专题68 费马点中的对称模型与最值问题解析版.docx
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专题68费马点中的对称模型与最值问题解析版
专题68费马点中的对称模型与最值问题
【专题说明】
利用轴对称的性质,把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。
【精典例题】
1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.
【分析】如图,以AD为边构造等边△ACD,连接BD,BD的长即为PA+PB+PC的最小值.至于点P的位置?
这不重要!
如何求BD?
考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形,过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点,根据勾股定理,
即可得出结果.
2、如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.
【分析】依然构造60°旋转,将三条折线段转化为一条直线段.
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG,连接FG,
易证△AMD≌△AGF,∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值.
3、如图,
是
内一定点,点
,
分别在边
,
上运动,若
,
,则
的周长的最小值为___________.
【答案】3
【详解】
如图,作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,最短的值是CD的长.
∵点P关于OA的对称点为C,
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,
∴OC=OD=OP=3,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=3.
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3.
4、如图,点
都在双曲线
上,点
,分别是
轴,
轴上的动点,则四边形
周长的最小值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
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