD、至少4cm
【知识点五】同位角、内错角、同旁内角
同位角定义:
两条同位角都在两条被截线同一方,并在截线的同侧,这样的一对角叫做同位角。
形如字母F.
内错角定义:
两个角都在两条被截线之间,并且在截线的两侧,这样的一对角叫做内错角。
形如字母Z.
同旁内角定义:
两个角都在被截线之间,并且在截线的同侧,这样的一对角叫做同旁内角。
形如字母U.
注意:
(1)这三种角讲的都是位置关系,而不是大小关系,通常情况,其大小是不确定的。
(2)同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的。
(3)两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、
2对同旁内角。
例1、(桂林)如图,在所标识的角中,同位角是( )
A、∠1和∠2B、∠1和∠3C、∠1和∠4D、∠2和∠3
例2、(梧州)有下列命题:
①两条直线被第三条直线所截,同位角相等;②两点之间,线段最短;③相等的角是对顶角;④两个锐角的和是锐角;⑤同角或等角的补角相等.正确命题的个数是( )
A、2个B、3个C、4个D、5个
例3、(南通)已知:
如图,直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角是( )
A、∠AMFB、∠BMFC、∠ENCD、∠END
例4、(哈尔滨)下列命题中,正确的是( )
A、任何数的平方都是正数B、相等的角是对顶角
C、内错角相等D、直角都相等
例5、(梧州)有下列命题:
①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;②两点之间,线段最短;③对顶角相等;④两个锐角的和不一定是锐角;⑤同角或等角的补角相等.正确命题的个数是( )
A、2个B、3个C、4个D、5个
例6、下列所示的四个图形中,∠1和∠2是同位角的是( )
A、②③B、①②③C、①②④D、①④
例7、如右图所示,同位角共有( )
A、6对B、8对C、10对D、12对
例8、某城市有四条直线型主干道分别为
,
和
相交,
和
相互平行且与
相交成如图所示的图形,则共可得同旁内角( )对.
A、4B、8C、12D、16
【知识点六】平行线
平行线定义:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
注意:
(1)前提“在同一平面内”不可忽视,因为在空间图形中存在两条直线既不平行也不相交的情形;
(2)平行线指的是两条直线,而不是射线或线段,虽然有时我们也说线段或射线平行,但实际上是他们所在的直线平行;
(3)我们把相互重合的两条直线认为是同一条直线,所以在同一平面内,如果两条直线不平行,那么它们一定相交;反之,在同一平面内,如果两条直线不相交,那么它们一定平行。
平行线的表示方法:
如果直线AB平行于直线CD,我们可以写成:
AB∥CD.
例1、(哈尔滨)下列命题中,真命题是( )
A、互补两角若相等,则此两角都是直角B、直线是平角
C、不相交的两条直线叫做平行线D、和为180°的两个角叫做邻补角
例2、下列说法不正确的是( )
A、过任意一点可作已知直线的一条平行线
B、同一平面内两条不相交的直线是平行线
C、在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D、平行于同一直线的两直线平行
例3、下列语句:
①同一平面上,三条直线只有两个交点,则其中两条直线互相平行;②如果两条平行线被第三条截,同旁内角相等,那么这两条平行线都与第三条直线垂直;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中( )
A、①、②是正确的命题B、②、③是正确命题
C、①、③是正确命题D、以上结论皆错
例4、下列语句中:
①一条直线有且只有一条垂线;②不相等的两个角一定不是对顶角;③两条不相交的直线叫做平行线;④若两个角的一对边在同一直线上,另一对边互相平行,则这两个角相等;⑤不在同一直线上的四个点最多可画6条直线;⑥如果两个角是邻补角,那么这两个角的平分线组成的图形是直角.其中错误的有( )A、2个B、3个C、4个D、5个
例5、下列语句正确的是( )
A、平角是直线B、画5cm长的射线
C、平行线就是不相交的两条直线D、在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种:
相交或平行
例6、如右图,共有组平行线段.
【知识点七】平行公理及推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
注意:
把握“有且只有”的含义,它包含两层含义:
“有”——存在性,即存在一条与已知直线平行的直线;“只有”——唯一性,即与已知直线平行的直线是惟一的。
例1、下列说法正确的是( )
A、同位角相等B、在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C、相等的角是对顶角D、在同一平面内,如果a∥b,b∥c,则a∥c
例2、下列说法:
(1)两点之间的距离是两点间的线段;
(2)如果两条线段没有交点,那么这两条线段所在直线也没有交点;(3)邻补角的两条角平分线构成一个直角;(4)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(5)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的是( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
例3、下列说法中可能错误的是( )
A、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C、两条直线相交,有且只有一个交点
D、若两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直
例4、下列选项中正确的是( )
A、相等的角是对顶角B、两直线平行,同旁内角相等
C、直线外一点到这条直线的垂线段,叫点到直线的距离
D、经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
例5、过一点画已知直线的平行线( )
A、有且只有一条B、不存在C、有两条D、不存在或有且只有一条
例6、经过一点A画已知直线a的平行线,能画( )
A、0条B、1条C、2条D、不能确定
【知识点八】平行线的判定(5种方法)
①定义;②平行公理及其推论;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行;⑤同旁内角互补,两直线平行。
例1、(江汉区)对于图中标记的各角,下列条件能够推理得到a∥b的是( )
A、∠1=∠2B、∠2=∠4C、∠3=∠4D、∠1+∠4=180°
例2、(台湾)图中有直线L截两直线L1,L2后所形成的八个角.由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2( )
A、∠2+∠4=180°B、∠3+∠8=180°
C、∠5+∠6=180°D、∠7+∠8=180°
例3、(十堰)如图,点E在AD的延长线上,下列条件中能判断BC∥AD的是( )
A、∠3=∠4B、∠A+∠ADC=180°C、∠1=∠2D、∠A=∠5
例4、(新疆)如图,已知∠1=70°,要使AB∥CD,则须具备另一个条件( )
A、∠2=70°B、∠2=100°C、∠2=110°D、∠3=110°
例5、(河北)某人在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶方向与原来相同,这两次拐弯的角度可能是( )
A、第一次左拐30°,第二次右拐30°
B、第一次右拐50°,第二次左拐130°
C、第一次右拐50°,第二次右拐130°
D、第一次向左拐50°,第二次向左拐120°
例6、如图,要得到a∥b,则需要条件( )
A、∠2=∠4B、∠1+∠3=180°
C、∠1+∠2=180°D、∠2=∠3
例7、如图,∠3=∠4,则下列条件中不能推出AB∥CD的是( )
A、∠1与∠2互余B、∠1=∠2C、∠1=∠3且∠2=∠4D、BM∥CN
例8、下列与垂直相交的说法:
①同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;③同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都垂直,其中说法错误的个数有( )
A、3个B、2个C、1个D、0个
总结:
一.余角、补角、对顶角、邻补角
1、余角:
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.
2、补角:
如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.
3、邻补角:
两个角有一个公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角互为邻补角。
4、对顶角:
如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.
5、互为余角的有关性质:
①∠1+∠2=90°,则∠1、∠2互余;反过来,若∠1,
∠2互余,则∠1+∠2=90°;②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠2=90°,
∠1+∠3=90°,则∠2=∠3.
6、互为补角的有关性质:
①若∠A+∠B=180°,则∠A、∠B互补;反过来,
若∠A、∠B互补,则∠A+∠B=180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C=
180°,∠A+∠B=180°,则∠B=∠C.
7、邻补角性质:
邻补角互补。
8、对顶角的性质:
对顶角相等.
二.同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质
9、同一平面内两条直线的位置关系是:
相交或平行.
10、“三线八角”的识别:
三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住:
同位角位置相同,即“同旁”和“同侧”;内错角要抓住“内部,两旁”;同旁内角要抓住“内部、同旁”.
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