福建文科数学.docx
- 文档编号:23481007
- 上传时间:2023-05-17
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:125.98KB
福建文科数学.docx
《福建文科数学.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《福建文科数学.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
福建文科数学
2014·福建卷(文科数学)
1.[2014·福建卷]若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于( )
A.{x|3≤x<4}B.{x|3 C.{x|2≤x<3}D.{x|2≤x≤3} 1..A [解析]把集合P={x|2≤x<4}与Q={x|x≥3}在数轴上表示出来,得P∩Q={x|3≤x<4},故选A. 2.[2014·福建卷]复数(3+2i)i等于( ) A.-2-3iB.-2+3i C.2-3iD.2+3i 2.B [解析](3+2i)i=3i+2i2=-2+3i,故选B. 3.[2014·福建卷]以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A.2πB.πC.2D.1 3.A [解析]由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r=1,高h=1,则该圆柱的侧面积S=2πrh=2π,故选A. 4.[2014·福建卷]阅读如图11所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为( ) 图11 A.1B.2C.3D.4 4.B [解析]当n=1时,21>12成立,执行循环,n=2;当n=2时,22>22不成立,结束循环,输出n=2,故选B. 5.[2014·福建卷]命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( ) A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0 B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0 C.∃x0∈[0,+∞),x+x0<0 D.∃x0∈[0,+∞),x+x0≥0 5.C [解析]“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”是含有全称量词的命题,其否定是“∃x0∈[0,+∞),x+x0<0”,故选C. 6.[2014·福建卷]已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( ) A.x+y-2=0B.x-y=2=0 C.x+y-3=0D.x-y+3=0 6.D [解析]由直线l与直线x+y+1=0垂直,可设直线l的方程为x-y+m=0. 又直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心(0,3),则m=3,所以直线l的方程为x-y+3=0,故选D. 7.[2014·福建卷]将函数y=sinx的图像向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图像,则下列说法正确的是( ) A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π C.y=f(x)的图像关于直线x=对称 D.y=f(x)的图像关于点对称 7.D [解析]将函数y=sinx的图像向左平移个单位后,得到函数y=f(x)=sin的图像,即f(x)=cosx.由余弦函数的图像与性质知,f(x)是偶函数,其最小正周期为2π,且图像关于直线x=kπ(k∈Z)对称,关于点(k∈Z)对称,故选D. 图12 8.[2014·福建卷]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图12所示,则下列函数图像正确的是( ) 图12 A B C D图13 8.B [解析]由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3. 选项A中的函数为y=,其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x3,其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-x)3,其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),其函数图像不正确,故选B. 9.[2014·福建卷]要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元B.120元 C.160元D.240元 9.C [解析]设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4m3,高为1m.得另一边长为m. 记容器的总造价为y元,则 y=4×20+2×1×10 =80+20 ≥80+20×2 =160, 当且仅当x=,即x=2时等号成立. 因此,当x=2时,y取得最小值160,即容器的最低总造价为160元,故选C. 10.[2014·福建卷]设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于( ) A.B.2 C.3D.4 10.D [解析]如图所示,因为M为平行四边形ABCD对角线的交点,所以M是AC与BD的中点,即=-,=-. 在△OAC中,+=(+)+(+)=2. 在△OBD中,+=(+)+(+)=2, 所以+++=4,故选D. 11.[2014·福建卷]已知圆C: (x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω: 若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( ) A.5B.29 C.37D.49 11.C [解析]作出不等式组表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示,含边界),圆C: (x-a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为(a,b),半径为1.由圆C与x轴相切,得b=1.解方程组得即直线x+y-7=0与直线y=1的交点坐标为(6,1),设此点为P. 又点C∈Ω,则当点C与P重合时,a取得最大值, 所以,a2+b2的最大值为62+12=37,故选C. 12.[2014·福建卷]在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L距离”定义为||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L距离”之和等于定值(大于||F1F2||)的点的轨迹可以是( ) A B C D 图14 12.A [解析]设M(x,y)是轨迹上任意一点,F1(-c,0),F2(c,0),||MF1|+|MF2||=2a,其中a为常数,且a>c>0, 由“L-距离”定义,得 |x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|y|=(2a-|x+c|-|x-c|), 当y≥0时,y= 当y<0时,y= 则满足上述关系的图像只有选项A. 13.[2014·福建卷]如图15所示,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________. 图15 13.0.18 [解析]设阴影部分的面积为S.随机撒1000粒豆子,每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即 ≈==0.18, 所以可以估计阴影部分的面积为0.18. 14.[2014·福建卷]在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于________. (这是边文,请据需要手工删加) 14.1 [解析]由=,得sinB==1, 即B=90°,所以△ABC为以AB,BC为直角边的直角三角形, 则AB===1,即AB等于1. 15.[2014·福建卷]函数f(x)=的零点个数是________. 15.2 [解析]当x≤0时,f(x)=x2-2, 令x2-2=0,得x=(舍)或x=-, 即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点. 当x>0时,f(x)=2x-6+lnx, 令2x-6+lnx=0,得lnx=6-2x. 作出函数y=lnx与y=6-2x在区间(0,+∞)上的图像, 则两函数图像只有一个交点,即函数f(x)=2x-6+lnx(x>0)只有一个零点. 综上可知,函数f(x)的零点的个数是2. 16.[2014·福建卷]已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系: ①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于________. 16.201 [解析](i)若①正确,则②③不正确,由③不正确得c=0,由①正确得a=1,所以b=2,与②不正确矛盾,故①不正确. (ii)若②正确,则①③不正确,由①不正确得a=2,与②正确矛盾,故②不正确. (iii)若③正确,则①②不正确,由①不正确得a=2,由②不正确及③正确得b=0,c=1,故③正确. 则100a+10b+c=100×2+10×0+1=201. 17.[2014·福建卷]在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an; (2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn. 17.解: (1)设{an}的公比为q,依题意得 解得 因此,an=3n-1. (2)因为bn=log3an=n-1, 所以数列{bn}的前n项和Sn==. 18.[2014·福建卷]已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求f的值; (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 18.解: 方法一: (1)f=2cos =-2cos=2. (2)因为f(x)=2sinxcosx+2cos2x =sin2x+cos2x+1 =sin+1, 所以T==π,故函数f(x)的最小正周期为π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 方法二: f(x)=2sinxcosx+2cos2x =sin2x+cos2x+1 =sin+1. (1)f=sin+1 =sin+1 =2. (2)因为T==π,所以函数f(x)的最小正周期为π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 19.[2014·福建卷]如图16所示,三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求证: CD⊥平面ABD; (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥AMBC的体积. 图16 19.解: 方法一: (1)证明: ∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD, ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B, AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD, ∴CD⊥平面ABD. (2)由AB⊥平面BCD, 得AB⊥BD. ∵AB=BD=1,∴S△ABD=. ∵M是AD的中点, ∴S△ABM=S△ABD=. 由 (1)知,CD⊥平面ABD, ∴三棱锥CABM的高h=CD=1, 因此三棱锥AMBC的体积 VAMBC=VCABM=S△ABM·h=. 方法二: (1)同方法一. (2)由AB⊥平面BCD,得平面ABD⊥平面BCD. 且平面ABD∩平面BCD=BD. 如图所示,过点M作MN⊥BD交BD于点N, 则MN⊥平面BCD,且MN=AB=. 又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=. ∴三棱锥AMBC的体积 VAMBC=VABCD-VMBCD =AB·S△BCD-MN·S△BCD =. 20.[2014·福建卷]根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表: 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位: 美元) A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10000 (1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准; (2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率. 20.解: (1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为 = 6400(美元). 因为6400∈[4085,12616), 所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准. (2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是: {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个. 设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”, 则事件M包含的基本事件是: {A,C},{A,E},{C,E},共3个. 所以所求概率为P(M)=. 21.[2014·福建卷]已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程. (2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究: 当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化? 证明你的结论. 21.解: 方法一: (1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点. 依题意,点S到点F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等, 所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线, 所以曲线Γ的方程为x2=4y. (2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下: 由 (1)知抛物线Γ的方程为y=x2. 设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=x, 由y′=x,得切线l的斜率k=y′|x=x0=x0, 所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x. 由得A. 由得M. 又N(0,3),所以圆心C, 半径r=|MN|=, |AB|= = =. 所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变. 方法二: (1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点, 则|y-(-3)|-=2. 依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3, 所以=y+1, 化简得,曲线Γ的方程为x2=4y. (2)同方法一. 22.[2014·福建卷]已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明: 当x>0时,x2<ex; (3)证明: 对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex. 22.解: 方法一: (1)由f(x)=ex-ax, 得f′(x)=ex-a. 又f′(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令f′(x)=0,得x=ln2. 当x<ln2时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>ln2时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=ln2时,f(x)有极小值, 且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4, f(x)无极大值. (2)证明: 令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x. 由 (1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0, 即g′(x)>0. 所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0, 所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex. (3)证明: 对任意给定的正数c,取x0=, 由 (2)知,当x>0时,x2<ex. 所以当x>x0时,ex>x2>x,即x 因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex. 方法二: (1)同方法一. (2)同方法一. (3)证明: 令k=(k>0),要使不等式x<cex成立,只要ex>kx成立. 而要使ex>kx成立,则只需要x>ln(kx), 即x>lnx+lnk成立. ①若0<k≤1,则lnk≤0,易知当x>0时,x>lnx≥lnx+lnk成立. 即对任意c∈[1,+∞),取x0=0, 当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex. ②若k>1,令h(x)=x-lnx-lnk,则h′(x)=1-=, 所以当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增. 取x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-lnk=2(k-lnk)+2(k-ln2), 易知k>lnk,k>ln2,所以h(x0)>0. 因此对任意c∈(0,1),取x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex. 综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex. 方法三: (1)同方法一. (2)同方法一. (3)证明: ①若c≥1,取x0=0, 由 (2)的证明过程知,ex>2x, 所以当x∈(x0,+∞)时,有cex≥ex>2x>x, 即x<cex. ②若0<c<1, 令h(x)=cex-x,则h′(x)=cex-1. 令h′(x)=0得x=ln. 当x>ln时,h′(x)>0,h(x)单调递增. 取x0=2ln, 则h(x0)=ce2ln-2ln=2, 易知-ln>0,又h(x)在(x0,+∞)内单调递增, 所以当x∈(x0,+∞)时,恒有h(x)>h(x0)>0, 即x<cex. 综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 福建 文科 数学