数列通项公式前n项和求法总结全.docx
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数列通项公式前n项和求法总结全
一.数列通项公式求法总结:
1.定义法——直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征:
适应于已知数列类型(等差或者等比).
例1•等差数列an是递增数列,前n项和为Sn,且a!
a3,a9成等比数列,Sa5•求数列an的通项公式.
变式练习:
1.等差数列an中,a?
4,ai92比,求an的通项公式
2.在等比数列{an}中,a2ai2,且2a2为3印和a3的等差中项,求数列{a.}的首项、公比及
前n项和.
2.公式法
Sn1
求数列an的通项an可用公式an求解。
nnnSnSn1n2
特征:
已知数列的前n项和Sn与an的关系
例2.已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式,求{an}的通项公式。
(1)Snn3n1。
(2)snn21
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2『+n,n€N*,数列{bn}满足a*=4log2bn+3,n
€N*.求an,bn
2.已知数列{an}的前n项和Sn
并求an。
3.已知数列an的前n项和Sn
-n2kn(kN*),且S的最大值为8,试确定常数k
2
2
nn,nN•求数列an的通项公式
2
3.由递推式求数列通项法类型1特征:
递推公式为an1anf(n)
对策:
把原递推公式转化为amanf(n),利用累加法求解。
11
例3.已知数列an满足a1-,an1an—2,求an。
2n2n
变式练习:
1.已知数列{a.}满足an1an2n1,印1,求数列{a.}的通项公式
2.已知数列:
求通项公式
类型2特征:
递推公式为an1f(n)an
2
例4.已知数列a"满足313,a"1
n
an,求an。
n1
1.已知数列an中,ai2,ani3an,求通项公式a*。
2.设a*是首项为1的正项数列,且n10^ina;a.®0(n=1,2,3,…),求数
列的通项公式是an
类型3特征:
递推公式为an1panq(其中p,q均为常数)
对策:
(利用构造法消去q)把原递推公式转化为由an1panq得anpan1q(n2)两式
相减并整理得an1anp,构成数列an1an以a2q为首项,以p为公比的等比anan1
数列.求出an1an的通项再转化为类型1(累加法)便可求出an.
例5.已知数列an中,a11,an12an3,求an.
变式练习:
1.数列{an}满足a1=1,3an1a.70,求数列{a.}的通项公式。
2.已知数列an满足a1=1,am3务1.证明务2是等比数列,并求K的通项公式。
类型4特征:
递推公式为an1panf(n)(其中p为常数)
对策:
(利用构造法消去p)两边同时除以pn1可得到旦计*亠畀,令空bn,则
PPPp
bn1g半,再转化为类型1(累加法),求出bn之后得anpb
p
例6•已知数列{an}满足an12an43n1,a11,求数列的通项公式。
变式练习:
已知数列an满足a11,an3n2an1(n2),求an.
.数列的前n项和的求法总结
1.公式法
(1)等差数列前n项和:
Snn(a1苑na〔
22
(2)等比数列前n项和:
q=1时,Snna〔
1
例1.已知log3x—,求xx2x3xn的前n项和.
log23
变式练习:
1.设等比数列an的前n项和为Sn.已知a?
6,6®a330,求可和Sn.
2.设{an}是等差数列,{^}是各项均为正数的等比数列,且a101,a321,
85bj13。
("求an,bn;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn。
an
2.错位相减法
1若数列an为等差数列,数列bn为等比数列,则数列anbn的求和就要采用此法.
2将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比,然后在错位相减,进而可得到数列已0的前n项和.
变式练习:
(1)求an,bn;
⑵求数列anbn的前n项和Tn.
(1)求c的值;
(2)求数列{nan}的前n项和Sn
3.倒序相加法
如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写
与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。
特征:
a1ana2an1
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加
变式练习:
1.求1^石
1102
2232
,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得
anb2
1
n(n1)(n2)
2(.n.n1)
2.求sin1sin22sin23sin288sin289的值。
4.裂项相消法
c
一般地,当数列的通项an-(a,d,b2,c为常数)时,往往可将an变成
(anb|)(anb2)
两项的差,采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:
c
b2D
从而可得
(an
c=
bi)(anb2)
c
(1
1
b2).
(b2bj
anD
an
常用裂项形式有:
①
1
11;
②
1
1(1\);
n(n
1)
nn1'
n(n
k)
k'nnk7
1
1
11
1
1
1
1
1
1
11
③
(
)
k2
k2
12k1
k1
k
k1
(k1)k
k2
(k
1)kk1k
设an
and
111
2[n(n1)(n1)(n2)];
变式练习:
9a2a6.
2.等比数列an的各项均为正数,且2印3a21忌2
(I)求数列an的通项公式.
1
(II)设bnlogsa1log3a2logsan,求数列一的前项和.
bn
5.分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几
个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:
①找通向项公
式②由通项公式确定如何分组.
例5.求数列21,4丄,6丄丄,2n点,L的前n项和Sn.
48162n1
变式练习:
1.求数列11,21,3丄,4丄丄的前n项和
392781
2.若数列an的通项公式an2an3na1(a0),求an的前n项和
6.记住常见数列的前
n项和:
①123...n
n(n1);
2;
②135...(2n1)n2;
221
3...nn(n
6
57
72~~~2~2~2~~~2
12123
l2n1
L~22
1222L
—(nN)的和.n
变式练习:
求数列{n(n1)(2n
1)}的前n项和.
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