学年苏教版选修22第3章 31 数系的扩充 学案.docx
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学年苏教版选修22第3章31数系的扩充学案
学习目标
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.
知识点一 复数的概念及代数表示
思考 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢?
答案 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同时得到一些新数.
梳理
(1)虚数单位i
引入一个新数i,叫做虚数单位,并规定:
①i2=-1.
②实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.
(2)复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所组成的集合叫做复数集,记作C.
(3)复数的代数形式
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
知识点二 复数的分类
1.复数(a+bi,a,b∈R)
2.集合表示:
知识点三 两个复数相等的充要条件
思考1 由4>2能否推出4+i>2+i?
答案 不能.当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复数不全是实数时,不能比较大小.
思考2 两个复数能不能判断相等或不等呢?
答案 能.
梳理 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.
类型一 复数的概念
例1
(1)给出下列三个命题:
①若z∈C,则z2≥0;
②2i-1虚部是2i;
③2i的实部是0;
④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;
⑤实数集的补集是虚数集.
其中真命题的序号为________.
(2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________.
答案
(1)③⑤
(2)±
,5
解析
(1)令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确.
②中2i-1的虚部应是2,故②不正确.
④当a=0时,ai=0为实数,故④不正确,∴只有③⑤正确.
(2)由题意知
∴a=±
,b=5.
反思与感悟
(1)复数的代数形式:
若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例:
判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
跟踪训练1 下列命题:
①1+i2=0;
②若a∈R,则(a+1)i为纯虚数;
③若x2+y2=0,则x=y=0;
④两个虚数不能比较大小.
是真命题的为________.(填序号)
答案 ①④
解析 ②当a=-1时,(a+1)i=0,所以②错.
③当x=i,y=1时,x2+y2=0,所以③错.
所以①④正确.
类型二 复数的分类
例2 求当实数m为何值时,z=
+(m2+5m+6)i分别是:
(1)虚数;
(2)纯虚数.
解
(1)复数z是虚数的充要条件是
⇔m≠-3且m≠-2.
∴当m≠-3且m≠-2时,复数z是虚数.
(2)复数z是纯虚数的充要条件是
⇔
⇔m=3.
∴当m=3时,复数z是纯虚数.
引申探究
1.若本例条件不变,m为何值时,z为实数.
解 由已知得,复数z的实部为
,
虚部为m2+5m+6.
复数z是实数的充要条件是
⇔
⇔m=-2.
∴当m=-2时,复数z是实数.
2.已知i是虚数单位,m∈R,复数z=
+(m2-2m-15)i,则当m=________时,z为纯虚数.
答案 3或-2
解析 由题意知
解得m=3或-2.
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等式求参数.
跟踪训练2 实数m为何值时,复数z=
+(m2+2m-3)i分别是
(1)实数;
(2)虚数;(3)纯虚数.
解
(1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,且
有意义,即m-1≠0,解得m=-3.
(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且
有意义,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z是纯虚数,m需满足
=0,m-1≠0,
且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
类型三 复数相等
例3
(1)已知x0是关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)的实根,则m的值(或取值范围)是________.
答案
解析 由题意,得x
-(2i-1)x0+3m-i=0,
即(x
+x0+3m)+(-2x0-1)i=0,
由此得
⇒m=
.
(2)已知xi+2y-3x-yi=1-i,求实数x,y的值.
解 ∵xi+2y-3x-yi=1-i,
∴2y-3x+(x-y)i=1-i,
∴
解得x=1,y=2.
反思与感悟 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数.
跟踪训练3 下列命题中正确的命题为________.(填序号)
①若a+bi=0,则a=b=0;
②x+yi=2+2i⇔x=y=2;
③若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则y=1.
答案 ③
解析 ①,②所犯的错误是一样的,即a,x不一定是复数的实部,b,y不一定是复数的虚部;③正确,因为y∈R,所以y2-1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得
解得y=1.
1.在复数集中,满足方程x2+2=0的解是________.
答案 ±
i
2.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=______________________________________.
答案 1
解析 因为(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,
所以x2-1=0且x2+3x+2≠0,解得x=1.
3.下列几个命题:
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;
③1-ai(a∈R)是一个复数;
④虚数的平方不小于0;
⑤-1的平方根只有一个,即为-i;
⑥i是方程x4-1=0的一个根;
⑦
i是一个无理数.
其中真命题的序号为________.
答案 ①②③⑥
解析 命题①②③⑥正确,④⑤⑦错误.
4.若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________.
答案 -2
解析 由题意知
得x=-2.
5.复数z=(2a2-a-1)+(a-1)i,a∈R.
(1)若z为实数,求a的值;
(2)若z为纯虚数,求a的值;
(3)若z=9-3i,求a的值.
解
(1)若z为实数,则a-1=0,得a=1.
(2)若z为纯虚数,
则
解得a=-
.
(3)若z=9-3i,
则
解得a=-2.
1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),可以限制a,b的值得到复数z的不同情况.
2.两个复数相等,要先确定两个复数的实、虚部,再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
课时作业
一、填空题
1.设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的________________条件.
答案 必要不充分
解析 因为a,b∈R,当“a=0”时“复数a+bi不一定是纯虚数,也可能b=0,即a+bi=0∈R”.
而当“复数a+bi是纯虚数”,则“a=0”一定成立.
所以a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.
2.若实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy=_______________________________________.
答案 1
解析 因为实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,
所以x+y+(x-y)i=2,可得
所以x=y=1,所以xy=1.
3.以-
+2i的虚部为实部,以
i+2i2的实部为虚部的新复数是________.
答案 2-2i
解析 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),
由题意知复数-
+2i的虚部为2,复数
i+2i2=
i+2×(-1)=-2+
i的实部为-2,则所求的z=2-2i.
4.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y=________.
答案 1
解析 由复数相等的充要条件知,
解得
∴x+y=0.∴2x+y=20=1.
5.若复数z=(cosθ-
)+(sinθ-
)i是纯虚数(i为虚数单位),则tan(θ-
)=________.
答案 -7
解析 ∵复数z=(cosθ-
)+(sinθ-
)i是纯虚数,∴cosθ-
=0,sinθ-
≠0,∴sinθ=-
,∴tanθ=-
,则tan(θ-
)=
=
=-7.
6.已知集合M={1,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={1,3},M∩N={1,3},则实数m=________.
答案 -1
解析 根据题意,M∩N={1,3},故3∈M,而M={1,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},则有(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3,即m2-3m-1=3且m2-5m-6=0,解得m=-1.
7.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=________.
答案 -2
解析
⇒m=-2.
8.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i.则m=1是z1=z2的______________条件.
答案 充分不必要
解析 当z1=z2时,必有m2+m+1=3,m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,显然m=1是z1=z2的充分不必要条件.
9.若复数z=m2+m-2+(m2-m-2)i为实数,则实数m=________.
答案 2或-1
解析 ∵复数z=m2+m-2+(m2-m-2)i为实数,
∴m2-m-2=0,解得m=2或-1.
10.复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是纯虚数,则实数a的取值范围是________________.
答案 (-∞,-1)∪(-1,+∞)
解析 若复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i是纯虚数,则a2-2a-3=0,|a-2|-1≠0,解得a=-1,∴当a≠-1时,复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是纯虚数.故答案为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
11.下列命题中,假命题的序号为________.
①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;
②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0.
答案 ①②③
解析 ①由于x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小,所以②是假命题.③当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以③是假命题.
二、解答题
12.已知复数z=a2-1-(a2-3a+2)i,a∈R.
(1)若z是纯虚数时,求a的值;
(2)若z是虚数,且z的实部比虚部大时,求a的取值范围.
解 复数z=a2-1-(a2-3a+2)i,a∈R.
(1)若z是纯虚数时,可得a2-1=0,a2-3a+2≠0,解得a=-1.
(2)若z是虚数,且z的实部比虚部大时,
可得a2-1>-a2+3a-2≠0,
解得a>1或a<
且a≠2.
所以a的取值范围为(-∞,
)∪(1,2)∪(2,+∞).
13.
(1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值.
(2)关于x的方程3x2-
x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值.
解
(1)∵x2-y2+2xyi=2i,
∴
解得
或
(2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为
3m2-
m-1=(10-m-2m2)i,
∴
解得a=11或a=-
.
三、探究与拓展
14.已知M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},若M∪N=N,则实数m=________.
答案 1或2
解析 ∵M∪N=N,∴M⊆N,
∴m2-2m+(m2+m-2)i=-1或m2-2m+(m2+m-2)i=4i.
由复数相等的充要条件,得
或
解得m=1或m=2.故实数m的值是1或2.
15.若m为实数,z1=(m2+1)+(m3+3m2+2m)i,z2=(4m+2)+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?
使z1 解 当z1∈R时,m3+3m2+2m=0, 解得m=0或m=-1或m=-2, ∴z1=1或z1=2或z1=5. 当z2∈R时,m3-5m2+4m=0, 解得m=0或m=1或m=4, ∴z2=2或z2=6或z2=18. 上面m的公共值为m=0,此时,z1与z2同时为实数,且z1=1,z2=2. ∴当z1>z2时,m值的集合为空集;当z1
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