熊伟编《运筹学》习题六详细解答.docx

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熊伟编《运筹学》习题六详细解答

习题六

6.1如图6—39所示，建立求最小部分树的【解】边［i,j］的长度记为Cij，设

0—1整数规划数学模型。

Xj

1边［i,j］包含在最小部分树内

0否则

数学模型为:

minZcijxij

刁勺£叱

图6—39

Xj5

X12

X13

X23

2,X23

X24

X34

2

X34

X36

X46

2,X35

X36

X56

2

X23

X26

X36

2,X12

X13

X24

X34

X34

X35

X46

X56

3,X12

X13

X26

X23

X35

X26

X56

3,X12

X15

X26

i,j

X36

3

X56

3

Xjj1或0,所有边[i,j]

6.2如图6—40所示，建立求V1到V6的最短路问题的0—1整数规划数学模型。

【解】弧（i,j）的长度记为cij，设

Xij

1弧（i,j）包含在最短路径中

0否则

图6—40

数学模型为:

minZ

i,j

CijXij

X12

X13

〔,X12

X23

X24X25

X13

X23

X34

X35,X24

X34X45

X25

X35

X45

X56,X46

X561

Xij

1或c

）,所有弧

瓜（i,j）

6.3如图6—40所示，建立求

V1到V6的最大流问题的线性规划数学模型。

【解】设Xij为弧（i,j）的流量，数学模型为

minZ

X12

X13

X12

X13

X46

X56

X12

X23

X24

X25

X13

X23

X34

X35

X24

X34

X45

X46

X25

X35

X45

X56

0Xjq,所有弧（i,j）

6.4求图6—41的最小部分树。

图6-41（a）用破圈法，图6-41（b）用加边法。

图6-41

【解】图6-41（a）,该题有4个解，最小树长为21,其中一个解如下图所示。

图6-41

6.5某乡政府计划未来3年内，对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。

根据勘测，10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。

乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。

表6-20

两村庄之间修建公路的费用（万元）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

12.8

10.5

8.5

12.7

13.9

14.8

13.2

12.7

8.9

2

9.6

7.7

13.1

11.2

15.7

12.4

13.6

10.5

3

13.8

12.6

8.6

8.5

10.5

15.8

13.4

4

11.4

7.5

9.6

9.3

9.8

14.6

5

8.3

8.9

8.8

8.2

9.1

6

8.0

12.7

11.7

10.5

6

E

8

H

H

6

A

F

g

£

（3

D

（j

5

何

回

6（14）

E

F

；百

3

图6—42

【解】图6—42（a）:

6.6在图6—42中，求A到H、I的最短路及最短路长，并对图（a）和（b）的结果进行比较。

F.70

e.so

（10）

8（U

最低总成本74.3万元。

A到H的最短路Pah={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22;A到I的最短路Pai={A,B,F,I},{A,C,F,I}

最短路长21。

B

E

US

H

6

1CH21）

11

C1

F

2

（H）

20

D

（10）

A到H的最短路Pah={A,C,G,F,H},最短路长21;A至UI的最短路Pai={A,C,G,F,I},最短路长

20;

结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。

6.7已知某设备可继续使用5年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。

已知5年年初购

置新设备的价格分别为3.5、3.8、4.0、4.2和4.5万元。

使用时间在1〜5年内的维护费用分别为0.4、0.9、1.4、2.3和3万元。

试确定一个设备更新策略，使5年的设备购置和维护总

费用最小。

【解】设点Vj为第j年年初购置新设备的状态，（i,j）为第i年年初购置新设备使用到第j

年年初，弧的权为对应的费用（购置费+维护费），绘制网络图并计算，结果见下图所示。

总费用最小的设备更新方案为：

第一种方案，第1年购置一台设备使用到第5年年末;

第二种方案，第1年购置一台设备使用到第2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末。

总费用为11.5万元。

6.8图6—43是世界某6大城市之间的航线，边上的数字为票价（百美元），用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。

【解】教师可利用模板求解：

data\chpt6\ch6.xls

L1

v3

9

10

0

3

4.8

14

v4

5.6

5

3

0

12

100

v5

8

100

4.8

12

0

9

v6

6

4

14

100

9

0

L2

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

0

8.8

8.6

5.6

8

6

v2

8.8

0

8

5

13

4

v3

8.6

8

0

3

4.8

14

v4

5.6

5

3

0

7.8

9

v5

8

13

4.8

7.8

0

9

v6

6

4

14

9

9

0

L3

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

0

8.8

8.6

5.6

8

6

v2

8.8

0

8

5

13

4

v3

8.6

8

0

3

4.8

12

v4

5.6

5

3

0

7.8

9

v5

8

13

4.8

7.8

0

9

v6

6

4

12

9

9

0

最优票价表:

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

0

8.8

8.6

5.6

8

6

v2

0

8

5

13

4

v3

0

3

4.8

12

v4

0

7.8

9

v5

0

9

v6

0

VI、V2、…、V6到各点的最优路线图分别为:

6.9设图6-43是某汽车公司的在6个工厂中选一个建装配车间。

6个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离（km）。

现要

（1）应选那个工厂使零配件的运输最方便。

（2）装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是

0.5、0.6、0.8、

1.3、1.6和1.7

吨，运价为2元/吨公里。

应选那个工厂使总运费最小。

【解】⑴利用习题6.8表L3的结果

L叫nmaxLj12.8

v1

v2

v3

v4

v5

v6

Max

V1

0

8.8

8.6

5.6

8

6

8.8

v2

8.8

0

8

5

13

4

12.8

v3

8.6

8

0

3

4.8

12

12

v4

5.6

5

3

0

7.8

9

9

v5

8

13

4.8

7.8

0

9

12.8

v6

6

4

12

9

9

0

12

选第1个工厂最好。

（2）计算单件产品的运价，见下表最后一行。

计算单件产品的运费，见下表最后一列。

v1

v2

v3

v4

v5

v6

单件产品运费

v1

0

8.8

8.6

5.6

8

6

84.88

v2

8.8

0

8

5

13

4

89.16

v3

8.6

8

0

3

4.8

12

82.16

v4

5.6

5

3

0

7.8

9

71.96

v5

8

13

4.8

7.8

0

9

81.92

v6

6

4

12

9

9

0

82.2

运价

1

1.2

1.6

2.6

3.2

3.4

选第4个工厂最好。

6.10如图6-44，

（1）求V1到V10的最大流及最大流量；

（2）求最小割集和最小割量。

【解】给出初始流如下

20

（15）

13（15）

2

第一轮标号：

得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示

量等于45。

6.11将3个天然气田Ai、A2、A3的天然气输送到2个地区Ci、C2，中途有2个加压站Bi、B2,天然气管线如图6—45所示。

输气管道单位时间的最大通过量cj及单位流量的费用dj

标在弧上（Cj,dij）。

求

（1）流量为22的最小费用流；

（2）最小费用最大流。

T6.11—1

得到流量v=22的最小费用流，最小费用为271。

求解过程参看第4章PPT文档习题答案。

图6—45

【解】虚拟一个发点和一个收点

T6.11—13

最小费用最大流如下图，最大流量等于27,总费用等于351。

0

A1

-一

Ur

（M

15_j

5

ft

ao

6.12如图6—43所示，

（1）求解旅行售货员问题；

（2）求解中国邮路问题。

【解】

（1）旅行售货员问题。

距离表C

1

2

3

4

5

6

1

oo

8.8

9

5.6

8

6

2

8.8

oo

10

5

oo

4

3

9

10

oo

3

4.8

14

4

5.6

5

3

oo

12

oo

5

8

oo

4.8

12

oo

9

6

6

4

14

oo

9

oo

在C中行列分别减除对应行列中的最小数，得到距离表C1。

距离表C1

1

2

3

4

5

6

1

oo

3.2

3.4

0

0.6

0.4

2

2.8

oo

6

1

oo

0

3

4

7

OO

0

0

ii

4

0.6

2

0

OO

7.2

OO

5

i.2

OO

0

7.2

OO

9

6

0

0

i0

OO

3.2

OO

由距离表C1,Vi到V4,Hi={vi,V4,V3,V5,V6,V2,vi},C（Hi）=5.6+3+4.8+9+4+8.8=35.2

去掉第i行第四列，d4i=^,得到距离表C2。

得到距离表C2

i

2

3

5

6

2

2.8

OO

6

OO

0

3

4

7

OO

0

ii

4

OO

2

0

7.2

OO

5

i.2

OO

0

OO

9

6

0

0

i0

3.2

OO

距离表C2的每行每列都有零，出=Hi={Vi,V4,V3,V5,V6,V2,Vi}就是总距离最小的Hamilton

回路，C（Hi）=35.2。

（2）中国邮路问题。

虚拟一条边

取回路Hi={Vi,V3,V4},C（Hi）=9+5+3=i7,C（Vi,V3）=9>C（Hi）/2，调整回路。

所有回路满足最短回路的准则，上图是最短的欧拉回路，其中边（Vi,V4）和（V4,V3）各重复一次。